11. Концепція геометрії XX століття

«Силогізми складаються з пропозицій, пропозиції - зі слів, а слова суть знаки понять. Тому, якщо самі поняття, складаючи основу всього, сплутаність і необдумано відвернені від речей, то немає нічого міцного в тому, що побудовано на них ... Логіка, якої тепер користуються, швидше служить зміцненню та збереженню помилок, мають свою основу в загальноприйнятих поняттях, ніж відшукання істини. Тому вона шкідливіша, ніж корисна »

Звичайно, тенденція представити геометрію як чисто логічну систему була дуже сильна. Геометрія пишалася своєю «абсолютною достовірністю», і ця претензія не могла грунтуватися на експери-ментальних дослідженнях. Рушниця сказав у своїй книзі «Філософія геометрії Анрі Пуанкаре»:

«Геометричні теореми, очевидно, мають подвійний достовірністю: аподиктической необхід: мостью, яка виникає з докази, і чуттєвої очевидністю, що вкорінена в просторової інтуїції. Вони, мабуть, володіють подвійний істинністю: формальної істинністю, що має своє походження в послідовній логіці міркувань, та матеріальної істинністю, що полягає у згоді предметів думки з їх об'єктами »19.

Згідно звичайним уявленням геометрії XIX століття, теореми грунтуються на формально-логічних дедуктивних висновках з аксіом, а істинність аксіом грунтується на «просторової інтуїції». Логічні висновки теорем не рахувалися спірними, але «просторова інтуїція аксіом», що є майже тим же, що і «бачення очима розуму», суворо критикувалася. Особливо з середини XIX століття голосно лунали голоси тих, хто розглядав аксіоми як результат досвіду, незважаючи на те, що це було несумісне з визнаною «достовірністю» геометричних теорем.

Два великих учених середини XIX століття, Ріман і Гельмгольц, наполягали на тому, що аксіоми геометрії є результатом фізичного спостереження і що тому теореми володіють не більшою вірогідністю, ніж будь-які положення фізики. Ріман в своїй статті «Про гіпотези геометрії», написаної в 1854 році, писав: «Властивості, які відрізняють простір від інших мислимих континуумов трьох вимірів, можуть бути знайдені тільки з досвіду». Близько 1900 року цей погляд проник в підручники, написані на високому науковому рівні, в той час як у підручниках середнього рівня все ще трималися за «самоочевидність» аксіом. Після 1900 р. року деякі видатні математики опублікували підручники геометрії з метою приведення у них їх сучасних поглядів. Наприклад, французький математик Еміль Борель в 1908 році писав у своєму підручнику:

«Метою геометрії є вивчення тих властивостей тіл, які можуть вважатися незалежними від їх матерії, але тільки щодо їх розмірів і форм. Геометричні вимірювання поверхні поля не вирішують питання, хороша чи погана грунт цього поля ».

Італійський математик Джузеппе Веронезе у своїй книзі «Елементи геометрії» стверджував в 1909 році: «Аксіома є пропозиція, зміст якого підтверджується експериментально і яке не суперечить якомусь іншому пропозицією і не виводиться з нього». Аксіоми почали тепер грати роль фізичних гіпотез. Теореми зважаючи на це також стали твердженнями про фізичних фактах. Тоді постало питання: у чому полягає різниця між аксіомою і теоремою? Італійські математики Фредеріго Енрікес і Умберто Амальді у своїй роботі «Елементи геометрії», написаної в 1908 році, відповіли на це питання наступним чином:

«Перші геометричні властивості фігур очевидні; вони підказуються нам безпосередніми чуттєвими спостереженнями реальних тел, які були джерелами наших понять про ці фігурах. З цих перших інтуїтивних властивостей за допомогою логічних умовиводів ми можемо вивести інші властивості, не вдаючись до подальших спостереженнями. Ці властивості загалом менш очевидні »20.

