5 - Вторинність строгості

Ми повинні розділити два істотно різних підходи до розуміння остаточної строгості. Якщо мова йде про остаточну строгості як про відсутність прихованих припущень в конкретному доказательном міркуванні, то повна строгість у цьому сенсі безумовно досяжна. Аксіоматичне виклад теорії повністю вирішує цю задачу. Якщо ж ми ставимо питання про досягнення остаточної строгості в загальному плані, в сенсі виявлення критеріїв, що гарантують строгість докази в будь-якому конкретному випадку, то ми повинні визнати, що це завдання нерозв'язна. На відміну від критерію надійності математичного докази, який у всіх випадках зводиться до аподиктической очевидності його кроків, універсального критерію строгості, значимого для всіх доказів, не існує.

Прихильники фаллібілістской філософії математики виходять з цього останнього положення, виводячи звідси недосяжність повній суворості і в першому сенсі, а також і недосяжність його повної надійності. Цей хід думки є центральним в концепції докази І. Лакатоса. Неминучість поява нових критеріїв строгості, відповідних новій системі об'єктів, розглядається Лакатосом як поглиблення аналізу докази, здатне дезавуювати будь-яке з визнаних доказів. Цей хід думки виглядає досить правдоподібним, оскільки він відповідає положенню справ в досвідчених науках. Поява нових принципів у фізиці призводить, як правило, до коректування старих в сенсі їх спростування-вання або обмеження сфери їх дії. Однак ця схема взаємодії принципів непридатна для математики.

Область об'єктів математики від найпростіших до найскладніших може бути представлена у вигляді системи розширюються кіл, кожен з яких має якісні особливості, що не зустрічаються у попередніх груп об'єктів. Переходячи до нового кола об'єктів, ми можемо зустрітися з протиріччями і змушені будемо накласти обмеження на логіку висновків, в яких раніше не було необхідності. Так, математики XVIII століття, оперуючи з нескінченними рядами за правилами звичайної алгебри, прийшли до безлічі протиріч, які вони не змогли подолати, поки Коші не вказав на необхідність теорем існування. На початку XX століття оперування з логічними функціями вищих порядків призвело до парадоксів і до необхідності накладення обмежень на область визначення таких функцій. Ці обмеження були сформульовані у вигляді відомих заборон в теорії типів і в аксіоматичної теорії множин. Ми повинні, таким чином, визнати, що система критеріїв строгості історично збагачується, і що ми не можемо претендувати на встановлення повної системи такого роду критеріїв, що не виявила б надалі своєї недостатності.

Релятивістський тезу щодо строгості докази виходить з допущення, що нові, більш жорсткі критерії строгості можуть, в принципі, перевести в клас нестрогих будь доказ, яке приймалося до цього як безумовно суворе. Це допущення, однак, неспроможне: воно покоїться на хибному розумінні субординації між строгістю і надійністю в математичному міркуванні.

Як ми вже з'ясували, абсолютно надійний доказ, проведене на рівні аподиктической очевидності, може бути нестрогим, нужденним у більш точному вираженні своїх передумов. Доказ є надійним (завершеним), якщо всі його неявні посилки відносяться до сфери аподиктической очевидності. У цьому випадку контрприклад неможливий, хоча доказ може не володіти повною строгістю. Строгість - це лінгвістична характеристика докази, якість термінологічної оболонки, що санкціонує надійність докази. Але надійність як така має існувати вже до цієї санкції як якість, вироблене на рівні змісту.

Можна сформулювати принцип, який стверджує логічну первинність надійності перед строгістю, що складається в тому, що доказ, визнане надійним, не може бути відкинуто з точки зору будь-яких критеріїв строгості. Надійність є первинної характеристикою докази в тому сенсі, що надійно доведена теорема є факт, з яким повинні рахуватися всі критерії строгості, в тому числі й ті, які будуть введені в майбутньому. Наочне міркування, що зводить площа паралелограма до площі прямокутника, не строго, але ми відкинули б будь-які критерії строгості, які поставили б його під сумнів. Надійне доказ є в принципі строгим в тому сенсі, що воно буде неминуче підтверджено в будь-якому більш строгому варіанті теорії.

Переходячи до більш широкого кола об'єктів, ми уточнюємо критерії суворого міркування, додаючи нові критерії, які не враховувалися раніше. Однак ці нові критерії, будучи необхідними в новій області об'єктів, не зачіпають старих об'єктів, а точніше, вони є завжди тривіально здійсненними по відношенню до них. Докази існування, введені Коші, були важливими для наведення, порядку в аналізі, але вони нічого не змінили в геометрії та алгебри, оскільки в цих областях існування об'єктів доводиться самим способом їх введення, а саме аподиктичні очевидною конструкцією в кінцевому безлічі простих об'єктів. Можна сказати тому, що знову вводяться критерії строгості не мають зворотної сили: вони реально значущі лише для нових областей і завжди вводяться лише за умови збереження всіх доказів, визнаних надійними.

