Інтуїционістськая логіка (висловлювань

Стверджуючи незалежність математики від мови і логіки, її самодостатність, принцип повної індукції в якості єдиного методу вирішення всіх математичних проблем, інтуїція-ність тим самим давали зрозуміти, що проблема формалізації доказів їм байдужа. Проте дискусії інтуіціоністи з логицистами і формалістами з приводу законності закону виключеного третього зрештою змусили їх проявити інтерес і до логічної проблематики. В результаті була створена так звана интуиционистская логіка висловлювань і предикатів, що відрізняється від класичної "0.

Порівняння класичної логіки висловлювань з интуиционистской допоможе зрозуміти їх відмінність один від одного.

Класична логіка створювалася в припущенні, що її правила мають універсальне значення, її істини загальнозначимі для всіх людей, для будь-яких наук. Навпаки, інтуіціоністи розглядають свою логіку як частина математики, що не має за її межами ніякого операционального значення. Логічні правила - розумові конструкції, створювані для вирішення виключно математичних проблем.

Класична логіка висловлювань заснована на допущенні, що справжні і доказові твердження складають один і той же клас: всяка істина доказова і кожне доказові твердження істинне. інтуіціоністи заперечують подібну еквівалентність і визнають справедливим лише те, що всяке доказові твердження істинне, але зворотне вважають в загальному невірним. Це означає, що для інтуіціоністи клас доказових істин включений в клас істин, але не дорівнює йому.

Класична логіка оперує поняттями «істина» і «брехня ». Інтуїционістськая логіка замінює їх поняттями« доказовою »і« суперечливо (абсурдно) ». Затвердження« вислів р істинно »означає« вислів р істинне, тому що доведено ». Затвердження« вислів р хибно »означає« вислів р ложно, тому що доведено , що р неможливо, тобто що з р випливає протиріччя (абсурд) ».

ио СМЛ Рейтинг А. Інтуіціонізм. С. 122-142.

Для класичної логіки значення будь-якого висловлювання визначається умовами, за яких воно істинне. Для интуиционистской логіки значення будь-якого висловлювання визначається умовами, за яких воно може бути доведено.

Для класичної логіки поняття істини і брехні безособові, не мають ніякої суб'єктивної складової. Істинне або хибне висловлювання є таким для всіх без винятку. В интуиционистской логіці кожне доведене висловлювання - це звіт математика про акт особистого розумового конструювання в певний час, Наприклад, замість «вислів р істинно» інтуіціоністи кажуть «під час / в моєму розумі існує (побудована) конструкція К, яка доводить р ». При цьому зв'язок розумового побудови із суб'єктом істотна. інтуіціоністи не може сказати« існує побудова К9 незалежне від кого б то не було ». Для нього це обіцянка, не підкріплене особистим свідченням і позбавлене доказовості . Для інтуіціоністи мають сенс лише затвердження «в моєму розумі існує конструкція к».

Класична логіка заснована на допущенні, що значення істинності складного висловлювання являє функцію істинності значень істинності складових його простих висловлювань. У цьому сенсі вона представляє логіку функцій істинності. Кожне висловлювання класичної логіки або істинно, або хибно. Воно істинно (помилково), тому що помилково (істинно) йому суперечить. Але интуиционистская логіка не є логікою функцій істинності. Вона допускає висловлювання, значення істинності яких не визначається значенням істинності їх логічних атомів.

Остання відмінність стає більш зрозумілим, якщо порівняти інтуїционістському інтерпретацію основних логічних зв'язок («не», «і», «або», «якщо ..., то») з класичною . У класичній логіці ці зв'язки розглядаються як умови істинності висловлювань; в интуиционистской логіці вони вважаються умовами доказовою висловлювань. Для стислості надалі замість «в моєму розумі існує конструкція К» будемо говорити «існує конструкція К».