Таким чином, ці автори підкреслювали дуже важливий момент, що насправді ніяке загальне висловлювання не може бути виведено з чуттєвих спостережень, а може тільки підказую і перевірятися спостереженнями. Енрікес підкреслював, що важко угледіти, що такі теореми, як сума кутів трикутника дорівнює 180 °, можуть під-позначатися безпосередніми спостереженнями, в той час як твердження, що тільки одна пряма лінія може проходити через дві точки, наполегливо спадає нам на думку завдяки спостереженням .

«Але у зв'язку з цим перед нами виникає загадка, яка настільки турбувала дослідників всіх часів. Чому можливе таке чудове відповідність математики з дійсними предметами, якщо сама вона є твором тільки людської думки, незалежно від всякого досвіду? Чи може людський розум-без жодного досвіду, шляхом тільки одного роздуми, відкрити основу існуючих речей »Ч

Дозволу цієї загадки, здійснення не чистими математиками і не« чистими »філософами, а математичними фізиками, благоприятствовал XX повік. Це рішення було здійснено в два етапи. З першим етапом було пов'язано створення «аксіоматичного методу», або, інакше, здійснення «формалізації аксіом». Цей етап був завершений роботами німецького математика Давида Гільберта з урахуванням попередніх його робіт творів інших авторів, таких, як Моріц Паш. Він побудував систему аксіом, дійсно були «аксіоматичними визначеннями» геометричних термінів, з яких були виключені всі визначення, що даються за допомогою фізичних операцій. Гільберт, однак, визнавав, що «ця формальна система є також і логічним аналізом нашої здатності до інтуїції». Він відмовився обговорювати, чи «є наша просторова інтуїція інтуїцією a priori (баченням очима розуму) або емпіричної». Відзначимо, що в 1899 році зв'язок формальної системи аксіом з властивостями фізичних тіл все ще описувалася за допомогою тільки таких НЕ-визначених і двозначних термінів, як «просторова інтуїція». Другий етап пов'язаний з ім'ям французького математика, фізика і філософа Анрі Пуанкаре. Наприкінці XIX століття він зробив спробу побудувати геометрію, яка повинна була охопити як формально-логічний, так і емпірико-фізичний аспекти. Гільберт визначав «геометричні терміни» за допомогою «аксіоматичних визначень» і посилався на їх фізичні інтерпретації тільки за допомогою невизначених термінів - таких, як «просторова інтуїція». Згідно Пуанкаре, терміни, які визначаються за допомогою такої системи, як система Гільберта, являють собою фізичні речі. Аксіоми претендують на існування в нашому світі фізичних об'єктів або на те, що можуть бути створені такі об'єкти, які будуть задовольняти цим аксіомам. Якщо ми скажемо, наприклад, що замість «прямих ліній» можна підставити «світлові промені», то аксіоми стають «положеннями фізики». Якщо ми хочемо перевірити, чи дійсно трикутник зі світлових променів в порожньому просторі має суму кутів, рівну прямим кутам, то ми натрапляємо на особливого роду утруднення. Так, якщо виявиться, що сума кутів, про яку йде мова, відрізняється від двох прямих кутів, то цей результат можна витлумачити, сказавши, що «дефект» обумовлений не хибністю евклідової геометрії, а тим, що промені відхилилися внаслідок дії до цього часу невідомого закону фізики. З подібних міркувань Пуанкаре уклав, що ми можемо перевірити, задовольняють або не задовольняють світлові промені евклідовим аксіомам, тільки в тому випадку, якщо знаємо всі фізичні закони, що стосуються світлових променів. Інакше ми ніколи не зможемо з допомогою експерименту встановити, чи правильна геометрія Евкліда. Ми могли б стверджувати правильність її аксіом за всіх обставин тільки в тому випадку, якби допустили істинність фізичних законів, які компенса-рова б будь-який «дефект», приписуваний відхиленню від «евклідності».

