6. Континуум-гіпотеза

Завдання визначення міри континууму, тобто визначення потужності безлічі точок на лінії, може бути поставлена в термінах кардинальних і ординальних чисел. Як буде вказано пізніше, два види чисел були введені Кантором незалежним чином, і тому така постановка питання цілком допустима з точки зору логіки. Мається ієрархія кардинальних чисел, Х0, X,, ... . Кількість точок на лінії одно 2К0, тобто це число більше безлічі з потужністю К. Природно було б припустити, що раз слідом за К 0 йде До худа кількість точок на лінії одно Хрт.е. 2 * ° = К,. Це твердження, яке дійсно зробив Кантор, називається континуум-гіпотезою. Чому ця гіпотеза була настільки важливою для теорії Кантора?

Більш загальна постановка питання про співвідношення шкали Алеф і потужності континууму полягає у виявленні того, який з Алеф представляє число точок на прямій лінії. Кантор порахував, що це N. Еквівалентна твердження полягає в наступному: будь-яке нескінченна підмножина континууму має потужність або множини цілих чисел, або всього контінуума67. Походження цього твердження також зрозуміло з припущення Кантора про те, що система Алеф є не що інше, як система всіх трансфінітних кардинальних чисел. А це означає, що потужність континууму повинна бути серед системи алефов68.

Що собою являє система Алеф? Як вже було зазначено, безліч всіх трансфінітних чисел ніколи не може бути повністю зрозуміле, будучи, на думку Кантора, Абсолютом в релігійний-метафізичному сенсі. Саме з цієї причини вже відомі йому парадокси теорії множин не турбували Кантора, який вважав несуперечливість своєї теорії встановленим фактом. Повна послідовність трансфінітних чисел існує як абсолютна сутність у незмінному і незбагненному розумі Бога. Але враховуючи парадокс, який носить його ім'я, він був змушений обмежитися тільки так званими несуперечливими множинами. При цьому він сподівався, що континуум-гіпотеза не буде порожній комбінацією безглуздих символів. Континуум, будучи цілком-визначеним і самозамкнутості безліччю елементів, повинен бути також несуперечливим безліччю, і таким чином, повинен бути еквівалентним за потужністю деякого трансфинитное Алеф. У системі цих припущень бракувало останнього кроку, а саме, докази 2К0 = X

Саме тому деякі математики називали твердження Кантора про те, що континуум дорівнює X,, основний догмою Кантора. Вже говорилося, що ідеї Кантора зустріли різкий опір більшості сучасних йому математиків. Чудовою ілюстрацією цього є драматичний епізод, пов'язаний з «основний догмою Кантора». «Основна догма» заслуговувала самого ретельного уваги, свідченням чого є те, що Д. Гільберт, виступаючи з доповіддю на Другому міжнародному конгресі з математики, який відбувся в Парижі під час Всесвітньої виставки в 1900 р., дав перелік основних невирішених проблем в ма- тематиці, які належить вирішувати в XX в. Список очолювала континуум-гіпотеза Кантора.

На Третьому міжнародному конгресі з математики, який відбувся в Гейдельберзі в 1904 р.

Протягом ряду років Кантор намагався довести свою гіпотезу, але не досяг успіху в цьому. Однак дослідження на цьому шляху призвели до примітним результатами, з яких найбільш цікаво виділення аксіоми вибору, навколо якої досі вирують суперечки математиків. Як зазначає К. Гедель, так і не встановлено потужність континууму, зокрема, не визначена навіть верхня межа, якою б великою вона не була, потужності контінуума69. У той же час відомі багато цікаві слідства континуум-гипотен-зи, а також еквівалентні їй затвердження. Як зазначає Гедель, труднощі в доведенні континуум-гіпотези з першого погляду здаються дивовижними. Оскільки мова йде про «обчисленні» 2Х0, виникає припущення, що все впирається в «таблицю множення» кардинальних чисел. Однак твір трансфінітних чисел не може бути оцінено з точки зору знаходження верхньої межі результату множення. Заздалегідь скажемо, що континуум-гіпотеза виявилася нерозв'язним твердженням. Доказ цього примітного факту зобов'язане К. Ге-ділю і Дж. Коену. Континуум-гіпотеза нерозв'язна в тому сенсі, що за умови несуперечності аксіоматичної теорії множин Цермело - Френкеля додавання до неї континуум-гіпотези не приводить до протиріччя. Але і додавання до цієї системи отри-цанія континуум-гіпотези також не приводить до протиріччя. У певному сенсі, в такій ситуації ми маємо дві теорії множин, і остання можливість називається неканторовской теорією множин.

