| Головна |
| « Попередня | Наступна » | |
ГЛАВА IX ПРО ДЕЯКІ НЕДОЛІКИ, ВЛАСТИВІ МЕТОДУ ГЕОМЕТРАМИ |
||
|
Ми бачили, що є хорошого в методі геометрів . Все це ми звели до п'яти правилам, значення яких неможливо переоцінити. І треба визнати найвищою мірою дивним, що геометри відкрили така безліч таємних істин і довели їх за допомогою настільки переконливих і незаперечних доводів, так мало користуючись правилами. З усіх філософів їм одпім вдалося вигнати пз своїх шкіл н зі своїх творів сперечання і суперечки. Але якщо судити про речі неупереджено, то, не позбавляючи геометрів тієї заслуги, що в пошуках пстіпи вони слідували набагато більш вірним шляхом, ніж всі інші, все ж не можна заперечувати, що в їх методі є дещо -які недоліки, через які вони хоча і пе ухилялися від своєї мети, але приходили до істини не найбільш прямим і не найлегшим шляхом. Я постараюся показати це, взявши приклади таких недоліків у самого Евкліда. Перший недолік Більше дбати про достовірність, ніж про очевидність, і про тим, щоб переконати розум, ніж про те,, щоб просвітити його Похвальпо, що геометри висувають тільки переконливі положення, але вони, здається, не беруть до уваги, що для досконалого знання якої-небудь істини недостатньо переконання в тому, що дане положення ІСТИННО, якщо ми не вбачаємо в природі самої речі, чому воно істинне. Поки це не з'ясовано, розум пе відчуває повного задоволення п прагне до більшого знання, що служить ознакою того, що ои ще не володіє істинним знанням. Цей недолік, можна сказати, є джерелом майже всіх інших недоліків, які ми відзначимо піже. II таким чином, зараз немає необхідності говорити про нього докладніше, оскільки ми зробимо це надалі. Другий недолік Доводити істини, що не потребують 8 доказах геометрами визнають, що не треба прагнути доводити положення, ясні самі по собі. Однак вони нерідко роблять це, бо, намагаючись, як ми вже сказали, швидше переконувати розум, ніж просвіщати його, вони думають, що його легше буде переконати, якщо вони знайдуть якийсь доказ навіть для самих очевидних положень, ніж якщо вони просто висунутий їх, з тим щоб розум визнав їх очевидність. Саме тому Евклід доводить ту істину, що дві сторони трикутника, разом узяті, більше однієї сторони23, хоча це очевидно вже з самого поняття прямої лінії: вона є найкоротшим відстанню між двома точками і природною мірою віддаленості однієї точки від іншої, що було б неможливо, якби вона не була найкоротшою з усіх ліній, які можна провести між двома точками. З цієї ж причини він перетворює питання, як про-вести пряму, рівну даної прямої, у завдання, яку треба решіть24, хоча зробити це навіть легше, ніж описати окруяшость заданого радіуса. Цей недолік неважко об'яспіть. Евклід не прийняв до уваги, що вся достовірність і очевидність наших знань у природничих науках сходить до такого принципу: Про речі можна стверджувати все, що міститься в її ясною і виразною ідеєю п, отже, якщо для тою щоб встановити, що в ідеї укладено деякий атрибут, досить просто розглянути її, не вдаючись до інших ідей, то це, як ми вже сказали вище, має вважатися ясним і очевидним. Мені, зрозуміло, відомо, що певні атрибути вбачаються в ідеях легше, ніж інші. Але я вважаю, що якщо в пдее можна без особливої напруги уваги ясно угледіти певний атрибут і в цьому не міг би по-справжньому сумніватися жодна розсудлива людина, то цього достатньо, щоб прийняти положення, до якого ми приходимо шляхом простого розгляду ДАНП ідеї, за принцип, що не потребує доказах і вимагає, щонайбільше, разт> яс-ненпя і деяких додаткових зауважень. Так, я стверджую, що, якщо скільки уважно розглянути ідею прямої лінії, не можна не усвідомити, що її положення залежить тільки від двох крапок (Евклід