Якщо сформулювати «перевірку справедливості евклідової геометрії» таким чином, то з цього, звичайно, буде випливати, що не існує такого експериментального методу, за допомогою якого можна вирішити, яка геометрія істинна, евклидова або неевклідова. Ейнштейн писав: «На мою думку, Пуанкаре прав sub alternitatis 21», Але Ейнштейн вважав, що було б доцільно надати висловом «перевірити справедливість евклідовій геометрії» більш вузьке значення. Він писав:

«На моє переконання, немає ніякого стрижня або годин, які б задовольняли визначень евклідової геометрії. Це означає, що ми виходимо з гіпотез, згідно з якими можуть бути зроблені звичайним способом вимірювальні стержні та години, що підкоряються в малій області простору і часу законам геометрії Евкліда і ньютонівської фізики. Отже, G і Р задані в межах визначених кордонів простору і часу. Тоді можна поставити таке питання: якщо виходити з здійсненності відомих законів фізики в усьому світі в цілому, то чи можна вважати, що закони евклідової геометрії застосовні до всього світу в цілому? Якщо ми відповідаємо «так», то це означає, що застосовність евклідової геометрії доведена, якщо «ні», то вона непридатна »22.

Можна було б, наприклад, зробити маленькі куби з твердої сталі. Згідно допущенню Ейнштейна, їх можна було б використовувати для зведення невеликих стін без щілин. Потім спробуємо уявити, чи можна побудувати стіни розміром в мільйони миль теж без щілин. Таким способом ми могли перевірити справедливість евклідовій геометрії. Рішення «загадки», яке було дано Пуанкаре і Ейнштейном, було добре описано Ейнштейном наступним чином:

Прогрес, досягнутий аксіоматичної геометрією, полягає в тому, що в ній точно визначена логічна форма від фактичного та інтуїтивного змісту ; згідно аксіоматичної геометрії, тільки логічно-формальне становить предмет математики, але інтуїтивне зміст пов'язано з формально-логічним ... Положення щодо фізичних об'єктів можуть бути отримані координацією понять аксіоматичної геометрії з спостерігаються об'єктами фізичної реальності. Зокрема, тверді тіла ведуть себе відповідно до теоремами евклідової геометрії ».

Відповідна і загальна схема, за допомогою якої можна трактувати відношення між аксіоматичної геометрією і поведінкою фізичних об'єктів, була розроблена Бріджменом.

«Що ми розуміємо під довжиною об'єкта? Очевидно, ми знаємо, що маємо на увазі під довжиною, якщо можемо сказати, що являє собою довжина будь-якого об'єкта. Для того щоб знайти довжину об'єкта, ми повинні виконати певні фізичні операції. Поняття довжини тому фіксовано, коли фіксовані ті операції, за допомогою яких вимірюється довжина. Це означає, що поняття довжини включає в себе рівно стільки - і нічого більше, - скільки існує операцій, за допомогою яких визначається довжина »23.

 Еволюція геометрії до і після 1800 дала такий поштовх прогресу в філософії науки, який навряд чи можна переоцінити. Л. Рушниця, який був одним з перших французьких філософів, предвидевший напрямок ідей XX століття, писав у своїй книзі «Філософія, геометрії Анрі Пуанкаре» щодо науки: 

 «Виявиться, що відкриття неевклідової геометрії було початком значною революції в теорії пізнання і, отже,-в наших метафізичних концепціях, що стосуються людини і всесвіту. Коротко можна сказати, що це відкриття мало наслідком крах тієї дилеми, в якій вимогами традиційної логіки замикалася теорія пізнання: принципи науки суть або аподиктичні істини (логічні висновки, синтетичні a priori) або ассерторіческіе істини (факти чуттєвого спостереження). Пуанкаре, почерпнув своє натхнення з праць Лобачевського і Рімана, вказав, що в особливо важливому випадку геометрії можливе й інше рішення: принципи можуть бути простими умовними угодами ... Однак, далеко не незалежні від нашйх умів і природи, вони існують тільки завдяки мовчазній згоді всіх умів і у найсильнішій мірою залежать від фактичних зовнішніх умов того оточуючого нас світу, в якому нам довелося жити »24. 

