| Головна |
| « Попередня | Наступна » | |
4. Безперервне і дискретне |
||
|
Насамперед, слід більш уважно розглянути поняття безлічі-ступеня. Для кінцевого безлічі Л ясно, що кількість його підмножин одно 2А, що більше числа елементів А. Як переконатися в тому, що це справедливо і для нескінченних множин? Припустимо протилежне, а саме, що існує функція, що відображає елементи Р (А) в єдиний елемент А. Тоді можна показати, що це припущення приводить до протиріччя. Це означає, що кардинальне число безлічі-ступеня безлічі натуральних чисел N «більше», ніж кардинальне число N. Саме ця обставина є одним з головних у суперечці між фінітістамі і прихильниками Кантора. Для перших, нескінченна безліч є завжди потенційно нескінченне, незавершене, і його не можна розглядати як окрему сутність. Якщо існують, принаймні, два кардинальні числа, одне з яких більше іншого, а саме, Х0 і 2 в ступені К0 тоді виникає питання, що ж являє собою це друге кардинальне число. Природним відповіддю було припущення про те, що це кількість точок на лінії. Це піднімає більш загальне питання про природу континууму. Раціональне його розуміння полягає в спробі «порахувати» його, зіставити безперервності геометричній міру арифметичну. Іншими словами, чи може лінійний континуум бути ототожнений з безліччю чисел, наприклад, безліччю дійсних чисел. Ясно, що твердження про те, що кількість точок на лінії дорівнює 2 в ступені X д, не має сенсу без позитивної відповіді на друге питання. В історії математики питання про природу концепції функції представлений суперечкою Ейлера і Даламбера. Останній розумів функцію як вираження алгебри, а перший - як геометричну фігуру. Суперечка, що тривав багатьма математиками і після Ейлера і Даламбера, завершився (певною мірою) перемогою «алгебраїчної» точки зору, оскільки як показав Фур'є, будь-яку «патологічну» (неізобразімості) з геометричної точки зору функцію можна представити у вигляді нескінченного ряду тригонометричних функцій. Ці функції описують коливальні процеси. Зважаючи нескінченну подільність континууму, слід визнати, що не існує межі частотам коливань, які можуть бути упаковані в даний інтервал, а також амплітуді цих коливань. А чи можна говорити про нескінченну частоті? Тобто, незалежно від того, який би величини ні інтервал (як би малий він не був), чи можуть бути всередині нього коливання? Ствердну відповідь на це питання дають патологічні функції, серед інших, функція Вейєрштрасса (скрізь безперервна, але ніде не дифференцируемая) і функція Рімана (з бесконеч-но багатьма розривами між двома межами, але в той же час інтегрована). Якщо можливі нескінченно щільні коливання, тоді стає ясно, що однорідний лінійний континуум має складну структуру. У цьому випадку алгебраїчний спосіб представлення функції перевершує геометричний. Дійсно, графіки з нескінченними розривами або стрибками функції, «невидимі оку», тобто невимовні в геометричному поданні, можуть бути представлені тільки в алгебраїчному вигляді як сукупність точок. Функції стають множинами точок, і кожне безліч має приписане йому число, а також складну порядкову структуру. Всі попередні міркування зроблені у припущенні існування меж нескінченних рядів (скажімо, для тригонометричних функцій Фур'є). При зіставленні точок і чисел (насправді, дійсних чисел) важливим є питання збіжності рядів, оскільки дійсні числа визначаються як межі послідовності раціональних чисел. Не менш важливим є питання про існування таких меж. Як і колись, ми хотіли б виявити логічну структуру математичних побудов. У даному випадку слід зазначити, що часто такі межі вводяться визначеннями, що не передбачає існування меж. Дедекінд визначив дійсні числа таким чином, що зв'язок між поняттями «точки на лінії» і «дійсного числа» стає цілком зрозумілою. Оскільки раціональні числа, що представляють точки на лінії, не вичерпують усіх точок (що видно з знаменитого аргументу про непредставімо з 72 ніяким раціональним