5. Трансфінітні ординальні числа

Обговорювані нами числа звуться ординальних, з чого ясно, що мова йде про порядкові числах ряду. Кардинальне число ряду натуральних чисел єдино, а ось ординальних чисел натурального ряду може бути багато. Ординальне число ряду може змінюватися простим переупорядочение його членів. Процедура починається з натурального ряду чисел

1, 2, 3, 4, ..., «, ...

Цей ряд має найменше ординальне число, назване Кантором ш. Тепер витончуючись цей ряд шляхом повторення операції Ізи-манія першого парного числа і зсуву його в кінець ряду. При цьому виходить послідовність різних рядів: 1, 3, 4, 5, п, ... 2 +1, 3, 5, 6, ... п + 1,. .. 2, 4 1, 3, 5, 7, п + 2,. -2, 4, 6 і так далі. Якщо цей процес триває як завгодно довго, в результаті ми маємо ряд

1, 3, 5, 7, ... 2п + 1, ... 2, 4, 6, 8, ... 2п.

Ординальне число першого ряду зі + 1, друга - зі + 2, третє - зі + 3 та підсумкового - 2СО. Кожне наступне число «більше» попереднього. Інтуїтивно введення порядку обгрунтовується тим, що одне ординальне число більше іншого, якщо ряд, що має перше число, містить частину ряду, що має друге число. Наведений нижче приклад порівнює таким чином два ряди:

1, 3, 4, 5, п, ... 2

1, 3, 5, 6, ... п + 1, ... 2, 4. Перший ряд подібний частини другого ряду, і тому має більшу ординальне число. Взагалі, потоншення ряду натуральних чисел можна продовжувати і далі. Отримання ряду з ординальне числом со2 відбувається шляхом приміщення на початку ряду непарних чисел, потім подвоєння цих чисел, потім подвоєння і цих чисел і т.д. Таким чином, виходить ряд

1, 3, 5, 7, ... ; 2,6, 10, 14, ... ; 4, 12,20,28, ... ; 8, 24, 40, 56, ... .

У ході подібного процесу можна отримати і СО3, С4, .. . Сот і т.д. Ми не входимо тут поки у формальні деталі подібного роду нескінченного процесу стоншення натурального ряду. Відзначимо важливий результат, який отримає далі більш сувору трактування. Ряд всіх ординальних чисел, які можуть бути отримані таким шляхом, сам по собі більше, ніж будь-який ряд, який може бути отриманий переупорядочение членів натурального ряду. Кардинальне число такого ряду ординальних чисел має кардинальне число X, яке, як вже було видно, більше ординальне число такого ряду - зі,.

Тут ми бачимо, що є прямий зв'язок між двома видами нескінченних чисел - ординальне і кардинальними. Тим часом важливо розуміти, що кожне з чисел було введено незалежним чином, і надалі Кантор доклав значних зусиль для вирішення питань, які виникли на шляху пов'язання цих двох видів чисел.

Формальне введення ординальних чисел має настільки великий новизною, що нова математична теорія зіткнулася з активним неприйняттям. Як вже згадувалося вище, один з математиків, які не брали теорії трансфінітних чисел, вигукнув: «Це вже не математика, а справжня теологія». Дійсно, Кантор «творить» ординальні числа, встановлюючи три принципи породження їх.

Перший принцип породження полягає в додаванні одиниці до числа, яке вже було породжене. Цей принцип дає числа, що належать до першого числовому класу: (I) = 0, 1, 2, 3, 4, ... .

Перший принцип дозволяє нам отримати натуральний ряд чисел. Тепер в дію вступає основне нововведення Кантора, а саме, розгляд нескінченної кількості як єдиного об'єкта. Проти такого розуміння нескінченності як актуальної нескінченності завершеного процесу, виступали прихильники концепції потенційної нескінченності як ніколи не завершується процесу. Якщо процес ніколи не завершується, тоді ми не вийдемо за межі множини натуральних чисел, або в термінології Кантора, перший числового класу. Для того, щоб перейти до трансфинитное числах, потрібен «стрибок» від першого числового класу до наступного.

Другий принцип породження формулюється так: Якщо є деяка певна послідовність цілих чисел, в якій немає найбільшого числа, може бути утворено нове число, яке визначається як найменше з чисел, які більше будь-якого цілого числа.