Звідси і незвичайна з погляду методології досвідчених наук ситуація: не маючи повної системи критеріїв строгості, ми маємо безсумнівну можливість говорити про повну строгості щодо конкретних математичних доказів і теорій.

Вищий закон математичного мислення полягає в тому, що інтуїція є первинною перед мовою і досягнуте на рівні аподиктической очевидності не може бути відкинуто-якими уточненнями на рівні мови. Формалізація теорії вторинна по відношенню до її змісту, бо вона приймається як адекватна тільки в тому випадку, якщо вона охоплює її інтуїтивно визнане зміст. Формалістской уявлення математики має сенс, але прояснення природи математичного мислення має виходити з аналізу його інтуїтивної основи, факту його редукції до аподиктической очевидності. Ми повинні взяти від Канта і Брауера їх гранично ясне розуміння первинності змістовної (інтуїтивної) основи математики перед її мовним і логічним поданням.

Надійність і строгість - дві відносно незалежні лінії еволюції докази до своєї досконалості. Обидві ці лінії збігаються на першому етапі становлення докази, коли збільшення суворості означає разом з тим і збільшення його надійності. Загалом, однак, це різні лінії. Досягнувши повної надійності, доказ продовжує удосконалюватися в строгості, тобто в своїй мові, в повноті і систематичності вираження посилок і логічних засобів. Стадіями цього вдосконалення є аксиоматизация і формалізація теорії. При здійсненні аксиоматизации становлення строгості в першому сенсі (як строгості певної теорії) досягає свого завершення, хоча це не припиняє еволюції математичної строгості взагалі, що полягає в появі нових критеріїв строгості, значущих для нових областей математики.

Релятивістське тлумачення математичної строгості не враховує того простого факту, що зміст у математиці первинно перед його формою і що нові критерії строгості ні в якій мірі не можуть впливати на статус сформованих, інтуїтивно виправданих теорій і висновків.

Інформація, релевантна " 5 - Вторинність строгості "

1. Інквізиція
   вдруге знищена кортесамі в 1820 р., вона знову на деякий час відроджується, поки, нарешті, в 1834 р. не скасовується назавжди ; майно її звернено на погашення державного боргу. У Сардинії І. проіснувала до 1840 р., в Тоскані - до 1852 р.; в Римі І. відновлена Пієм VII в 1814 р. і до теперішнього часу не була скасована формальним актом. І тепер ще існують серед
   
2. ПЕРШИЙ ЕТАП ПЕРЕТВОРЕНЬ. 1985-1986
   вторинної сировини при місцевих Радах. Постановою від 19 серпня 20 міністерств і близько 60 підприємств отримали право самостійно виходити на зовнішній ринок. 19 листопада був прийнятий закон «Про індивідуальну трудову діяльність», що дозволяв, по суті, приватну діяльність і створення кооперативів у деяких видах виробництва товарів і послуг. Восени 1986 р. була розроблено, а 13 січня 1987
   
3. II. Постмодерн і його "ізм".
   Вторинного фольклору, фентазі. Проблема авторства, настільки істотна для модерн-епохи, тут втрачає колишньої сенс. Унікальність сюжетів і тим втрачає колишню цінність, а колективні марення і фантазії - надбання спільне. Електронна ж їх реалізація мобілізує значні маси людей. Правда, колишніх фольклорних звірів, хтонических чудовиськ (зміїв-Гориничів) і чарівникам, - тих самих, які
   
4. Про опір злу силою
   вторинним засобом у загальному комплексі духовного впливу і виховання. Вже са-мій природою доведено, що воно має вживатися не в тому випадку, коли його можна застосувати, а тільки тоді, коли необхідно застосувати. Ільїн також стверджує, що там, де немає необхідності, застосовувати фізичну силу не слід. Фізичне спонука має можливість впливати тільки на зовнішню сторону зла, що не
   
5. ПРИРОДНА ЧИ НАУКА ІСТОРІЯ?
   Вторинними такі феномени, як почуття, думки, бажання, з яких начебто і складається людське життя, але які не можна точно виміряти. Якби ці феномени могли розглядатися як побічні результати інших процесів, з наукової точки зору більш побачити і вимірюваних, то ми змогли б передбачати (про що ще мріяти справжній науці?) Суспільна поведінка людей, не привертаючи розмитих і
   
