|
Дійсно, часто обговорення філософських наслідків стосується обмежень в ресурсах, які має будь-який формальний апарат докази відповідних теорем. При цьому домінують дві позиції. Якщо ресурси не дозволяють змоделювати деяку концепцію, тоді цієї концепції не існує в коректному вигляді. З іншого боку, вважають, що математична практика включає таке розуміння концепцій, яке не схильне обмеженням в ресурсах формальної мови. Обидва погляду цілком правомірні з точки зору філософської інтерпретації математичних результатів. Але неправомірним є змішання цих двох точок зору, коли обмеження, що стосуються суто формальних ресурсів, переносяться автоматично на неформализованную математичну практику. Іншими словами, слід бути гранично акуратним при виведенні філософських наслідків з математичних теорем, оскільки часто відбувається вищезазначене змішання деталей, що відносяться до різних областей знання, що мають різні критерії адекватності та обгрунтування. Саме такий стан справ спостерігається у зв'язку з філософськими наслідками теореми Левенгейма - Сколема. Теорема Левенгейма - Сколема якось обійдена філософським увагою, хоча наслідки з неї скільки глибокі, настільки й неясні. Формально теорема Левенгейма - Сколема непроблематично: будь-яка теорія першого порядку, що має незліченну модель, має рахункову модель. Але майже негайно відносно цієї теореми виникає атмосфера парадоксу. Згідно діагональної теоремі Кантора не існує одно-однозначної відповідності між безліччю раціональних чисел і множиною дійсних чисел. Якщо є деяка версія формалізованої теорії чисел, тоді теорема приймає вид -і (ER) (R одно-однозначно. Область визначення RaN. Область значень R є S), де R - відношення, N - є формальний термін для безлічі всіх цілих чисел, S - безліч дійсних чисел, і всі три частини кон'юнкції мають визначення в термінах першого порядку. Тому формалізована теорія множин каже, що певну безліч S незліченно, і теорія множин повинна мати тільки незліченні моделі. Але це неможливо, оскільки за теоремою Левенгейма - Сколема, якщо теорія має незліченну модель, вона також має і рахункову. «Популярна» інтерпретація теореми Левенгейма - Сколема представлена Клайном в його чудовою книзі: «Припустимо, що складена система аксіом (логічних і математичних) для якоїсь галузі математики або теорії множин, яка розглядається як основа для всієї математики. Найбільш підходящим прикладом може служити система аксіом для цілих чисел. Складаючи її, математики прагнули до того, щоб ці аксіоми повністю описували позитивні цілі числа, і тільки цілі числа, але на свій подив виявили абсолютно нові інтерпретації, або моделі, проте задовольняють всім аксіомам.
Наприклад, у той час як безліч цілих чисел лічильно, в інших інтерпретаціях виникають множини, що містять стільки ж елементів, скільки їх містить безліч всіх дійсних чисел, і безлічі, що відповідають ще більшим трансфинитное числам. Буває й навпаки. Так, припустимо, що якийсь математик склав систему аксіом для теорії множин таким чином, що вони дозволяють описувати й описували незліченні сукупності множин. Нерідко він виявляє лічильну (перелічуваних) сукупність множин, що задовольняє всім аксіомам, і інші трансфінітні інтерпретації, зовсім відмінні від тих, які він мав на увазі, складаючи свою систему аксіом. Більше того, з'ясувалося, що кожна несуперечлива система аксіом допускає лічильну модель.Інакше кажучи, система аксіом, складена для опису од-ного-єдиного класу математичних об'єктів, явно не відповідає своєму призначенню. Теорема Левенгейма - Сколема стверджує, що будь-яка система аксіом допускає набагато більше істотно різних інтерпретацій, ніж передбачалося при її створенні. Аксіоми не встановлюють меж для інтерпретацій, або моделей. Отже, математичну реальність неможливо однозначно включити в аксіоматичні системи »125. Добре відома релятивістська інтерпретація цієї теореми, що належить самому Скольому, яка надовго утвердилася в якості стандартної інтерпретації у філософії математики. У популярних викладах релятивізм подібного роду цілком відповідав за своїм духом «дивацтв» підстав математики і теорії множин. Скола і його прихильники роблять висновок з теореми, що не існує такої речі як «абсолютна» незліченну, а існує незліченну лише відносно формальної системи, і тому у всесвіті існують тільки кінцеві або рахункові множини. Безліч, яке незліченно у формальній теорії, лічильно поза теорії, в метамови, і звідси ніякої термін формальної теорії не може розглядатися як що позначає щось більше, ніж щодо незліченну. Це звучить парадоксально, оскільки передбачається, що теорія множин описує цілком певну реальність, яка «схоплюється» формальним поданням до аксіоматичному вигляді. Парадокс цей одержав ім'я Сколема, і хоча він і фігурує в літературі як «парадокс Сколема», багато заперечують за ним статус справжнього парадоксу. Парадоксальний релятивізм у розумінні потужності множин, і звичайно, він викликає багато заперечень. Одне з них є чисто технічним: В. Кленк зазначає, що Скола прогледів інший бік медалі - «спрямованої вгору» версії теореми Левенгейма - Сколема, яка говорить нам, що будь-яка теорія з нескінченною моделлю має моделі будь нескінченної кардинальності, включаючи величезні незліченні моделі.