Висловлення - ^ р, читається як "не-р» і називається логічним запереченням, доказовою тоді, коли існує конструк-ція Я ", яка доводить, що не існує докази р (яка доводить, що з існування р виводиться протиріччя). У класичній логіці заперечення висловлювання являє функцію істинності що суперечить йому висловлювання:-р істинно, якщо і тільки якщо р ложно. В интуиционистской логіці доказ-лр вимагає спеціального докази неможливості р. Без такого доказу ннтуіціоніст загалом (нескінченному) разі не може зробити висновок про істинність висловлювання ~> р. Якщо для класичної логіки з хибності висловлювання р слід обов'язкова істинність висловлювання то для интуиционистской логіки це не є аксіомою: р може бути помилково, а - невизначено. З цієї причини логічне заперечення не є для інтуіціоністи функцією істинності. До цього слід додати, що оскільки визначення логічного заперечення вироб-водно від базисного для них поняття докази, то деякі інтуіціоністи вважають операцію заперечення взагалі надлишкової і вважають, що интуиционистская логіка може бути побудована без неї.

Висловлення (р & q), читається як «р і q» і називається кон'юнкція висловлювань р ід, доказовою тоді, коли існує конструкція К., яка доводить як /?, так і q. У класичному сенсі кон'юнкція істинна тоді і тільки тоді, коли істинні всі складові її висловлювання (кон'юнктив). Для інтуіціоністи цього недостатньо. Навіть якщо всі Кон'юнктів істинні, але не побудовано доказ їхньої спільної істинності, вся кон'юнкція не може вважатися доведеним. твердженням. Значить, і, кон'юнкція в загальному (нескінченному) випадку для інтуіціоністи не є функцією істинності .

Висловлення (р vq), читається як «р або q» і називається диз'юнкцією висловлень р і <7, доказовою тоді, коли існує конструкція К, яка доводить р або доводить q. У класичній логіці диз'юнкція істинна тоді і тільки тоді, коли істинним є хоча б одне становить її висловлювання (диз'юнкт). Для інтуіціоністи цього недостатньо. Навіть якщо знайдеться один істинний диз'юнкт, але не існує доведення його істинності, диз'юнкція не рахується доведеним твердженням. Отже, і диз'юнкція в загальному (нескінченному) випадку для інтуіціоністи не є функцією істинності. Висловлення pz> q, читається як «якщо р, то q» і називається імплікацією висловлювань q з висказиваніяр, доказовою тоді, коли існує конструкція К, яка будучи застосована до доказу р, дозволяє довести q. У класичному сенсі імплікація р з q істинна тоді і тільки тоді, коли хибно висловлювання р або істинно висловлювання q. В інтуїционістському сенсі цього недостатньо. Навіть якщо висловлювання р і q істинні, але відсутній конструкція К, що дозволяє з докази р вивести доказ q , вся імплікація не може вважатися доведеним твердженням. Значить, імплікація загалом (нескінченному) випадку для інтуіціоністи також не є функцією істинності.

Зі сказаного випливає, що деякі правила класичної логіки не виконуються в интуиционистской логіці. Найвідомішим з них є закон виключеного третього р v-р. У класичній логіці цей закон приймається без будь-яких обмежень. інтуіціоністи також беруть цей закон, але тільки для кінцевих послідовностей об'єктів. Доказ висловлювання р або доказ неможливості р вимагає кінцевого перебору і тому завжди здійснимо. Але цього не можна сказати про нескінченному универсуме. Ніякої перебір елементів тут неможливий і всі докази, чи володіє деяке число даними властивістю чи ні, стають безглуздими. Припустимо, потрібно довести, чи володіє натуральне число х властивістю А, тобто істинно Чи вислів «існує число володіє властивістю А». Згідно закону виключеного третього, його альтернативою буде висловлювання «жодне з чисел х властивістю А не володіє». Якщо задана кінцева послідовність натуральних чисел, то поставлена проблема вирішується однозначно допомогою послідовної перевірки її елементів. В цьому випадку або принаймні одне з таких чисел буде виявлено, або буде доведено, що всі числа з цієї послідовності властивістю А не володіють. Але в нескінченній області така процедура нездійсненна, тому що не можна перебрати всі числа натурального ряду, щоб виявити потрібне. Але також не можна довести, що жодне з чисел властивістю А не володіє, оскільки для цього потрібно спростування нескінченного числа альтернатив. Іншими словами, згідно інтуіціоністи, закон виключеного третього в нескінченній області об'єктів - випадок нерозв'язною проблеми.