6. ГЛАВА VI. Бог, людина і Боголюдина
   вторинне, опосередковане. У богословські доктрини проникають вже категорії і поняття, які раціоналізують живий релігійний досвід, і в них легко виявляється ухил то до відверненого монізму, то до відверненого дуалізму. Богословський теїзм, закріплений в понятті і абсолютизує внеположность, внебожественность творіння, є така ж раціоналізація божественних таємниць, як і пантеїзм,
   
7. Новгород.
   Вторинна по відношенню до неї запрошена княжа влада виявляється менш життєстійкої »(Янін В.Л., 1994, с.22). Іншим досягненням останніх десятиліть є виявлення десятків нових берестяних грамот, загальна кількість яких склала в Новгороді - після сезону 1996 р. - 775, до 2003 р. - 933, і нові успіхи в їх дослідженні. Найбільш важливим історіографічним фактом є вихід у
   
8. 6.Крестьянскій або пролетарський соціалізм? (Ідеї, організації, діячі)
   вторинного перебування С. Нечаєва за кордоном і спроб його підпорядкувати собі М. Бакуніна з Н. Огарьовим, ті, нарешті, поривають з ним стосунки. Виданий швейцарською владою Росії як кримінальний злочинець, С. Нечаєв був засуджений і, просидівши десять років в Олександрівському равеліні Петропавлівської фортеці, помер в ув'язненні. Нечаевщіна стала історичною основою знаменитого роману Ф. М. Достоєвського
   
9. 8. Російський консерватизм другої половини X IX в.
   Вторинне спрощення »і« зрівняльний змішання ». Період «квітучої складності» характеризується диференціацією частин при інтеграції та єдності цілого, цей час соціальної нерівності, освіти еліти. Змішувальне спрощення характери-зуется Леонтьєвим як прагнення до загального рівності та демократизації, яке має своїм результатом розквіт техніки, вмирання мистецтва, обмитнення життя.
   
10. 4. Жовтень 1917 (питання методології)
      вторинний, яка наздоганяє »тип капіталістичного розвитку,« другий ешелон »в ланцюзі капіталістичних держав, тому різні історичні епохи виявилися ніби спресованими в часі. Промисловий переворот стався в Росії без аг-рарно-капіталістичного, звідси особлива гострота аграрного питання і вузькість внутрішнього ринку. З метою швидкого розвитку промисловості та підтримки
    
11. 2. Проблеми науки і культури
      вдруге в ГУЛАГу! «Ждановщина» була покликана розгромити незгодних і в науці. Сталін і Жданов застосовували різні методи. Так, для розгрому філософії, мовознавства та політекономії були організовані «дискусії» відповідно в 1947, 1950 і 1951 роках. Результатом стало закриття наукових центрів, звільнення вчених, вилучення вже опублікованих робіт. У дискусії про філософію головним висновком стали
    
12. 1. ПОНЯТТЯ І ВИДИ АПЕЛЯЦІЇ. ПРАВО АПЕЛЯЦІЙНОГО ОСКАРЖЕННЯ, ТЕРМІН ПОДАЧІ, ФОРМА І ЗМІСТ апеляційну скаргу. ВІДГУК НА апеляційну скаргу
      вторинне розгляд справи по суті в цілому або в частині. Характерними ознаками апеляції можуть виступати наступні: апеляція приноситься на рішення суду, що не вступивши-шиї законної сили; справу по апеляції переноситься на розгляд вищого суду; подача апеляції обумовлюється неправильністю рішення суду першої інстанції, яка виражається на думку особи, яка подала апеляційну
    
13. 1. Поняття і види апеляції. Право апеляційного оскарження, строк подачі, форма і зміст апеляційної скарги. Відгук на апеляційну скаргу
      вторинне розгляд справи по суті в цілому або в частині. Характерними ознаками апеляції можуть виступати сле-дмуть: апеляція приноситься на рішення суду, яке не набрало законної сили; справу по апеляції переноситься на розгляд вищого суду; подача апеляції обумовлюється неправильністю рішення суду першої інстанції, яка виражається на думку особи, яка подала апеляційну
    
14. 30. Критерії періодизації держави і права
      вторинну (економічну) і теоретичності (комуністичну). Ці макроформаціі отримали назву суспільних (а не суспільно-економічних) формацій. Основними критеріями виділення названих формацій виступають наявність або відсутність: а) приватної власності; б) класів; в) товарного виробництва. При наявності цих ознак наявності економічна суспільна формація, яка не може обійтися