| Головна |
| « Попередня | Наступна » | |
3. Перехід до трансфинитное |
||
|
Зважаючи на вищесказане про природу нескінченності і понятті множини, стає зрозумілим підхід Кантора до трактування нескінченних множин як кінцевих. Іншими словами, він вважав, що ідентичність безлічі визначається його елементами, тобто нескінченна безліч за аналогією з кінцевим може бути специфіковано нескінченним переліком. Сама ідея нескінченного переліку елементів безлічі представляється вельми важким, і ось тут-то Кантор і використовує реалістичну посилку: цілком можливо, що нездатність мислити нескінченні множини без якоїсь породжує ідеї виявиться просто контингентні людським обмеженням, що ніяк не обмежує ідеї існування множин в деякому уявному просторі. Контингентні явно не місце в платонівському царстві сутностей. Якщо нескінченні безлічі трактуються як кінцеві, то їм можна приписати числа, і вони можуть бути полічені. Але як це зробити? Адже поняття кардинального числа, виведене з ідеї одно-однозначної відповідності, не дає числа об'єктів в інтуїтивному сенсі. Щоб називати їх числами, потрібно порівняння їх, тобто щоб можна було сказати, яке з них більше, а яке менше. Розглянемо дві множини, А і В. Нехай С є кардинальне число кожного з цих множин, тобто число, що показує їх «розмір». Їх можна порівнювати у відповідності з наступним визначенням: С (А) <С (В), якщо і тільки якщо, мається підмножина В * множини В таке, що С (В *) = С (А). Таким чином можна ввести відношення порядку серед множин. Але для того щоб знати, що це визначає навіть частковий порядок, необхідно знати, що С (А) <С (В) & С (В) <С (А) => С (А) = С (В). Це теорема Шредера - Бернштейна, згідно з якою якщо є підмножина В * множини В таке, що існує одне-однозначна відповідність між А і В *, і існує підмножина А * множини А таке, що існує одне -однозначна відповідність В і А *, тоді існує одно-однозначна відповідність між А і В. Для кінцевих множин ця процедура порівняння множин інтуїтивно зрозуміла, але у випадку нескінченних множин виникають проблеми. Дійсно, розглянемо загальний випадок порівняння двох множин А і В. Нехай дано дві множини Aw. В. Тоді є чотири комбінаторні можливості: 1) З (А) = С (В); 2) С (А) <С (В); 3) С (А)> С (В); 4) АІВ непорівнянні щодо кардинальності. З точки зору кінцевих множин останній варіант не має сенсу, тому що кожна кінцева сукупність має певну кількість елементів, і ці числа впорядковані ставленням «менипе-ніж» або «болипой-ніж». Ідея Кантора полягала в тому, щоб дозволити цю можливість відносно нескінченних множин. Питання полягало в статусі цієї можливості. Як виявилося, для доказу цього твердження потрібно умова цілком-упо-рядоченності будь-якого безлічі (кожне непорожнє безліч име-ет найменший елемент). Але саме цього останнього умови Кантор, незважаючи на всі свої зусилля, довести не зміг. Так що твердження про можливості порівняння кардинальних чисел нескінченних множин залишається посилкою, що дуже важливо з точки зору обгрунтування теорії трансфінітних чисел. Відомо, що припущення про цілком-впорядкованості множин рівносильно аксіомі вибору, яка має гучну історію в підставах математики. Для загальної трактування кінцевих і нескінченних множин слід ввести визначення, яке підходило б для тих і інших. Або ж слід показати, що закони для трансфінітних чисел не суперечать законам для кінцевих чисел. Але треба відразу зауважити, що кардинальні числа для нескінченних множин (далі, просто кардинальні числа) мають особливу арифметику, на якій ми тут не зупиняємося. У дусі прийнятої Кантором посилки ця арифметика дозволяє висловити співвідношення між кардинальним числом даної множини ^ і його безліччю-ступенем Р (А), тому що мається одно-однозначна відповідність між підмножинами А і безліччю всіх функцій / від А до безлічі з двох елементів {0 , 1}, де кожна підмножина розглядається як ті елементи з А, для яких / приймає значення 1. Звідси випливає, що кардинальне число безлічі-мірою від безлічі А одно 2, зведеному в ступінь кардинального числа Л. Іншими словами, С (Р (А)) = С (2А) = 2С (А). На підставі вже встановлених результатів можна бачити деякі співвідношення у світі трансфінітних чисел. Кардинальне число точок на лінії є те ж саме, що кардинальне число безлічі дійсних чисел в інтервалі (О, 1). Далі, кардинальне число безлічі дійсних чисел в інтервалі (0, 1) одно кардинального числа безлічі-ступеня безлічі натуральних чисел P (N). Але тоді число точок на лінії одно C (P (N)) = 2 * °. Виникає питання, в якому співвідношенні перебувають поняття безперервної лінії і її точок, що розглядаються як множини. Це підводить нас до розгляду співвідношення безперервного і дискретного.
|
||
| « Попередня | Наступна » | |
|
|
||
Інформація, релевантна " 3. Перехід до трансфинитное " |
||
|
||