|
Ключовим питанням всієї проблеми обгрунтування математики є питання про надійність математичного докази. Якщо допустити, що всі докази в якійсь мірі ненадійні, то проблема обгрунтування математики, принаймні як проблема внутріматематіческіе, втрачає сенс, бо обгрунтування математичної теорії має бути результатом безумовно надійного докази.
Ми віримо у надійність визнаного математичного доказу в тому сенсі, що не допускаємо можливості контрприкладів до теореми, якщо всі її умови виконані, і не допускаємо можливості виявлення в ньому принципової неповноти доводів, якщо доказ добре перевірено і прийнято математичним співтовариством. Людина, знайомий з геометрією, не сумнівається в тому, що теорема Піфагора доведена бездоганно і що вона достовірна в тому сенсі, що не існує прямокутних трикутників, для яких не виконувалося б співвідношення а2 + Ь2 = с2.
Ми віримо у надійність математичних теорем як тверджень строго доведених. Гносеологічна проблема полягає в тому, щоб зрозуміти витоки і обгрунтованість цієї віри.
|
- 2. Абсолютна критеріальність математичної спільноти
У своєму становленні доказ проходить різні щаблі. Спочатку воно може використовувати інтуїтивні поняття, які не є в достатній мірі певними, а також приховані емпіричні та індуктивні доводи і, таким чином, бути далеким від ідеалу непорушного, абсолютно надійного умовиводи. Іншими словами, доказ на перших стадіях свого становлення може спиратися як на
- § 1 Проблема сенсу моралі як можливості здійснення належного
Складність, багатогранність моралі - очевидний факт для її дослідників : моральні відносини, свідомість і діяльність людей невичерпні у своєму синхронічному і діахронічному розмаїтті, тобто в розрізах сучасного та історичного буття. Мораль є і специфічним способом пізнання, самовизначення людини в світі, і нічим не замінним соціальним інститутом, що регулює людські
- 11. Концепція геометрії XX століття
Коли близько 1600 розвинулася наука нового часу, то відносно уявлень науки, яка підкреслювала логічні системи термінів, виникало деяка недовіра. Задовго до того, як стали думати про поняття «операциональное-значення», логічні системи, які отримали вираз в середньовічної схоластики, застосовувалися до світу досвіду досить вільно. Думали,-що, сформулювавши логічну
- Предметний покажчик
Аксіома - нескінченності 168-170, 175, 180 - вибору 123, 168, 169, 176-178, 197 , 206, 215 - виділення 123, 180 - безперервності 156 - об'єктивності 180 - рівності 203 - сводимости 168 - трансфинитное 203 - фундування 221, 223 - числа 203 Абсолютна істина 98, 101 Аналітичність - логіки 102, 103, 107 - математики 52 Апріорність 42 -61 - категорій 42-61 - логіки 102
- 2. Критика концепції Лакатоса
Загальний напрямок думки Лакатоса безпосередньо пов'язано з попперовского вченням щодо передумов людського мислення. R «Логіки наукового дослідження» К. Поппер так висловлює свою думку: «В емпіричному базисі об'єктивної науки немає нічого ^ абсолютного». Наука не спочиває на твердому фундаменті фактів. Жорстка структура її теорії піднімається, так сказати, над болотом. Вона подібна будівлі,
- Надійність і строгість докази
Якщо ми визнаємо факт існування аподиктических очевидностей і їх абсолютну надійність, що складається в їх невразливості для контрприкладів, то питання про існування абсолютно надійних доказів зводиться до питання, якою мірою історична еволюція докази в рамках теорії гарантує його повне очищення від ассерторіческіе очевидностей. Тут можливі (і фактично існують) дві
- 1. Поняття аподиктической очевидності
Необхідно перш за все розділити такі поняття, як інтуїція і очевидність, які змішуються в звичайному слововживанні. Під словом інтуїція зазвичай розуміється процес прозріння, схоплювання істини, непідлеглий раціональним правилам і суттєво залежний від індивідуальних особливостей індивіда: інтуїтивно ясне для одного, як правило, не є таким для іншого. Очевидність - це
- 3. Кінцівка математичних доказів
Можливість абсолютної очистки докази від дефектів істотно пов'язана з його кінцівкою. Математичне доказ являє собою кінцеву процедуру або, точніше кажучи, діяльність у кінцевому поле можливостей. За змістом своїх понять математична теорія може бути як кінцевої, так і нескінченною, тобто як пов'язаної з поняттям нескінченності, так і не пов'язаної з ним.
- Аподиктичні очевидність як основа докази
Будь-яке математичне доказ може бути розбите на частини, на окремі кроки, які спираються тільки на безпосередню очевидність. Якщо певний крок докази не очевидний для нас або для тих, для кого ми доводимо теорему, то це крок потребує подальшому роз'ясненні, в редукції до ще більш тривіальним очевидні. Доказ приймається тільки тоді, коли кожен його крок або
- 4. Праксеологічне обґрунтування вихідних принципів
Проблема суворого виділення сфери онтологічної істинності є більш важкою. Ми, природно, не можемо обмежитися тут прикладами, що показують, що існують математичні судження, надійність яких не викликає сумнівів. Ми потребуємо спільних критеріях, що дозволяють відповісти на питання, чи відноситься деяке твердження (аксіома, принцип) до сфери онтологічно істинної математики або
- ВСТУП
Де мудрість, втрачена нами заради знання? Де знання, втрачене нами заради відомостей? Еліот Горе жебракові духом, бо під землею пребуде те, що нині зневажає її. З апокрифічного євангелія Двадцяте століття - століття безпрецедентного зльоту спеціального наукового знання. Диференціюються і уточнюються математика, фізика, природознавство в цілому, дробляться і множаться гуманітарні науки. І тим не
- 1. Витяги з теорії імен і понять, необхідні для обговорення проблем наукової метафізики
Як відомо, науковість тієї чи іншої галузі знання істотно визначається тим, наскільки точним є мова, що описує предметну реальність, яка відображається у відповідній області знання. У свою чергу точність мови науки забезпечується наявністю в ньому таких правил, які повністю виключають двозначність і смислове невизначеність, як це властиво штучним символічним
- 1. Позитивна метафізика не має в межах теоретичного розуму предметної області
. Проти цієї тези можна сформулювати такі типи аргументації. А. Аргументація від здорового глузду. Ймовірно, тільки живі істоти, що не мають другої сигнальної системи - мови, - такі, як риби, миші, ящірки та інші тварини, живуть у світі твердого, сухого, гарячого, холодного і т.д., тобто живуть лише у світі емпіричних предметів, а людина вже в звичайному житті визнає
- 3. У позитивній теоретичної метафізиці існує ефективна процедура обгрунтування a priori необхідної істинності її суджень, що розширюють пізнання.
Як зазначено, Кант вважав обов'язковою умовою науковості теорії наявність у ній синтетичних a priori суджень, які, з одного боку, є формою подання необхідно істинного (апріорного) знання, а з іншого - механізмом збільшення в теорії нового знання. Далі. Кант вважав, що в традиційній метафізиці є синтетичні судження a priori, але на відміну від математики в ній
- 5. Реальні норми науковості для позитивної теоретичної метафізики. Знання і віра. Місце віри в системі знання
Історія застосування аксіоматичного методу в науковому пізнанні багато в чому повчальна. Вона свідчить, що наукові методи навіть у математиці - найстрогішою з усіх існуючих наукових дисциплін, в чому залишаються лише ідеальними вимогами. І все ж, незважаючи на неможливість метатеоретіческого доказу несуперечності елементарної арифметики, математика не перестала бути наукою.
|