аподиктичні очевидність як основа докази

Будь-яке математичне доказ може бути розбите на частини, на окремі кроки, які спираються тільки на безпосередню очевидність. Якщо певний крок докази не очевидний для нас або для тих, для кого ми доводимо теорему, то це крок потребує подальшому роз'ясненні, в редукції до ще більш тривіальним очевидні. Доказ приймається тільки тоді, коли кожен його крок або безпосередньо очевидний, або допускає редукцію до деякої сукупності безпосередніх очевидностей. Але це означає, що проблема надійності математичного доказу складається, в кінцевому підсумку, у з'ясуванні надійності тез, на які спирається математик в процесі свого міркування. Коли деяка група математиків приходить до висновку про правильність певного докази, то цим виражається віра в те, що все очевидності, на які воно спирається, відносяться до класу аподиктических очевидностей.

Починаючи з Декарта, математичне міркування зв'язується з поданням про абсолютну (некорректіруемих) очевидності. У кантовской концепції математики аподиктичні очевидність визначає всі елементи математичного мислення. Математика, за Кантом, самоочевидна в своїх вихідних об'єктах, які дано in concreto в чистому апріорному спогляданні, вона самоочевидна в системі своїх вихідних принципів (аксіом) і, нарешті, вона самоочевидна у своїх доказах, оскільки, згідно Канту, «математичні докази завжди протікають під керівництвом чистої інтуїції, на основі завжди очевидного синтезу »9.

Сучасна математика, звичайно, не є такою мірою підпорядкованої вимогу очевидності. Практика сучасного математичного мислення вимагає тільки логічної строгості у визначенні об'єктів і не пред'являє ніяких вимог щодо їх безпосередньої даності свідомості. Міркування в неевклідової геометрії або в нестандартному аналізі з самого початку виходять з тверджень, що суперечать інтуїції. З сучасної точки зору і аксіоми, і об'єкти математичного міркування повинні бути лише логічно певними в тому сенсі, що вони повинні бути виражені в термінах, що допускають редукцію до аподиктичні очевидним або постулатівних певних об'єктів. В даний час ми добре розуміємо, що вимога самоочевидності аксіом і визначень виникало з вузькості погляду традиційної філософії математики і незастосовне до практики сучасного математичного мислення.

Ми повинні зберегти, проте, кантовский теза про безумовну очевидності математичного докази. Незважаючи на можливу неочевидність об'єктів і аксіом саме доказ як система кроків, що ведуть від посилок до наслідків, завжди має залишатися прозорим, бо як уже сказано, неочевидні переходи не можуть бути прийняті як доказових: всякий крок докази, що претендує на надійність, повинен бути здійснений або відповідно до аподиктичні ясним правилом логіки, або на основі аподиктичні ясного складу визначення, або на основі аподиктичні очевидних перетворень змістовних посилок (аксіом).

Доказ, аподиктичні очевидне в кожному своєму кроці, не може бути дезавуйоване небудь контрприкладом або подальшим аналізом докази. Будучи виконаним і підтвердженим математичним співтовариством, воно являє собою абсолютний факт наявності логічного зв'язку, з яким має вважатися всяке інше побудова в даної теорії. Питання про те, чи досяжні в математиці закінчені докази, зводиться до питання, чи забезпечує природна еволюція математичного докази повне очищення його від ассерторіческіе очевидностей.

Теорія в процесі свого розвитку може істотно змінювати склад своїх базових очевидностей. В елементарній геометрії ми виходимо з безпосередньої очевидності просторових об'єктів та їх властивостей. Символи ще не грають тут істотної ролі. Переходячи до аналітичного викладу геометрії, ми відсуваємо геометричну наочність в сторону, замінюючи її непохитністю аналітичного (знакового) міркування. У неевклідової геометрії зв'язок з просторовою очевидністю розривається майже повністю. Хоча ми продовжуємо тут спиратися на креслення, але вони вже не володіють тут тієї авторитарністю, якої вони володіли в елементарній геометрії: креслення виступає тут лише як умовної ілюстрації і ми не можемо пред'являти тут якихось претензій до доказу, виходячи з наочного подання фігури . На перше місце тут висувається логічна і предметна очевидність.