Брауер був першим, хто звернув увагу на те, що закон виключеного третього - спеціальний випадок проблеми розв'язання. Це і стало вирішальним мотивом, що спонукав Брауера виступити проти закону виключеного третьего80. У 1900 р. Гільберт сформулював аксіому разрешимости кожної математичної проблеми, В цей час Гільберт припускав, що виражає загальну думку всіх математиків. Пізніше він визнав, що ця проблема потребує подальшого дослідження, і переформулював її в проблему розв'язності, незалежну від будь-яких спорів про природу математики.

Нижче наводиться реконструкція нездійсненності закону виключеного третього в интуиционистской логіці. У ньому використовується правило Rd, згідно з яким диз'юнкція помилкова тоді і тільки тоді, коли помилкові всі її диз'юнктів (альтернативи). Ідея стає послідовності виборів формалізується за допомогою індексації значень істинності висловлювань їх істинністю в певному можливому світі w. Нехай wi позначає міф, в якому ми реально існуємо (дійсний світ).

Реконструкція інтуїционістського докази нездійсненності закону виключеного третього в нескінченній області об'єктів 1.

pv-р ложно у світі Wi (допущення). 2.

р ложно у світі wj (з (1), Rd). 3.

-р ложно у світі wj (з (1), Rd). 4.

р, можливо, істинно у світі w ", п '(з (3)). 5.

Друга і четверта рядки не утворюють протиріччя. Враховуючи, що, крім нашого світу, можливе існування нескінченної кількості інших світів і тим самим послідовностей виборів, хибність висловлювання р в світі u> i не виключає його можливої істинності в іншому світі wn. Але якщо допущення хибності закону виключеного третього при інтуїционістському тлумаченні не приводить до протиріччя, він не може бути законом интуиционистской логіки.

Аргументи інтуіціоністи (і, додамо, конструктивістів) проти закону виключеного третього будуть більш зрозумілі на наступному простому прикладі. Припустимо, мається загальне висловлювання «для всіх х виконується властивість А», формально (х) Ах. Це судження в кінцевій області з п об'єктів еквівалентно кон'юнкції приватних суджень наступного виду; (Ах \ & АХГ & ... & АХП). Побудуємо заперечення цього загального судження: - {Ах \ & Ах г & ... & Ах "). За правилами де Моргана заперечення розглянутого судження еквівалентно диз'юнкції такого вигляду: (-vtri v ~ Лх2 v ... v-Ах "). Кожен диз'юнкт-iAxn, що символізує об'єкт jc "з властивістю-ла, являє суперечить приклад (контрприклад) загального судження (х) Ах. Але який саме? Класичні математики і логіки відповідають, що це не має особливого значення. Досить того, що він просто існує. Інтуіціоністи вважають це недостатнім: замість утвердження існування необхідно вказати, який конкретно диз'юнкт-АХП є контрприкладом. Для цього в кінцевій області достатньо перебрати всі об'єкти і знайти той, який спростовує загальне судження (х) Ах. Оскільки це можливо принципово, закон виключеного третього у формі «істинно або судження (х) Ах, або судження (Ех) ~ пах"> У для кінцевої області об'єктів інтуіціоністи визнається загальнозначущим.

Припустимо тепер, область досліджуваних об'єктів нескінченна. Тоді кон'юнкція (Ах] & Ах2 & ... & Ах ") і диз'юнкція (-Лх \ v-Axi v ... v-АХП) міститимуть нескінченне число членів. Який саме диз'юнкт в нескінченній диз'юнкції представлятиме контрприклад? У нескінченній області об'єктів відповідь на це питання для інтуіціоністи принципово безглуздий. Але тоді стає безглуздим і міркування згідно закону виключеного третього.

