| Головна |
| « Попередня | Наступна » | |
4. Системність математичної теорії |
||
|
Тут треба врахувати ще одну обставину, а саме, специфічну системність математики. Математична теорія є жорсткою системою в тому сенсі, що кожна доказова зв'язок обумовлена тут багатьма іншими доказовими зв'язками. Кожний доказ пов'язано з доказами, проведеними раніше, і саме воно стає основою інших доказів і підтвердженням результатів, отриманих іншими шляхами. Математичне доказ не може існувати поза перехрещується сітки доказів, погоджених з ним. Математична теорія в цьому сенсі може бути уподібнене величезному кросворду, де кожне слово багаторазово перевіряється через всі інші. Різниця з звичайним кросвордом полягає лише в більшої жорсткості (внутрішньої детермінованості) математичного кросворду. У звичайному кросворді, щоб вважати слово вгадати, ми повинні забезпечити його узгодження з іншими словами в двох або трьох точках. У математичній теорії кожне доказ являє собою слово, яке повинно співпадати з існуючим масивом слів у всіх своїх точках, тобто бути істинним у всіх своїх проміжних результатах. Звідси ясно, що зріла теорія повністю виключає некоректні докази. Доказ має шанси містити некоректне допущення тільки на тій стадії свого розвитку, поки воно знаходиться на периферії теорії і не пов'язане досить жорстко з іншими теоремами. Але в міру свого визрівання будь доказ занурюється в центр теорії, в розроблену частина кросворду, де всі його леми повинні стати доведеними теоремами або аксіомами, а всі об'єкти однозначно визначеними на основі первинних об'єктів. Звідси ясно, що інтуїтивність висновків і невизначеність об'єктів в математичному міркуванні - суто тимчасовий стан, можливе лише на початковому етапі його становлення. Аргумент системності видається, зокрема, важливим для розуміння статусу сучасних комп'ютерних доказів. Багато математики схильні думати, що докази математичних теорем, здійснені з використанням складних програм, не можуть вважатися надійними і що вони, в кращому випадку, можуть розглядатися в якості гіпотез напрямних поіск12. Ми можемо укласти, що математичне співтовариство, в дійсності, володіє достатніми критеріями абсолютної надійності доказів. Якщо загальне визнання докази представляє суб'єктивний (хоча і найвищою мірою надійний) критерій такого роду, то включеність докази в центр теорії, узгодженість його з іншими доказами, є об'єктивним і однозначним критерієм. Математика є абсолютно надійною наукою в тому сенсі, що теореми, записані в підручниках, не мають шансів бути спростованими. Імовірнісні міркування типу того, що якщо може помилятися один математик, то може помилятися на невизначений час і математичне співтовариство в цілому, що повторні перевірки не здатні вивести нас за рамки ймовірного результату і т. п., є неприйнятними для розуміння еволюції математичного докази. Ідеальна математична схема розподілу ймовірностей не є законом розвитку реальних систем. З теоретичної точки зору є ймовірність того, що всі молекули газу зберуться в одній точці посудини, але практично цього ніколи не станеться, оскільки молекули не є ідеально незалежними у своєму русі, як це передбачає теорія ймовірностей. З абстрактно теоретичної точки зору можна допустити, що все людство з якоюсь ступенем вірогідності може помилятися, вважаючи істинним рівність 2 + 2 = 4. Але це припущення не враховує системності теорії. Помилка в такому рівність, будь вона реальної, повинна була б увійти в тисячі інших рівностей, в нескінченний кросворд математичних слів і залишитися при цьому непоміченою. Ситуація з досяжністю остаточного докази в математичній теорії може бути сформульована як задача повної (граничної) настройки в кінцевій саморегульованої системі. Якщо є система з кінцевим числом станів, упорядкованих по деякому параметру, і мається постійно діючий фактор, що сприяє з переважною ймовірністю переходу відданого стану до більш високого, то можна стверджувати, що такого роду система досягає граничного (найкращого) стану в кінцевий час. Кожний доказ містить в собі кінцеве число помилок і його історичне вдосконалення може бути представлено у вигляді кінцевої послідовності станів, упорядкованих за зростанням коректності. Теоретична комунікація, в яку доказ включено, є постійно діючим фактором, що забезпечує його перехід від одного стану до більш високого. У математичній теорії, як і в будь-якої теорії, можливі помилки, що йдуть від людини, від обмеженості його уваги і пам'яті, тобто тут відбувається звичайний рух від недосконалого до більш досконалого. Основна особливість математики, що відрізняє її від емпіричних наук, полягає в тому, що вона досягає абсолюту в сенсі остаточного встановлення своїх істин і в сенсі гранично ясною констатації цього стану в конкретних випадках.
|
||
| « Попередня | Наступна » | |
|
|
||
Інформація, релевантна " 4. Системність математичної теорії " |
||
|
||