Оскільки континуум-гіпотеза пов'язана з багатьма цікавими результатами, дискусії на користь її прийняття або відхилення ведуться з залученням «правдоподібних» аргументів, а саме, як співвідноситься континуум-гіпотеза з іншими аксіомами теорії множин, а також з різними фактами в теоретико-множинних дослідженнях. В даний час ситуація з континуум-гіпотезою може бути охарактеризована рядом положень, серед яких інтерес для філософів представляють наступні. По-перше, нинішні математики в цілому не поділяють переконання Кантора в правильності континуум-гіпотези. По-друге, континуум-гіпотеза випливає з аксіом Цермело - Френкеля і аксіоми конструюються ™ Геделя (V = L). Але багато дослідників вважають останню аксіому занадто обмежувальної, і тому сумніви в її відношенні кидають тінь на континуум-гіпотезу. По-третє, ті, хто не вірить у правильність континуум-гіпотези, вважають, що континуум має дуже велике кардинальне число, більше, ніж X. (Така оцінка передбачалася Геделем. У цьому зв'язку можна згадати апокрифічний випадок з Н. Лузіним, який на одному із семінарів, після довгих безуспішних спроб вирішити проблему континууму, заявив, що він, нарешті, знає, яка потужність континууму - це X?! Цей анекдот говорить про те, який жартівливий свавілля може бути в судженнях математиків за відсутності більш-менш чітких обрисів у набутті розуміння природи континууму.) Одна з робіт Д. Мартіна може бути інтерпретована так, що континуум має потужність Хг

Результат незалежності континуум-гіпотези ставить питання про те, чи має це твердження істиннісне значення взагалі.

Що стосується математичного міркування, то тут слід зазначити, що нерозв'язність континуум-гіпотези в системі Цермело-Френкеля ще не їсти остаточне судження про наявність у гіпотези истинностного значення. Зрештою, аксіоматична система Цермело - Френкеля не є привілейованою, і згодом можуть з'явитися й інші аксіоми. Так, Дж. Коен вказував, що континуум як неймовірно велика безліч може бути заданий чіткої нової аксіомою, і така безліч не може бути отримано поетапним процесом конструювання (який гарантується аксіомами Цермело - Френкеля).

У кінцевому рахунку, все впирається в те, яка філософська позиція приймається математиком. З точки зору платоністов, який розглядає математичні об'єкти як існуючі незалежно від людських ментальних конструкцій, континуум-гіпотеза або істинна, або помилкова. Формаліст ж обмежиться результатом незалежності континуум-гіпотези, хоча йому доведеться зіткнутися з проблемою інтерпретації цього дивного результату. Самі математики, будучи здебільшого формалістами, воліють в «офіційних» розмовах не говорити про «істинності» або «хибність» континуум-гіпотези.

Подібна дискусія піднімає більш загальні питання про те, чи мають багато питань в математиці певне істиннісне значення. Це стосується «філософської совісті» математиків, і оскільки філософські позиції можуть варіюватися, ситуація може бути найвищою мірою варіативної. Фінітісти довіряють судженням тільки щодо цілих чисел, в той час як плато-ність довіряє судженням про трансфінітних числах. Між двома цими крайнощами є безліч позицій, які добре видно з наступного досвіду з дослідниками в галузі теорії множеств72. Їм були запропоновані десять тверджень, і п'ять варіантів відповіді на них. Твердження були такі: 1) 2 + 2 = 4, 2) остання теорема Ферма (тоді вона ще не була доведена), 3) аксіоми Пеано несуперечливі; 4) аксіоми Цермело - Френкеля непро-тіворечіви; 5) основні теореми аналізу; 6) гіпотеза Рімана; 7) аксіома вибору; 8) континуум-гіпотеза; 9) існують незліченні граничні кардинали; 10) існують вимірні кардинали.