Сказане означає, що в основі заперечення інтуіціоністи (конструктивистами) закону виключеного третього лежить наступна проблема. Якщо класичні математики вважають, що заперечення загального судження завжди (в будь-якій області об'єктів) тягне існування контрпримера і тому альтернатива між загальним висловлюванням і його запереченням, тобто приватним судженням, законна, інтуіціоністи (конструктивісти) визнають це справедливим тільки в кінцевій області.

 Інформація, релевантна "Інтуїционістськая логіка (висловлювань"

1. 1.Економіка і соціальна структура
     Розвиток капіталізму в Росії та інших країнах породило проблему його типології. Сучасна методологія розгорнула цю проблему в концепцію трьох ешелонів. Відповідно до цієї концепції можна говорити про три моделі (ешелонах) розвитку світового капіталізму: - ешелон розвиненого, класичного капіталізму - Англія, Франція, США, Канада, Австралія; - ешелон становлення буржуазних відносин в переплетенні з
   
2. 2. Революція 1905-1907 рр..
     Так що ж таке революція? Яке її вплив на життя суспільства? Сучасне, на наш погляд, досить змістовне визначення революції як суспільно-історічес-кого феномена дано в філософській праці М.Л. Тузова «Революція і історія» (Казань, 1991). Виходячи з досягнутого у вітчизняній і зарубіжній революціологіі і враховуючи наявні різночитання у визначенні революції, автор під
   
3. § 4. Теорії складу злочину як єдиної підстави кримінальної відповідальності
     У радянській кримінально-правовій науці найбільш великими роботами, присвяченими спеціально проблемі вчення про склад злочину, є роботи А. Н. Трай-нина '. Основи теорії А. Н. Трайніна про склад злочину коротко можна представити у наступних тезах. «Склад злочину є сукупність всіх об'єктивних і суб'єктивних ознак (елементів), які згідно радянським законом
   
4. § 1. Теоретичне обгрунтування (загальні питання]
     У конкретній дійсності безупинно відбувається незліченну безліч різноманітних людських вчинків. Якщо виділяти всі ті, які представляють значну суспільну небезпеку, а також передбачені кримінальним законом як злочини, а з них, у свою чергу, такі, які передбачаються однієї і тієї ж статтею кримінального закону, то і в цьому випадку в процесі їх пізнання ми
   
5. § 2. Класифікація об'єктів злочину
     Як відомо, всяка класифікація повинна проводитися на основі певного роду правил. Стосовно до класифікації об'єктів злочину найбільш актуальні наступні чотири вимоги. 1. Класифікуючи об'єкти злочину, потрібно перш за все розрізняти поділ того, що в загальнотеоретичному плані іменують ознаками та його носіями (річчю). На відміну від носія, ознака, представляючи собою
   
6. Глава дев'ята. ТЕОРІЯ ПРАВА ЯК ЮРИДИЧНА НАУКА
     Теорія права і теорія держави. Предмет і методологія теорії права. Теорія права в системі суспільних наук. Загальна теорія права. Спеціальні теорії права. Теорія права і галузеві юридичні науки. Функції теорії права. У другій частині, присвяченій теорії права, розглядаються з урахуванням сучасного рівня юридичного знання функціонування та розвиток такого яскравого і складного соціального
   
7. Глава тринадцята. НОРМА ПРАВА
     Поняття норми права та її ознаки. Структура норми права. Відмінність норми права від індивідуальних правових приписів. Способи викладу правових норм у нормативно-правових актах. Види і класифікація норм права. Підшукуючи образне порівняння для норми права, я подумав, що, мабуть, найточнішим буде подання про це соціальне явище як про первинної клітинці або як про атом правової
   
8. Глава двадцята. ПРАВОСВІДОМІСТЬ І ПРАВОВА КУЛЬТУРА
     Поняття, види і структура правосвідомості. Правова ідеологія і правова психологія. Правосвідомість і право: взаємодія. Правова культура. Правовий нігілізм. Правове виховання. Обговорення всіх попередніх тим свідчить: тільки тоді правотворча і право-стосовно діяльність стає ефективною, коли в цих процесах, поряд з потужними са-моорганізуюшіміся началами,
   