Отже, шляхом «стрибка» отримано нове число зі. Це те саме ординальне число, яке ми обговорювали раніше. Тепер ми можемо перейти до чисел зі + I, зі + 2, зі + 3, ..., використовуючи перший принцип породження. До цієї послідовності ординальних чисел застосовується другий принцип породження, в результаті чого виходить число й) 2 і т.д. Періодичну застосування двох принципів породження дає нам нескінченну ієрархію ординальних чисел. Всі ці числа складають другий числовий клас, і вони можуть розглядатися як об'єкти, отримані описаним вище процесом введення складного порядку в ряду натуральних чисел («потоншення» всякого роду).

Нагадаємо, що Кантор шукає такі нескінченні множини, які могли б скласти континуум. Тоді постає питання, чи достатньо отриманих чисел для цих цілей? Можна переконатися в тому, що всі породжені таким чином числа можуть бути поставлені в одно-однозначна відповідність з натуральними числами, і всі ординальні числа можуть бути приписані множинам натуральних чисел, коли вони вважаються не в натуральному порядку (включаючи процедури «стоншення» і перестроювання членів натурального ряду). Так що ординальні числа застосовуються до множинам, які мають потужність Х0. Таким чином, перші два принципи самі по собі не породжують будь-якого ординальне числа, яке могло б бути числом точок на лінії. Потрібен ще один «стрибок» у трансфинитное, що забезпечується третім принципом породження.

Для того щоб зрозуміти логічну структуру наступного «стрибка» в трансфинитное, слід більш ретельно проаналізувати перший принцип породження. У неявному вигляді він стверджує, що ніяке ординальне число не може бути менше самого себе. Якби для деякого ординальне числа а ми мали б співвідношення а <а, тоді б не могло бути найменшого ординальне числа, що перевищує а. Дійсно, якщо а <а, тоді в разі а <Ь можна було б утворити нерівність а <а <Комерсант. Але це означає, що між двома ординальне числами а і Комерсант існує ще одне ординальне число, так що b не може бути ординальне числом, що перевищує а.

Тепер перший і другий породжують принципи можуть бути об'єднані в третьому породжує принцип, формулювання якого вимагає більш розлогих пояснень. Сам принцип можна сформулювати так: для кожного безлічі А ординальних чисел існує найменше ординальне число, що перевищує будь-який член А; це число називається sup А.

Для розуміння того, чому третій принцип породження забезпечує «вирішальний стрибок» в область трансфинитное, потрібно розуміння того, якого роду множини А ординальних чисел існують взагалі. Як зазначалося раніше, будь-яка сукупність речей, об'єднаних думкою, може бути безліччю, за умови, що така сукупність взагалі можлива.

Традиційно виклад основ математики починають з парадоксів теорії множин, але проста декларація їх мало що говорить про їх справжньої значимості, поза технічних деталей. Ми приберегли ці парадокси для даного етапу, щоб показати їх справжню важливість. А дійсно, які безлічі можуть бути, а які не можуть? Найвідоміший з теоретико-множинних парадоксів - парадокс Рассела - стверджує, що сукупність У всіх множин, які не є членами самих себе, не може бути множиною. Бо якби В було безліччю, тоді було б протиріччя В є В, якщо і тільки якщо, В? В. Таким чином, ніяке безліч не може бути елементом самого себе. А це означає, що сукупність всіх множин К не є множиною.

Розглянемо більш приватне питання про безліч всіх ординальних чисел, яку позначимо через Оп. Згідно з третім принципом породження, тоді існує ординальне число Q = sup On. Але це неможливо, тому що якщо Q є ординальне число, тоді Q є елемент сукупності всіх ординальних чисел Оп. Але це означає, що Q ^{Ми апелюємо тут до інтуїції, тому що Q представляється поняттям повністю метафізичним. Це абсолютна нескінченність, що не піддається раціоналізації, незбагненна сутність. Ця сутність подібна Богу (так вважав сам Кантор), вона не підлягає жодним математичним маніпуляціям. Звідси випливає, що розмова про «всіх множинах» є лише наближенням до опису універсуму множин. Але безліч як таке представляється річчю об'єктивної і цілком збагненною. Третій принцип породження множин насправді є інша іпостась Принципу рефлексивних, оскільки стверджує, що ніяке безліч ординальних чисел А не досягає? 2. Точніше, третій принцип породження каже, що для будь-якого даного безлічі всіх ординальних чисел А завжди можна знайти якийсь ординальне число більше, ніж будь-який член А. Для будь-якого безлічі А ординальних чисел існує ординальне число sup А, яке лежить між А і незбагненним Q.}