зробив це одним пз своїх постулатов25), і неважко зрозуміти, що якщо одпа пряма перетинає: іншу і на що перетинає прямий є дві точки, кожна з яких дорівнює віддалена від двох точок пересіченій прямий, то на що перетинає прямій не буде такої точки, яка не була б одно віддалена від цих двох точок пересіченій прямій. Слід також зазначити, що видатні геометри використовують як почав положення мепее ясні, ніж ці. Архімед, наприклад, засновував найстрункіші докази на такий аксіомі: Якщо дві лінії па одній площині мають спільні кінці і є опуклими в одну сторону, то об'емлемая буде менше осяжний 27 « Я визнаю, що цей недолік - доводити положення, що не потребують доказі, представляється незначним і що сам по собі він дійсно невеликий, але він має важливі слідства, оскільки саме він зазвичай призводить до порушення природного порядку, про що буде сказано нижче. Прагнення доводити те, що треба було б припустити як ясне і очевидне само по. Собі, часто змушувало геометрів розглядати для доказу того, чого опи не повинні були б доводити, такі речі, які відповідно з природним порядком слід було б розглядати пізніше. Третій недолік Доказ через неможливе Докази цього роду, що показують, що річ є такий-то, що не через її початку, а через якусь безглуздість, яка НАСТУПНІ б, якби ця річ була іншою, зустрічаються у Евкліда досить часто. Однак, очевидно, що ойі можуть переконати розум, але аж ніяк не освічують його, а тим часом саме в останньому складається головне призначення науки. Бо наш розум не відчуває задоволення, якщо він анает тільки, що річ існує, по не знає, чому вона існує, а цього не можна усвідомити з докази, що зводить до неможливого. Ми не стверджуємо, що подібні докази треба відкинути; ними іноді можна скористатися для обгрунтування негативних положень, які є, власне, лише королларій інших положень, які або ясні самі по собі, або доведені перш іншим шляхом. У цих випадках доказ, що зводить до неможливого, являє собою скоріше роз'яснення, чим новий доказ. Можна сказати, що подібні докази прийнятні тільки тоді, коли не можна дати інших, і ними не слід користуватися для обгрунтування того, що може бути обгрунтовано позитивним чином. Але у Евкліда є багато положень, які він доводить тільки таким шляхом і які без особливих труднощів можуть бути доведені інакше. Четвертий недолік Докази, отримані обхідними шляхами Цей недолік у геометрів дуже поширений. Їх не турбує, звідки взяті наведені ними докази, аби тільки вони були переконливими. Однак доводити речі манівцями, ніяк не обумовленими їх природою, - значить доводити їх вельми недосконалим чином. Розглянемо це на прикладах, Евклід (кн, I, пропозиція 5) доводить, що у рівнобедреного трикутника два кути при основі рівні між собою, таким чином: він продовжує на однакову довжину сторони трикутника, будує нові трикутники і порівнює їх один з одним. Але чи мислимо, щоб для обгрунтування рівності цих кутів, доказ якого не складає ніяких труднощів, потрібно було застосовувати подібний прийом? Хіба не смішно думати, що їх рівність залежить від цих зовнішніх трикутників? Якщо ж слідувати істинному порядку, можна знайти песколько дуже легких, коротких і природних шляхів довести це рівність, 47-е пропозицію I книги, в якому доводиться, що квадрат підстави, стягивающего прямий кут, рівний двом квадратах сторін, - одне з найбільш цінних положень Евкліда. І проте ж, ясно, що спосіб, яким воно тут доводиться, не є природним, тому що рівність цих квадратів слід не з рівності трикутників, використовуваних Евклидом як засіб докази, а від пропорційності відрізків, яку легко показати, не користуючись ніякої іншою лінією, крім перпендикуляра, опущеного з вершини прямого кута на основу, У Евкліда усюди