9. МЕТОДИЧНІ ПОРАДИ З ПІДГОТОВКИ ТА складання іспиту
     Іспит - перевірочне випробування по якомусь навчальному предмету (див.: Ожегов С.І. Словник російської мови. - М., 1991. - С. 903). Це своєрідний «вінець», кінцева форма вивчення певного предмета, механізм виявлення і оцінки результатів навчального процесу. Мета іспиту - завершити курс навчання конкретної дисципліни, перевірити ситуацію у студента систему понять і відзначити ступінь
   
10. 1.4. З історії логіки
      Логіка - одна з древніх наук. Працями Демокріта, Платона та інших закладені її основи. Демокріт досліджував питання індукції, аналогії, гіпотези, визначення поняття. Платон багато уваги приділяв визначенню природи дедукції та аналізу суджень. Значний внесок у становлення науки логіки внесли роботи давньогрецького філософа і вченого Аристотеля (384-322 рр.. До н. Е..). Аристотель створює
    
11. 2.2. Основи теорії іменування
      Формалізована мова логіки існує у двох варіантах: мова логіки предикатів і мову логіки висловлювань. Структура мови логіки предикатів відображає смислові характеристики природної мови. До семантичним категоріям мови відносяться: пропозиції, імена (знаки предметів), пре-індикатори (знаки властивостей і відносин), функціональні знаки. Імена - це слова або словосполучення, що позначають
    
12. 3.1. Поняття і методи його утворення. Обсяг і зміст поняття
      У поняттях виражаються загальні та істотні ознаки предметів, явищ. Щоб дати загальну характеристику поняття як форми мислення, необхідно відповісти на два корінних для логіки питання: як співвідноситься поняття з дійсністю? як воно виявляється у мові? В історії логіки при вирішенні питання про поняття допускалися насамперед дві крайності. Одна - це відрив поняття від
    
13. 4.2. Прості судження
      До простих суджень відносяться такі, які висловлюють зв'язок двох понять і мають структуру: S є (не є) P. Залежно від того, що стверджується або заперечується в простих судженнях: приналежність ознаки предмету, відношення між предметами або факт існування предмета, - вони діляться на атрибутивні, судження з відносинами, екзистенційні. Судження, в яких ознака предмета
    
14. Епістеміческого модальність
      це виражена в судженні інформація про заснування і ступеня його достовірності («епі-стема» означала в античній філософії вищий тип безсумнівного, достовірного знання). Спілкування між людьми передбачає використання різних оцінок і фактичних даних, що мають різну ступінь достовірності, яка залежить від багатьох умов. Найважливішими серед них є логічні і нелогічні умови,
    
15. Деонтическая модальність
      (Слово «деонтическая» означає в грецькій мові «обов'язок») - це виражена в судженні інформація, що спонукає людей до певних по-ступки. У природній мові вислів будується у формі ради, побажання, команди, правила поведінки чи наказу. Наприклад: «Лекції з логіки бажано слухати з великою увагою» або «Не рекомендується пропускати семінарські заняття за логікою».
    
16. Закон достатньої підстави.
      Будь-яка думка визнається дійсною, якщо вона має достатню підставу. Достатньою підставою будь-якої думки може бути будь-яка інша, вже перевірена і визнана істинною думка, з якої з необхідністю випливає істинність даної думки. Достатніми підставами називаються судження, що обгрунтовують відповідність змісту думки дійсності. Достатніми підставами істинності судження
    
17. 7.1. Доказ і спростування
      Незважаючи на те що доказ і аргументація є при-ляють вельми близькими поняттями, їх не можна вважати тотожними. Аргументація - ширше поняття, оскільки є таким способом міркування, який включає в себе як доказ, так і спростування. У процесі аргументації ставиться завдання переконання опонента в істинності висунутого тези і відповідно хибностіантитези.