І тоді неясно, чому суперечка йде тільки про протиставлення рахункових і несчет-них моделей. На переконання противників релятивізму, платоніс-тов, «абсолютно немає причин дозволяти рахунковим моделям мати велику значимість, ніж незліченною, якщо не брати до уваги вперте перевагу счетності, яке не має нічого спільного з доказом» 126.Перед тим як перейти до аналізу власне філософських інтерпретацій теореми Левенгейма-Сколема, слід зазначити деякого роду скептицизм щодо можливості прийти до якогось певного висновку. Багато хто вважає, що вже сам предмет математики гарантує необхідну для такого роду висновків переконливість. Один час Б. Рассел поділяв саме таку точку зору: «У всій філософії математики, в якій тобто не менше сумнівів, ніж в будь-який інший частині філософії, порядок і визначеність змінили плутанину і коливання, які перш панували тут. Філософи, правда, до цих пір не виявили цього факту і продовжують писати про предмет у колишньому стилі. Але математики ... володіють таким трактуванням принципів математики, яка точна, і дозволяє їм визначеність математики перенести також на математичну філософію »127. Однак як покаже подальший виклад питання, ця точка зору навряд чи вірна. Визначеності немає зовсім, і розкид думок тут просто величезний. Якщо одні схиляються до того, що теорема Левенгейма - Сколема не має сама по собі незалежного філософського значення і байдужа до більшості філософських позіцій128, то інші засновують на теоремі ціле епістемологічної напрямок з радикальними висновками щодо природи язика129. У більш технічних термінах ситуація з парадоксом Сколема виглядає наступним чином. З парадоксу можуть бути зроблені висновки про те, що: А) оскільки першого порядку формалізації теорії множин мають рахункові моделі, вони не можуть висловити або «схопити» концепцію численної безлічі; Б) оскільки неможливо «схопити» або висловити концепцію численної безлічі через аксіоматизації першого порядку теорії множин, ми не володіємо такою концепцією. Як відомо, стандартна аксіоматика для теорії множин представлена системою Цермело - Френкеля, яка розглядається як цілком задовільна для чисто математичних цілей. Тим часом філософські інтерпретації концепцій, що входять в аксіоматику, зустрічаються з безліччю неясностей і труднощів, які породжують скепсис щодо цих концепцій.
|
- Целищев В.В.. Філософія математики. 4.1. - Новосибірськ: Наука,. -212 С., 2002
- 3. Дозвіл парадоксу
теореми до рівня значного епістемологічного тези про природу мови. Так що незрозуміло було, що власне обговорювати, - власне філософську інтерпретацію теореми Левенгейма - Сколема або ж загальний скептичний виклик теорії пізнання. Оскільки основною метою цього розділу є відділення інтерпретації технічних результатів від занадто загальних філософських тез, представляється
- ассерторіческіе і аподиктичні очевидність
теоремі, якщо всі її умови виконані, і не допускаємо можливості виявлення в ньому принципової неповноти доводів, якщо доказ добре перевірено та прийнято математичним співтовариством. Людина, знайомий з геометрією, не сумнівається в тому, що теорема Піфагора доведена бездоганно і що вона достовірна в тому сенсі, що не існує прямокутних трикутників, для яких не виконувалося
- Ставлення логічного проходження в логіці предикатів
теоремам: Т1. У ^ (х) фк = (Ех'фх \ Т2. | - (Х) фх = ^ (Ех'фх. Заперечення будь-якого квантора рівносильно заміні його на протилежний при одночасному запереченні всієї області його дії. Правила підстановки Якщо деяка формула містить входження вільних змінних, то на їх місце можуть підставлятися терми.
