Головна
Аксіологія / Аналітична філософія / Антична філософія / Антологія / Антропологія / Історія філософії / Історія філософії / Логіка / Метафізика / Світова філософія / Першоджерела з філософії / Проблеми філософії / Сучасна філософія / Соціальна філософія / Середньовічна філософія / Телеологія / Теорія еволюції / Філософія (підручник) / Філософія мистецтва / Філософія історії / Філософія кіно / Філософія науки / Філософія політики / Філософія різних країн і часів / Філософія самоорганізації / Філософи / Фундаментальна філософія / Хрестоматії з філософії / Езотерика
ГоловнаФілософіяФілософія науки → 
« Попередня Наступна »
Пермінов В. Я. . Філософія і підстави математики - М.: Прогресс-Традиція. - 320с., 2001 - перейти до змісту підручника

3. Кінцівка математичних доказів

Можливість абсолютної очистки докази від дефектів істотно пов'язана з його кінцівкою. Математичне доказ являє собою кінцеву процедуру або, точніше кажучи, діяльність у кінцевому поле можливостей. За змістом своїх понять математична теорія може бути як кінцевої, так і нескінченною, тобто як пов'язаної з поняттям нескінченності, так і не пов'язаної з ним. Однак як процедура обгрунтування деякого тези доказ являє собою завжди кінцеву ланцюг логічних переходів. Усяке доказ розпадається на кінцеве число кроків, щодо кожного з яких ми можемо поставити питання про його законність і вирішити його загальнозначущим чином через співвіднесення зі сферою аподиктической очевидності. Фундаментальним відзнакою математичного доказу від всіх інших типів міркування є його проверяемость через редукцію до аподиктической очевидності всіх його кроків.

Математичне доказ є не поглибленням змісту теорії, що не вдосконаленням її понять, але швидше побудовою конструкції в просторі готових об'єктів, можливі дії з якими однозначно задані їх визначеннями. Але такого роду комбінаторна діяльність у кінцевому просторі об'єктів або не досягає мети, або одержує абсолютне завершення. Розглянемо як приклад процес вирішення простий шахової задачі. Нехай ситуація на дошці така, що білі починають і дають мат в два ходи, і нехай спільнота шахістів визнало, що це дійсно так, і що мат для чорних в даній ситуації неминучий. Припускаємо ми, що це висновок щодо-і що якийсь сверхгеніальний шахіст знайде тут вихід з положення і врятує чорних? Звичайно, ні. І неважко зрозуміти, на чому базується тут наша уь - енность. Шахова ситуація визначена кінцевим числом фігур, кожна з яких може впливати на неї лише кінцевим числом рухів. Шахіст визнає неминучість мату, якщо він бачить, що у нього немає можливості зрушити короля в безпечне місце, що жодна з фігур не може прикрити його від шаха або знищити нападаючу фігуру. Для абсолютного вирішення питання тут досить переглянути кінцеве число варіантів захисту і якщо не один з них не може бути реалізований, шахіст повинен визнати неминучість мату і ця констатація є абсолютною, не схильною до коригуванню при збереженні встановлених правил шахової гри.

Цей не зовсім математичний приклад фіксує сутнісну рису математичного докази і механізмів його перевірки. Окремий математик, звичайно, може зробити технічну помилку, або допустити висновок, який не є загальнозначущим, але це виключено для спільноти в цілому, принаймні ясно, що воно не може не виявити цієї помилки в процесі аналізу докази. Математичне доказ як діяльність у кінцевому полі аподиктичні певних комбінацій має абсолютний і з повною визначеністю фіксується результат. Математичні міркування відрізняються від змістовних не тим, що вони гарантовані від помилок, а тим, що вони неминуче досягають повного звільнення від помилок, тобто стану повної надійності.

Різниця між рішенням шахової задачі і математичним доказом полягає лише в тому, що точні визначення математичних об'єктів, а іноді і допустимих правил дії не задані з самого початку, а виробляються в самій «грі». Математична гра на відміну від шахової на деякій етапі може обходитися без точної кодифікації правил дії з деякими фігурами (об'єктами), спираючись лише на загальне згоду граючих. Тут можуть виникати неясності і непорозуміння, неявне використання доводів ассерторіческіе порядку і т. п. Однак ця відмінність не змінює суті справи, бо дозрівання системи доказів, що відносяться до теорії, неминуче призводить до однозначного визначенню всіх об'єктів на базі вихідних понять і до усунення всіх непорозумінь . Прихильники релятивістської концепції докази могли б захистити свою тезу про вічну незавершеності докази, якби вони могли показати, що в математичному доказі можуть існувати кроки, що не допускають редукції до первинних, аподиктичні певним переходам.