Повертаючись до ідеї чергового «стрибка» в трансфинитное, розглянемо ті міркування, які лежать в основі третього принципу породження. Ми маємо загальність ординальних чисел, породжених першими двома принципами. Тепер потрібно відокремити або відмежувати цю загальність ординальних чисел таким чином, щоб другий принцип дав нове число, а саме СОГ Це число більше, ніж всі числа, що належать другій числовому класу. Сам принцип у формальному вигляді звучить так: всі числа, наступні в процесі породження за со, повинні бути такі, що сукупність чисел, що передують їм, повинна мати ту ж саму потужність (або одне і те ж кардинальне число), як і перший числовий клас . Ці числа складають другий числовий клас. А далі в дію знову вступають перший і другий принципи породження, розширюючи послідовність ординальних чисел. Кантор довів, що другий числовий клас не може бути поставлений в одно-однозначна відповідність з першим класом і не існує безлічі з кардинальними між цими двома класами. Таким чином, кардинальне число другого числового класу є наступне за К0, і іменується воно N г Будь-яке безліч, чиє ординальне число тобто зі, або більше, має кардинальне число більше KQ.

В узагальненому вигляді третій принцип породження трансфінітних чисел формулюється так: всі числа, утворені слідом за СОА, повинні бути такими, що сукупність чисел, що передує кожному такому числу, повинна мати той же кардинальне число, що й (а + 1)-й числовий клас. Ці числа будуть тоді складати (а + 2)-й числовий клас.

Інформація, релевантна " 5. Трансфінітні ординальні числа "

1. 7. Цілком-впорядковані множини
   трансфінітних чисел була автоматично цілком-впорядкованою. Цілком-впорядковані множини були досить корисні в проведенні відмінностей між кінцевим і нескінченним. Сам Кантор вважав, що головною перевагою введення трансфінітних чисел було створення концепції перерахування елементів цілком-упорядкованого нескінченної кількості. Об'єктивна реальність трансфінітних чисел виникала з факту
   
2. Аксіома заміщення
     ординальних чисел, як ft) + 1, зі + 2 і т.д., але не будь-якого безлічі, до якого вони належать. Іншими словами, немає гарантії існування ординальних чисел за межами зі + п для кінцевого п. Аксіома заміщення дозволяє визначити функцію / (і) = зі + п над зі, так що гарантується існування Множини значень функції. Об'єднання цієї множини із зі тоді дає уявлення зі + зі, і
   
3. МНОЖИНИ
     трансфінітних чисел є предметом нашого розгляду. І хоча філософію теорії множин не можна назвати сучасною, досі навколо самої теорії зберігається атмосфера захмарних ментальних конструкцій, настільки абстрактних, що викликало вигук одного з математиків - сучасника Кантора: «Це вже не математика, а теологія якась!». Філософія математики концентрується навколо
   
4. Аксіома пари
     трансфінітних сутностей, один з яких є предметом математичної теорії нескінченності, а другий - абсолютної нескінченністю, осягнення якої просто неможливо. Тим часом поняття абсолютної нескінченності формулюється досить точно: це сукупність всіх ординальних чисел, яка не може бути представлена у вигляді «однієї речі», оскільки це призводило б до парадоксу. Таким чином,
   
5. Предметний покажчик
     трансфинитное 203 - фундування 221, 223 - числа 203 Абсолютна істина 98, 101 Аналітичність - логіки 102, 103, 107 - математики 52 Апріорність 42-61 - категорій 42-61 - логіки 102 - математики 46-52 Апріорізм 42 - традиційний 52 - праксеологічний 58, 78 Нескінченність 157 - актуальна 157, 173, 174, 186 - математична 173, 215 - потенційна 174 - практична
   
6. 3. Перехід до трансфинитное
     трансфінітних чисел. Відомо, що припущення про цілком-впорядкованості множин рівносильно аксіомі вибору, яка має гучну історію в підставах математики. Для загальної трактування кінцевих і нескінченних множин слід ввести визначення, яке підходило б для тих і інших. Або ж слід показати, що закони для трансфінітних чисел не суперечать законам для кінцевих чисел. Але
   