 Якщо ми візьмемо до уваги еволюцію думки в геометрії, то зможемо дозволити два питання, які ставили в тупик як вчених, так і філософів з самого зародження неевклідової геометрії. Перше питання: чи є наше «дійсне простір» евклідовим або неевклідовим. Друге питання: чи є неевклідова геометрія настільки ж подумки наочної або настільки ж інтуїтивною, як і евклідова. Питання про просторі можна, ймовірно, сформулювати наступним чином: чи можна знайти такі фізичні об'єкти, які задовольняли б аксіомам евклідової геометрії? Оскільки на це питання, строго кажучи, ніколи не можна з достовірністю відповісти негативно, ми поставимо швидше наступне питання: чи задовольняють евклідовим аксіомам деякі особливі прості об'єкти, які ми на мові нашого повсякденного життя пов'язуємо з «прямими лініями», такі, як світлові промені або ребра твердих кубів? Що ж до іншого питання, то ми повинні врахувати, що у вживанні терміну «інтуїтивний» мається двозначність. Він може означати «що сприймається чуттєвим спостереженням», але може означати також і «що сприймається очима розуму або внутрішньої інтуїцією». У першому сенсі «інтуїтивним» є наше пізнання столу, на якому ми пишемо, у другому сенсі аксіоми геометрії «інтуїтивні» для тих, хто вірить, що їх істинність самоочевидна. Ця двозначність відіграє ще більшу роль у німецькій філософії, в якій слово «anschaulich», відповідне слову «інтуїтивний», часто вживається у філософії науки; воно стало улюбленим словом і внесло величезну плутанину. Якщо ми будемо дотримуватися першого значення слова «інтуїтивний», що є єдино прийнятним в науці, то ми приєднаємося до того визначення «інтуїтивного» уявлення геометрії або всякої іншої науки, яке дав великий німецький фізіолог, математик, фізик і філософ Герман Гельмгольц. Він визначив це таким чином. «Це значить повністю уявляти собі чуттєві враження, які об'єкт (тобто фізичні об'єкти, які визначаються за допомогою аксіом і операціональних визначень) викликає в нас самих відповідно відомим законам керуючих нашими органами чуття при всіх можливих умовах спостережень ... Якщо серія чуттєвих впе- чатление дана повністю і недвозначно, то слід визнати, що об'єкт може бути представлений інтуїтивно » 

 У цьому сенсі неевклідова геометрія, звичайно, так само інтуїтивна, як і евклідова. Якщо ми приймемо, наприклад, аксіоми Лобачевського і захочемо виміряти трикутник, утворений світловими променями в порожньому просторі, то ми зможемо передбачити ті чуттєві враження, які ми отримаємо, якщо будемо вимірювати кути за допомогою транспортира або будь-якими іншими фізичними приладами. 

 Вирішальні кроки до ясного розуміння неевклідової геометрії були, зроблені Ріманом, Гельм-Лису гору та Пуанкаре, які виявили істотне єдність геометрії та фізики. Однак це розуміння не було остаточним, поки Ейнштейн не показав, що така комбінація геометрії і фізики дійсно необхідна для пояснення явищ, які насправді спостерігалися. 

 Інформація, релевантна "11. Концепція геометрії XX століття"

1. Структура наукового пізнання
     концепції науки. Підсумки XX сторіччя. - М.: Логос, 2000. - 320 с. Канке В.А. Філософія. Історичний і систематичний курс: Підручник для вузів. Вид. 3-е. - М.: Логос, 2000. - 344 с. Кун Т. Структура наукових революцій. - М.: Изд-во АСТ, 2002. - 608 с. Найдиш В.М. Концепції сучасного природознавства: Навчальний посібник. - М.: Гардаріки, 1999. - 476 с. Никифоров А.Л. Філософія науки: Історія та
   