Доказ математичної теореми за своєю суттю є діяльністю з ідеальними предметами, яка, як і діяльність з реальними предметами, має категоричний характер в плані результату. Трирічна дитина впевнено будує піраміду з кружечків, накладаючи їх один на інший за величиною. Його знання про світ ще незначні, йому належить довгий шлях поглиблення своїх уявлень про світ, але те, що він зробив зараз, є абсолютним: розташувати кружечки за величиною більш досконалим чином не вдасться більш ні йому і нікому іншому.

Комбінація в кінцевому множині об'єктів, що задовольняє заданому властивості, досягнута і сам питання про її відносності є абсурдним. Можна, звичайно, заперечити наступним чином: «Розташування кружечків за величиною остаточно, якщо взяти незмінними (абсолютно стабільними) подання про більше і меншому, якими дитина керувався. Але можуть змінитися і ці уявлення ». Це заперечення, незважаючи на всю його гіпотетичність, можна прийняти. Тоді ми будемо говорити про граничну завершеності кінцевої комбінації, тобто про такий завершеності, яка не може бути поставлена ??під сумнів у рамках існуючої категоріальної сітки. Представляється, однак, що відмінність між граничним і абролютним в даному випадку не має практичного сенсу.

Математичне доказ - не мислення у власному розумінні слова, що характеризується нескінченним наближенням теорії до об'єкта, а побудова комбінації в кінцевому безлічі об'єктів, що мають певні властивості. Завершеність такої комбінації є гранично загальнозначущої, оскільки і її властивості і кожен крок її побудови фіксуються за аподиктической очевидністю.

Гносеологічна особливість розглянутої ситуації полягає в тому, що ми спостерігаємо тут можливість безпосереднього переходу від суб'єктивного і тільки ймовірного думки окремих індивідів до абсолютного думку математичної спільноти, який стверджує факт повної надійності докази, неможливості його спростування. Тут, однак, немає нічого незаконного, що суперечить теорії ймовірностей, бо думка математичної спільноти відноситься до аналізу кінцевої конструкції на базі гранично достовірного поділу аподиктических і ассерторіческіе очевидностей. Математичне доказ являє собою кінцеву конструкцію у сфері аподиктичні очевидного. Всі відхилення від абсолютності на цьому рівні є випадковими і усувається в кінцевий час.