Різні математичні теорії, таким чином, залежно від змісту і рівня абстрактності можуть спиратися на різні типи аподиктических очевидностей. Вони, зокрема, можуть бути вільними від деяких з цих типів. Перехід до алгебри усуває уявний арифметичний синтез, формалізація геометрії усуває просторову уяву, перехід до конструктивного міркуванню вимагає відмови від інтуїтивно ясних операцій класичної логіки. Формалізація теорії являє собою ні що інше як редукцію всіх типів очевидності до предметної і логічної очевидності.

Принципово важливо, однак, те, що ми не можемо позбутися очевидності повністю: жодна математична теорія не може бути побудована без опори на певний тип безпосередній очевидності. Аподиктичні очевидність - необхідна передумова будь-якого суворого міркування і основа його надійності.

Виступаючи проти геометричній наочності, багато математики на початку XX століття ставили завдання звільнити математичне доказ від усякої очевидності і звести його до системи усюди контрольованих логічних кроків. При цьому випускається з уваги той простий факт, що сама логіка також спочиває на деякого роду безпосередній очевидності і що застосування її до ланцюжків символів припускає очевидність структурного тотожності. В одній зі своїх ранніх статей Б. Рассел заявляв, що зведення всієї чистої математики, включаючи геометрію, до формальної логіки, є фатальним ударом для філософії Канта, так як показує можливість геометричних доказів, що не спираються на чертежі10.

Існують дві математичні теорії, повністю задовольняють кантовским вимогам до очевидності. Це арифметика і евклідова геометрія. Це генетично первинна і логічно фундаментальна частина математики, що має позачасове значення. Вона некорректіруемих і безумовно передує всім іншим твердженнями і конструкціям в математиці. Ми будемо говорити надалі про ці теоріях як про апріорної частини математичного знання або про апріорно центрі математики.

Сучасна математика незрівнянно ширше своєї апріорної частини, заснованої на аподиктичні очевидних принципах. Існує безліч геометричних систем, в яких звичайна геометрична наочність непридатна, існує математичний аналіз, де теорема Больцано-Коші невірна і т. п. І проте апріорна математика була і залишається істинною основою математичної науки. Звичайна арифметика і евклідова геометрія - не просто елементарна частина математики, але базовий коло очевидностей, до якого в кінцевому підсумку редукується будь математичне міркування. У цьому сенсі елементарна математика була і завжди залишиться методологічною основою математичного мислення. І в тих теоріях, в яких ми йдемо від самоочевидності об'єктів і аксіом, ми продовжуємо рухатися в рамках апріорних очевидностей логіки та елементарної математики. Тільки ці вихідні очевидності, що належать до генетичному центру математики, дають нам впевненість у правильності висновків на всіх рівнях математичного мислення.

Це дає нам можливість стверджувати, що сфера математики визначається безліччю висновків, редукованих до аподиктической очевидності. У цьому плані ми можемо визначити математику як мислення на рівні аподиктической очевидності.

Аподиктичні очевидність - це генетична основа математики, необхідний елемент змісту кожної математичної теорії і, нарешті, необхідна основа будь-якого математичного міркування в тому сенсі, що будь-яке доказ набуває для нас зрозумілість і непорушність рівно в тій мірі, в якій воно редукується до рівня аподиктической очевидності. Звідси ясно, що обгрунтування надійності математичного докази - це не проблема логіки, а насамперед епістемологична проблема, пов'язана з проясненням природи аподиктической очевидності.