2. РОЗУМІННЯ ДУХОВНОГО ДОСВІДУ ЯК СВІДОМОГО ДОСВІДУ Розумова діяльність
     концепція свідомості. Гносеологічні програми, що працюють з трансцендентальним свідомістю, виявилися дуже плідними. Вони дозволили виявити умови "чистого" пізнання і розробки евристичних установок, необхідних для виробництва загальнозначущого знання. Абстракція трансцендентального «Я» при «зануренні» суб'єкта в глибинні, сутнісні шари реальності, де виявляються безпорадними
   
3. ТРАНСФОРМАЦІЇ концептуальне знання
     концепцію істинного, гранично узагальненого знання. Сутнісною рисою знання Платон вважав осмисленість. Той факт, що людина будь-який предмет пізнає за допомогою душевних актів, виключає для нього можливість мати абсолютне знання істини і надає знанню спорадичний характер, проте з цього зовсім не випливає, що знання не узгоджується з дійсністю і не відображає ніякої
   
4. 4. Проблема способу викладу позитивної теоретичної метафізики як науки
     концепцій, таких як теорія онтологічного існування, концепція інформативності її висловлювань щодо надчуттєвих нефізичних сутностей та ін, тобто представляє себой окремі острівці дедукції, розташовані в різних площинах, з'єднаних між собою недедуктивних переходами, то стає зрозумілим, що, по-перше, таку метафізику не можна було б формалізувати в рамках
   
5. 1.3. ФРАНЦУЗЬКИЙ структуралізму і «НОВА ФІЛОСОФІЯ»
     концепція конотації, тобто ієрархії символів: співвідношення «означає» і «означуваного» в різних варіаціях, що призводить до понять міфу і метамови. Якщо один символ входить до складу іншого в якості «що означає» сторони, то він розглядається як зовнішнє вираження міфу, внутрішньої "означати" сторони складного символу. Якщо ж символ утворює «значиму» сторону другого символу, то
   
6. Філософія Стародавньої Греції.
     концепцію світобудови, стверджуючи свої принципи в жорсткій полеміці з попередніми авторитетами. У демократичному кліматі Афін вільна людина вперше отримав можливість стверджувати себе як особистості не тільки в суспільному житті, але і в духовній сфері. Тому кожен мислитель прагнув висловити, обгрунтувати і відстояти лише йому належать ідеї. Історія грецької філософії
   
7. Вчення про буття.
     концепцію способу існування реальності, а від епохи до епохи розуміння буття зміщувалося все більше і більше від характеристики стійкості до характеристики мінливості. Першими в апарат онтології поняття буття ввели представники елейскої школи античної філософії - Парменід і Зенон Елейський. Вони вважали, що буття - це те, що є, а небуття - те, чого немає. Але якщо міркувати строго
   
8. Еволюція уявлень про політику: основні етапи та парадигми
     концепцій політики є Стародавня Греція, втілена у філософії Платона і Аристотеля. ПЛАТОН (427, о. Егіна - 347 до н.е., Афіни) - давньогрецький філософ, знаменитий учень Сократа і наставник Аристотеля; основоположник традиції об'єктивного ідеалізму в філософії; мислитель, значною мірою визначив європейський стиль мислення. Заснував в Афінах філософську школу
   
9. АЛФАВІТНИЙ ПОКАЖЧИК
     концепція р. XX в. - 159 - 169; аксіоми як фізичні гіпотези - 162-166; операціональні визначення - 166; перевірка істинності евклідової р. - 164-165; просторова інтуїція -163-164, 168-169; неевклідова р. - 137-142; величина трикутника - 136-137, 141-142; і віра в самоочевидність метафізичних принципів - 117; «дефект» - 137, 141-142; Лобачевського аксіома - 139-140; і Рімана
   
10. 4. Філософія і медицина Нового часу
      концепція тварин-автоматів, що розвивається Декартом, який поширював принципи механічного руху і на нервову систему тварин. Він висунув ідею рефлексу як відображення «тварин духів», які переходять з одного нерва на інший, і, таким чином, розробив у найпростішому вигляді рефлекторну дугу. Використовуючи закони оптики, Декарт намагався пояснити роботу ока людини. Механістичні погляди