7. Аксіома безлічі-ступеня
     ординальних чисел, що не належать другому числовому класу. З включенням аксіоми безлічі мірою стає можливим довести існування класу чисел другого порядку як множини, тоді як без аксіоми можливо тільки довести існування всіх членів цього
   
8. Формалізм. Математика як створення формально несуперечливих конструкцій
     трансфинитной математикою Кантора. Навпаки, він вважав, що канторовской теорія трансфінітних множин повністю реконструюється в термінах його финитной математики. Примирення кінцевої і трансфинитной математик, доказ несуперечності всієї системи можна назвати головною відмінною рисою гільберговского
   
9. 5. Про підхід П.С. Новикова
     трансфинитное індукцію, як правило, необхідну для обгрунтування операцій з такого роду об'єктами. Інтуїционістському підхід до обгрунтування математики істотно розширюється тут за рахунок переходу від финитной логіки до логіки трансфинитной із суворим збереженням, проте, принципу конструктивності, що усуває закон виключеного третього. На цій розширеній интуиционистской основі П.С. Новиков
   
10. Класи і парадокси
      трансфінітних) чи-сів, а разом з ними і нескінченних классов78. Повне пояснення подібного роду, визнається Рассел, означало б синтез результатів, досягнутих Фреге і Георгом Кантором. Не можна бути впевненим ні в тому, що число реальних об'єктів і їх властивостей в універсумі, в якому ми живемо, звичайно, ні в тому, що воно нескінченно. Але оскільки математика має справу з нескінченними
    
11. 6. Континуум-гіпотеза
      трансфінітних кардинальних чисел. А це означає, що потужність континууму повинна бути серед системи алефов68. Що собою являє система Алеф? Як вже було зазначено, безліч всіх трансфінітних чисел ніколи не може бути повністю зрозуміле, будучи, на думку Кантора, Абсолютом в релігійний-метафізичному сенсі. Саме з цієї причини вже відомі йому парадокси теорії безлічі не
    
12. 4. Вихід за межі фінітізма
      трансфинитной аксіоми, звичайно, робить метатеорію незадовільною в цьому відношенні. Є підстави припускати, що в даному випадку цей дефект може бути усунений. Введення трансфинитной аксіоми мотивовано у Гільберта не її змістовної ясністю, а її ефективністю: вона дозволяє відновити закон виключеного третього, обгрунтувати принцип трансфинитной індукції та операції з
    
13. Криза математики на початку XX століття
      трансфінітних (нескінченних) множин підірвала склалося спокій. Її головна особливість полягала в тому, що вона була теорією актуально нескінченних множин і, зокрема, дозволяла кількісно оцінювати і оперувати такими множинами. Кантор розрізняв потенційну та актуальну нескінченність в наступному сенсі. Потенційна нескінченність представляє кінцеву величину, яка
    
14. 1. Теорема та її інтерпретації
      трансфинитное числам. Буває й навпаки. Так, припустимо, що якийсь математик склав систему аксіом для теорії множин таким чином, що вони дозволяють описувати й описували незліченні сукупності множин. Нерідко він виявляє лічильну (перелічуваних) сукупність множин, що задовольняє всім аксіомам, і інші трансфінітні інтерпретації, зовсім відмінні від тих, які він мав
    
15. Опрелеленія числа
      числа, даними Фреге. Поняття числа може бути характеристикою тільки чисел, а не речей. Безліч, що містить певне число об'єктів - приклад окремого, конкретного числа, але не поняття числа. Трійка людей - приклад числа три, число три - приклад конкретного натурального числа, але трійка людей не є прикладом натурального числа. Конкретне число не ідентичне тому безлічі, елементи
    
16. Відносини Сопротяженності і Несопротяженності
      числа станів, що входять в кожен з цих рядів. § 364. Ставлення сопротяженності, що розглядається суб'єктивно, може бути визначено, як подібність двох складних станів свідомості, зорових або дотикових, щодо числа і порядку елементарних відносин співіснування, які входять до складу кожного з них; причому кожне з цих складних станів свідомості утворено шляхом
    
17. 1. Рахунок і нескінченність
      трансфінітних чисел. Але слід мати на увазі, що виникає на цьому шляху узагальнене поняття числа, а саме, кардинального числа, радикально змінює існувало до Кантора уявлення про нескінченність. Поширення ідеї одно-однозначної відповідності на нескінченні множини стикається з труднощами, яка була відома ще Галілею. Справа в тому, що нескінченні множини мають