числом), потрібне введення нових чисел, які, по-перше, «завершили» б лінію, а по-друге, були б природним розширенням поняття числа, не суперечачи арифметичним властивостям попередніх чисел. Причому це мають бути такі числа, які заповнять те, чого не вистачає до безперервності. Іншими словами, нові числа повинні дати всі точки прямої лінії. На питання, «З чого все-таки складається безперервність», який задав собі Дедекінд, він дав відповідь у вигляді теорії дійсних чисел. В основі рішення Дедекинда лежить введене ним поняття «перетину». Всі точки прямої лінії діляться на два класи; кожна точка першого класу лежить зліва від кожної точки другого класу. При цьому існує одна і тільки одна точка, яка виробляє цей поділ точок на два класи. Такі перетину лінії можуть робитися раціональними числами, але це не все перетину. Наведемо приклад перетину. Нехай Ах є безліч всіх раціональних чисел, менших Ч2, а А2 - безліч всіх раціональних чисел, більших або рівних '/ 2. Тоді це буде перетин, вироблене числом ЧГ Це перетин, вироблене раціональним числом. А от якщо Ах є безліч раціональних чисел, менших Л, а А є безліч всіх раціональних чисел, більших або рівних-Jl> це буде перетин, яке зроблено нераціональним числом. Це дійсно перетин, тому що кожне раціональне число знаходиться або в Ах, або в Аг Як вже було сказано, мета конструювання нових чисел полягає у створенні безперервної числової області. Якщо перерізу повинні зіграти роль у вирішенні цього завдання, тоді потрібно оголосити всі перетину, вироблені нераціональними числами, цими новими числами. Дедекінд назвав їх ірраціональними числами. Ці числа повністю визначені перетинами, і крім того, Дедекінд вважав, що ці числа створюються вибіркою множин раціональних чисел, і при цьому не розглядається, як множини специфицируются. Таким чином, передбачається існування довільних вибірок з даної множини, що знову підтверджує ключову роль аксіоми вибору у визначенні дійсних чисел. У певному сенсі більш конструктивна позиція в «винаході» дійсних чисел зайнята Кантором. Він визначає таке число як нескінченно сходящуюся послідовність раціональних чисел, яка не має раціонального межі. Однак прояснює Чи це питання про те, скільки насправді точок на лінії? Для цього треба знати, що означає операція зведення в ступінь у разі нескінченних чисел. Ми знаємо, що кардинальне число безлічі-ступеня безлічі натуральних чисел більше, ніж кардинальне число безлічі натуральних чисел. Використовуючи цей результат, ми отримуємо ієрархію множин N, P (N), P (P (N)), P (P (P (N))) ... з кардинальними числами К02 в ступені Х02 в ступені 2 в ступені Х0 і т.д. Операція утворення безлічі-ступеня у разі кінцевих множин (експоненціальна процедура) не веде нас від одного кардинального числа до наступного, оскільки між ними знаходиться багато інших чисел, в той час як у випадку нескінченних множин така операція визначає і породжує наступне кардинальне число. Ця послідовність кардинальних чисел впорядкована, оскільки кожне наступне кардинальне число більше попереднього. Але заходом чого є всі ці кардинальні числа? І чи можуть бути між ними інші кардинальні числа? У разі кінцевих множин кардинальні числа служать мірою рахунки, а в разі нескінченних множин - мірою розміру множин. Розрив між двома цими поняттями непереборний, так що ми не можемо мати таку числову шкалу, яка дала б нам міру нескінченних множин. Але як ми раніше бачили, кардинальні числа були введені без усякого зв'язку з поняттям рахунку і відношенням порядку. Спекулюючи щодо послідовності кардинальних чисел, Кантор припустив, що наступним кардинальним числом за кардинальним числом безлічі натуральних чисел є 2 в ступені Х0. Мірою континууму є друге кардинальне число. Таке припущення носить ім'я континуум-гіпотези, одного з найбільш цікавих і спірних положень теорії множин.
|
||
| « Попередня | Наступна » | |
|
|
||
Інформація, релевантна " 4. Безперервне і дискретне " |
||
|
||