- ПРЕЛЮДІЯ До ЧОЛІ 3
теорем про неповноту. Тут, як і у всіх аспектах свого життя, Гедель був параноїдально обережний. Папери, які він залишив після своєї смерті, розкривають перед нами світ гострих і глибоких думок про математику і філософії (записаних у незвичайній формі німецької скоропису), жодну з яких Гедель не оприлюднював прижиттєво ... Найбільш інтригуючим відкриттям в його неопублікованих паперах було
- Фізична теорія - загальний огляд
теореми даної фізичної теорії, якщо вона приймається за доведену, - це просто математичні теореми або щось ще? - Єдиним Чи чином визначають формалізм фізичної теорії ключові формули, які ми хо * тім систематизувати, або існують альтернативи, і якщо справа йде саме так, то еквівалентні чи вони у всіх відносинах? - Що мають на увазі, коли говорять про
- ТЕОРЕМИ І МОДЕЛІ
теоремам, які мають численні філософські інтерпретації та слідства. До таких результатів належить, наприклад, теорема Геделя про неповноту арифметики, або теорема Тарського про неможливість визначити поняття істини для системи всередині самої системи. Однак з широкою популярністю подібного роду метаматематичних результатів зростає число їх неправильних інтерпретацій і попросту
- Несуперечність завершеною аксіоматики
теорем) і в плані становлення системи її внутрішніх визначень. Йдеться тут, зрозуміло, про одному і тому ж процесі, але при теоретичному аналізі ми отримуємо тут істотно різні картини, що виявляють різні моменти становлення математичної теорії. Досліджуючи теорію, в першу плані ми розглядаємо її як процес історичного взаємодії тверджень різного рівня, що приводить її
- 5. Обгрунтування несуперечності на основі факту
теоремою Піфагора. Особливість теореми Піфагора полягає в тому, що її суворе доказ вимагає використання всіх планіметричних аксіом евклідової геометрії. Всі ці аксіоми як би стягуються у факті, вираженому в теоремі Піфагора. Інша чудова особливість теореми Піфагора полягає в тому, що вона може бути обгрунтована у своїй істинності поза аксіоматичного розгортання теорії,
- 2. Неминучість стабілізації
теорем, але й самі однозначно визначаються системою визнаних теорем. З принципів фізичної теорії ми виводимо певну безліч висновків про факти - внутрішніх зв'язках теорії, які мають безпосередню емпіричну інтерпретацію, але самі ці факти ніколи не розглядаються тут як визначальні безліч принципів. У методології фізики ми говоримо про те , що одна і та ж система фактів в
- 2. Захист фінітізма
теоремою К. Геделя про неповноту (1931), яка стверджує, що якщо обчислення несуперечливо і є достатнім для вираження аксіом арифметики, то його несуперечність не може бути доведена в метатеорії, що допускає арифметизации. Оскільки досить очевидно, що будь-яка метатеорія, що має справу тільки з синтаксисом теорії, аріфметізіруема, то ні арифметика, ні аналіз, ні теорія
- Можливості і межі формалізації (філософський сенс теорем Геделя, Тарського)
теорему про неповноту формалізованої арифметики. Він довів, що в системі «Principia Mathematica» і в будь-який інший формальній системі, здатної виразити арифметику натуральних чисел, маються нерозв'язні (тобто недоведені і разом з тим неспростовні в даній системі) пропозиції. Теорема Геделя свідчить про те, що арифметика натуральних чисел включає зміст, який не може бути
- 2J5. Загальна схема
теорем Т {, які не тільки кінцеві по числу, але також частково і чужі теорії гь хоча і сформульовані на її мовою. (Ще одна причина для заперечення ідентичності «теорії» і «мови».) Зауважимо, що реальна ситуація, в ко-1 R. G. Newton, Scattering Theory of Waves and Particles, McGraw HfU, New York, 1966. * M. Bunge, The Myth of Simplicity, 1963. * C * i "наприклад: R. G. Newton,
- 10. Операціональні визначення в геометрії
теоремах властивості. Ми шукаємо «фізичну інтерпретацію» аксіом геометрії. Ми, наприклад, могли б сказати, що інтерпретуємо пряму лінію у фізичному світі як ребро залізного куба. У фізиці таке тіло може бути визначено тільки за допомогою тієї технологічної процедури, за допомогою якої такий куб виготовляється. Ми повинні взяти до уваги поправки щодо змін розмірів і форми,
- 2. Абсолютна критеріальність математичної спільноти
теореми, тобто самого факту проходження певних висновків з певної системи посилок. Досвід показує, що будь-яке математичне доказ після закінчення певного часу або усувається критикою як помилкове, або досягає стану завершеності, повної внутрішньої визначеності, що гарантує його надійність. Математична практика не підтверджує факту постійної
- Аксіома вибору
теорем теорії множин вказується, чи отримано цей результат за допомогою цієї аксіоми чи ні. Не дуже ясний і статус аксіоми; сам Цермело вважав її логічним принципом, і цієї точки зору дотримуються і багато сучасних дослідників (наприклад Я. Хінтікка) 106. Часткове виправдання цієї точки зору полягає в тому, що багато хто знаходить аксіому вибору інтуїтивно правдоподібною. Проблема полягає
- Аналогія і додатковість
інтерпретації нових формул. Обчислювальної - для вирішення обчислювальних проблем за допомогою аналогій (наприклад, електричні моделі механічних систем). Експериментальною - для вирішення проблем емпіричної перевірки шляхом Оперування тими чи іншими аналогами, зокрема копіями та моделями (наприклад, експериментальний аналіз напружень в сталевих тілах на прозорих пластикових моделях). Ми
- 1. Основні характеристики математичного докази
теоремі був би в цьому випадку спростуванням аподиктичні очевидною аксіоми або правила виводу. Однак такого роду спростування, як ми з'ясували вище, в принципі неможливі-. Доказ теореми про площі паралелограма, про який говорилося вище, засноване на самоочевидних перетворенні вихідної фігури, є аподиктичні очевидним в усіх своїх кроках і, внаслідок цього, абсолютно
- 9. Висновок
інтерпретації та пояснення, вона уникає інтерпретацій
|