Відповіді були такі: 1) істинно; 2) помилково; 3) або істинно, або хибно, але невідомо, що саме; 4) ні істинно, ні брехливо; 5) або (помилково або істинно , але невідомо, що саме), або (ні істинно, ні брехливо), але невідомо, що саме. Тільки дві людини з опитаних були справжніми платоністов, відповіді яких обмежувалися першими трьома варіантами. Це підриває переконання в тому, що здебільшого математики вірять в об'єктивність досліджуваного ними світу. Автор книги Підстави конструктивного аналізу Е. Бішоп зробив у цьому зв'язку знамените зауваження: «Математика належить людині, а не Богу. Нас не цікавлять властивості цілих позитивних чисел, які не мають дескриптивного значення для людини як істоти, обмеженого у своїх можливостях. Коли людина доводить існування цілого позитивного числа, він повинен знати, як знайти його. Якщо у Бога є своя математика, яка вимагає розробки, залиште цю задачу Йому »73.

Інформація, релевантна " 6. Континуум-гіпотеза "

1. МНОЖИНИ
   континуум-гіпотези Кантора і аксіомі конструюються ™ Геделя. У кожному з цих випадків у нас немає аргументів, які б привели до визначення истинностного значення відповідних тверджень. Починаючи з пізнього Віттгенштей-на, думку про те, що нерозв'язні твердження з'являються в результаті спроб відповісти на неправильно поставлені питання, стала майже загальним місцем у філософії. У рамках
   
2. Целищев В.В.. Філософія математики. 4.1. - Новосибірськ: Наука,. -212 С., 2002
   
   
3. I. Попереднє пояснення
   гіпотезами щодо походження живих теп. Одна, Гіпотеза Спеціального Творіння, стверджує, що організми створені кожен окремо. Інша, Гіпотеза еволюції, вчить, що вони виникли поступово і під впливом факторів, подібних тим, які ми звичайно спостерігаємо. Обидві гіпотези припускають невідому Причину. Подивимося, яка з них краще узгоджується з встановленими
   
4. Ключові терміни
   гіпотеза «фрустрація-агресія» 375 гіпотеза співпереживання-альтруїзму 364 гіпотеза емпатичних задоволення 367 інструментальна агресія 383 когнітивні теорії агресії 372 модель генетичного детермінізму 368 модель полегшення негативного стану 366 модель поведінки типу А 382 модель поведінки типу Б 382 покарання 387 залишкове збудження 380 плюралістичне неведення 356
   
5. 4. Спірні аксіоми
     континуум-гіпотези може бути приєднано до деякої обмеженої версії теорії множин без появи протиріччя в результуючої системі (1938 р.). Іншими словами, якщо таке протиріччя й існує, вона вже є в обмеженою теорії множин. Під обмеженою теорією множин можна розуміти систему аксіом, наведену в попередніх двох розділах. У 1963 р. Дж. Коен довів, що
   
6. 4. Аристотелевская схема природної науки
     континуумом. У той час як традиційний Захід почав з цього континууму і все ж повертається до окремих частин його для підтвердження своїх синтаксично сформульованих у вигляді постулатів приписуваних теорій структур і об'єктів, в яких ці окремі частини складного естетичного континууму є просто коррелятами або знаками, Схід прагне концентрувати свою вни * мание на цьому
   
7. 6. КОНТИНУУМ "БУТТЯ-СВІДОМІСТЬ" І ЙОГО некласичних СЛІДСТВА [1]
     континууму буття-свідомості і розглядати "буття" і "свідомість" лише в якості різних його моментів, маючи на увазі області, де втрачають сенс класичні розрізнення об'єкта і суб'єкта, реальності і способу подання, дійсного і уявного і т.д. Але тут якраз і з'являються (і зберігаються в теорії, що претендує на об'єктивність методу опису) перетворені об'єкти (ірраціональні
   
8. питання До іспиту ПО логіці
     гіпотез. Побудова гіпотези. Перевірка
   
9.  Тема 6. Основні закони логіки. Гіпотеза
     Тема 6. Основні закони логіки.
   
10. Надійність і строгість докази
      гіпотези. Перша з них, яку можна назвати релятивістської, полягає в тому, що історичне очищення докази являє собою нескінченний процес, що веде до підвищення його надійності і строгості, але ніколи не досягає межі. З цієї точки зору, в математиці можуть існувати більш надійні і менш надійні докази, але не існує і не може існувати доказів