зустрічаються такі докази манівцями. П'ятий недолік Не думати про природний порядок Це найбільший недолік геометрів. Вони вирішили, що їм не треба дотримуватися ніякого іншого порядку, крім того, щоб перші положення служили для доказу наступних, І таким чином, пе піклуючись про правила істинного методу, що складається в тому, щоб завжди починати з самого простого п самого загального і потім переходити до більш сложпому і більш приватному, вони упереміж говорять про лініях і площах, трикутниках і квадратах, доводять через посередництво фігур властивості простих ліній п допускають безліч інших порушень [природного порядку], що спотворюють цю прекрасну науку. У «Засадах» Евкліда цей недолік зустрічається всюди. У перших чотирьох книгах йдеться про протязі, в п'ятому йдеться про пропорції всякого роду величин. У шостій книзі Евклід знову розглядає протяг, в сьомий, восьмий і дев'ятий говорить про числа, а в десятому знову повертається до протягу. Це те, що стосується загального безладу, але у нього дуже багато безладу і в деталях. Він починає першу книгу з побудови рівностороннього трикутника, а 22 положеннями нижче викладає загальний спосіб побудови будь-якого трикутника за трьома даними лініях за умови, що дві з них [при всякому їх виборі] більше однієї, стосовно чому побудова равносторонпего трикутника на одній даної лінії є окремим випадком. Щодо перпепдікулярпих і паралельних прямих Евклід нічого пе доводить інакше, як за посередництвом трикутників. Він домішує до виміру ліній вимір площ. Оп доводить (книга I, пропозиція 16), що, якщо продовжити сторопу трикутника, зовнішній кут буде більше будь-якого з внутрішніх, йому протилежних, а 16 положеннями нижче у нього доводиться, що зовнішній кут дорівнює двом протилежить. Щоб навести тут всі приклади подібного безладу, які можпо пайти в «Засадах», довелося б переписати всього Евкліда. Шостий недолік Чи не вдаватися до поділу (divisions) і до членування (partitions) Ще один недолік методу геометрів полягає в тому , що вони не вдаються до делепію і до членування. Не можна сказати, що геометри не вказують всіх видів тих пологів, про які вони ведуть мову; по вони роблять це, просто визначаючи терміни і розташовуючи всі визначення одне за іншим, не зазначаючи, що такий-то рід має стільки-то видів і що він ие може мати їх більше, так як загальна ідея даного роду допускає всього стільки-то відмінностей, - але ж це проливає світло на сутність розглянутого роду і його видів. Наприклад, в I книзі «Почав» ми знайдемо визначення всіх видів трикутників. По не може бути ніяких сомпепій, що набагато ясніше було б сказати так: Трикутники можна поділяти в залежності від сторін або залежно від кутів. Сторопи бувають ( всі рівні, п тоді треугольппк називається рівностороннім, тільки дві рівні, і тоді оп пазивается рівнобедреним, всі три іеравпи, і тоді ои називається різностороннім. Кути бувають всі три гострі, і тоді трикутник називається гостро-або угольнимt . Тільки два гострі, і тоді третій є (прямим, і трикутник пазивается прямокутним (тупим, і треугольппк пазивается тупоугольного? І краще навіть давати це делепіе трикутників тільки після опису та докази всіх властивостей трикутника взагалі, з чого можпо буде дізнатися, що ио принаймні два кути повинні бути гострими, тому що всі три кути в сукупності але можуть бути більше двох прямих. Цей недолік связап із зневагою до істинного порядку, який вимагає, щоб види розглядалися і визначалися лише після того, як буде позпан рід, особливо коли про рід можпо багато чого сказати і він може бути описаний без звернення до видів.
|
||
| « Попередня | Наступна » | |
|
|
||
Інформація, релевантна" Глава IX про деякі недоліки, властиві МЕТОДУ Геометрія " |
||
|
||