« Попередня Наступна »
= Перейти до змісту підручника =
Інформація, релевантна " 3. Кінцівка математичних доказів "
  1. ГЛОСАРІЙ
    кінцевого споживання - на споживчі блага і ресурси; по тривалості використання - на короткочасні і довготривалі; за характером споживання - на приватні і суспільні. Добробут - ступінь задоволення певних потреб людини. Благосос-тояние: характеризує забезпеченість населення необхідними матеріальними і духовними благами; залежить від рівня розвитку
  2. ТРАНСФОРМАЦІЇ концептуальне знання
    Звичайно, поняття сили, причини, дії, доходячи часом до видимих ??образов145. Кант ввів уявлення про поняття як про об'єктивація думки. На базі цього кантівського розуміння склалися дві різні концепції поняття. Гегель довів ідею об'єктивності поняття до його онтологизации: він розглядає поняття як живу, саморазвертивающуюся сутність, субстанцію, ототожнюючи поняття з
  3. ДОДАТКИ
    звичайно. У додатках представлені фрагменти протоколів уроків, проведених студентами під час педагогічної практики. Додаток 1 являє собою проблемне виклад адаптованого тексту з кн.: Леокум А. Скажи мені, чому? - М.: Джулія, 1992. Додатки 2 і 3 містять проблемний виклад і евристичну бесіду по одній і тій же темі "Знайомство з завданням" і виконані
  4. 1. Теоретичні передумови формування філософсько-історичної концепції Вл. Соловйова
    кінцівки. Нескінченність божественної істоти випливає з його нематеріальності: те, що безтілесно, не може мати ніяких кордонів. Оріген у своїх поглядах висловив такі ідеї, які в подальшому були визнані не сумісними з ортодоксальним християнством. Наприклад: 1. Розглядаючи Xриста-логосу в якості головного посредствующего ланки між верховним богом - батьком і реальним
  5. § 3 Метафізичні аспекти проблеми сенсу життя людини
    звичайно, умовно). Так само як і в математиці до основних питань філософії відноситься питання про співвідношення (збігу-розбіжності) специфічних інтерпретаційних моделей Універсуму і самого світу. Відповідно, вся історія математики та філософії являє собою висунення, розвиток і вдосконалення їх чуттєво-ідеальних об'єктів (концептів, конструктів), що прагнуть до все
  6. Онтологічні ідеї античних філософів
    кінцеві терміни її тілесної оболонки. Лише недавно перші досліди з виявлення цієї гіпотетичної субстанції (душі), що дали позитивний результат, зробили російські вчені Г. Н. Дульнєв і К. Г. Корот-ков 13. Вони змогли отримати експериментальним шляхом обнадійливі об'єктивні докази активності свідомості людини після смерті, застосовуючи винахід подружжя Кирли-ан 14. Раніше
  7. ЦІОЛКОВСЬКИЙ: ПРОГНОЗ ВЗАЄМОВІДНОСИН КОСМІЧНИХ ЦИВІЛІЗАЦІЙ
    кінцевому космосі можуть існувати в самих незвичайних формах. Однак Микола Федорович зазначав два фундаментальних обмеження для людини, які заважають встановленню зв'язків з іншими розумними істотами космосу: «Обмеженість у просторі перешкоджає повсюдному дії розумних істот на всі світи Всесвіту, а обмеженість у Часу - смертність - одночасного дії поколінь
  8. Енергоінформаційні зв'язку в природі і самоізоляція людства
    звичайно, для більшості з нас подібний висновок може звучати незвично. Експерименти М. Фогеля показали, що рослини відчувають антипатію до деяких людей, вірніше, до їх думок, особливо якщо вони емоційно забарвлені. Прикладів цілком достатньо, щоб вивести їх з розряду випадкових збігів або віднести на рахунок похибки апаратури. Добре відомий досвід, який багато разів
  9. Ноокосміческій характер майбутньої парадигми
    кінцівки Життя і нескінченному устремлінні всього сущого до удосконалення »122. Революційне за своїм змістом і проголошеної концепції вчення «Таємної Доктрини» - це потужний прорив пізнання на рівень нового космічного мислення. У цьому навчанні, мабуть, вперше за всю історію земної науки робиться спроба синтезу філософії, релігії і традиційної науки, коли раціональне та
  10. Г.В.Ф. ГЕГЕЛЬ Про викладання філософії в гімназіях4
    кінцівки і випадковості речей у світі, про їх доцільних відносинах і т. д., а для неупередженого людського розуму такий зв'язок буде в усі часи переконливою, які б заперечення проти цього ні приводила критична філософія. Ці так звані докази не містять нічого, крім докладного розбору свого змісту, яке саме по собі зустрічається в гімназичному викладанні.
  11. Е.В. Іллєнко Філософія і молодость5
    звичайно ж йде не про те, щоб терміново засадити молодість за філософію, перетворивши її в обов'язковий предмет вивчення, не про те, щоб умовити молодь закинути всі інші справи і поринути в її безодні . Зовсім ні. Крім усього іншого, філософія давно встановила цю істину: реальне життя з його радощами і прикрощами все ж важливіше будь-якої філософської теорії. Проте філософія, і притому
  12. 1. Позитивна метафізика не має в межах теоретичного розуму предметної області
    кінцевого ряду натуральних чисел, що представляє обсяг даного поняття. Який висновок напрошується в результаті проведеного аналізу? У арифметиці натуральних чисел надчуттєві нефізичні сущно-сти, позначаються символічно, проте математики визнають, що арифметика натуральних чисел має реальну предметну область. Позитивна теоретична метафізика має справу зі
  13. 4. Проблема способу викладу позитивної теоретичної метафізики як науки
    кінцевому рахунку виводяться всі інші істинні висловлювання якоїсь змістовної теорії. Але для того щоб бути абсолютно впевненим у тому, що формальний аксіоматичний метод надійно транслює істину від аксіом до теорем, необхідно попередньо переконатися в несуперечності та повноті щодо можливих змістовних інтерпретацій у формалізованої системі. При цьому розрізняють її
  14.  5. Реальні норми науковості для позитивної теоретичної метафізики. Знання і віра. Місце віри в системі знання
      кінцевому рахунку, штовхає їх на відхід з життя. На жаль, мабуть, ці люди не здатні скористатися як правила життя відомим висловом поета М. Заболоцького: "Душа зобов'язана працювати і день і ніч, і день і ніч", яке постійно коригує віру людини, оберігаючи її від обвального падіння. Крах віри змушує цих людей зненацька і прирікає їх на трагічну безвихідь
  15.  1. Множинність чисто філософських систематизаций світу як історико-філософський факт
      кінцеве правещество. До напряму матеріалістичного монізму у давньогрецькій філософії відносяться також Левкіпп і Демокріт з їх уявленнями про атом як матеріальної субстанції світу (дійсне існування Левкіппа як історичної особистості заперечується деякими дослідниками) 89. У сучасній філософії найбільш розробленою системою матеріалістичного монізму є