Інформація, релевантна " аподиктичні очевидність як основа докази "

1. § 1 Проблема сенсу моралі як можливості здійснення належного
   аподиктических суджень як" трьох моментів мислення взагалі ". Однак, "якщо категорії мають не одне тільки логічне значення і не повинні бути аналітичним виразом формального мислення, а повинні ставитися до речей і їх можливості, дійсності або необхідності, то вони повинні бути спрямовані на можливий досвід і його синтетичну єдність, у якому тільки й можуть бути дані предмети
   
2. ВСТУП
   аподиктичні знання, безпосередньо призвів людей до практичних результатів, і сильно впав авторитет світоглядного знання як недостатньо певного і внаслідок цього здатного де-зорентіровать в практичному житті як окремих людей, так і все людство. Становище погіршилося ще тим, що цю позицію розділяє не просто більшість просвешенних обивателів, з тих чи
   
3. 1. Позитивна метафізика не має в межах теоретичного розуму предметної області
   аподиктичні знання, а на рівні докси, тобто на рівні віри. Більш докладно я викладу цю проблему далі, а поки зверну увагу читача на наступне. Розрізнення існування об'єктів в мовній структурі або ж у структурі, опосередкованої пізнавальними здібностями людини, і існування об'єктів поза цих структур дозволяє говорити про два види об'єктивного існування.
   
4. 5. Реальні норми науковості для позитивної теоретичної метафізики. Знання і віра. Місце віри в системі знання
   аподиктичні знання, бо несуперечливо мислиме, є реально існуючим і ми, використовуючи аналітичні або синтетичні судження a priori, можемо легко встановити необхідну істинність висловлювань позитивної теоретичної метафізики. Особливо важливі наслідки для теології має несуперечливе судження про надчуттєвих сутності , тобто про існування Бога. Повернемося ще
   
5. 1. Про співвідношення науки, метафізики філософії та філософії. Метафізика як наука і філософія метафізики
   аподиктичні знання про існування Бога як сверхчувственной всемогутньою сутності, але це наукове знання (у статусі інтерсуб'єктивності) є знання в структурі пізнавальних здібностей людини. Очевидно, що коли ми ставимо питання про існування Бога до виникнення людини і фізичного світу взагалі, як це має місце в завершеною систематизації світу (теокосмізме), ми говоримо про
   
6. 1. Геометрія як ідеал філософії
   аподиктичні достовірні з одного розуму, частиною ж такі, які, за загальним визнанням, хоча беруться і з досвіду, проте незалежні від досвіду. Ми маємо, таким чином, деякий, принаймні не-оспорюване, синтетичне пізнання a priori і повинні питати не про те, чи можливе воно (бо воно дійсно), а тільки про те, як воно можливо »Якщо ми врахуємо це загальна думка
   
7. 11. Концепція геометрії XX століття
   аподиктической необхід: мостью, яка виникає з докази, і чуттєвої очевидністю, що вкорінена в просторової інтуїції . Вони, мабуть, володіють подвійний істинністю: формальної істинністю, що має своє походження в послідовній логіці міркувань, та матеріальної істинністю, що полягає у згоді предметів думки з їх об'єктами »19. Згідно звичайним
   
8. Філософія математики Лейтзена Егберта Яна Брауера
   аподиктичні точність у світі досвіду і в абстракції. Тому для Канта можливість експериментального спростування арифметичних і геометричних законів не тільки виключалася твердим переконанням у їх істинності, але й була просто немислима. Діаметрально протилежна точка зору формалізму, який стверджує, що людський розум має у своєму розпорядженні образів прямих ліній або
   
9. Висновок
     аподиктичні очевидною основі. Визнання неспроможності всіх цих програм призвело до висновку про неможливість обгрунтування математики і до появи стійкого скептицизму щодо строгості математичного мислення взагалі. Основною передумовою скептицизму в сучасній філософії математики є теза: «Якщо математику не можна обгрунтувати в самій математиці, то її не можна обгрунтувати
   
10. 2. Зміна завдання
      аподиктичні очевидних істин. Констатація цього факту відкриває можливість обгрунтування несуперечності аксіоматичних систем, які в складі своїх аксіом не виходять за рамки онтологічно істинних суджень. Загальний результат логіцістского аналізу можна виразити таким чином. Достатня аксіоматична база для обгрунтування теорії множин (поки ми можемо абстрагуватися від факту
    
11. 5. Логіка як механізм дедукції
      аподиктической очевидності, які визначають надійне математичне міркування. Ці факти дозволяють нам зрозуміти раціональний сенс інтуїционістського тлумачення логіки. Інтуїционістськая математика, якщо подивитися на неї з точки зору співвідношення математики і логіки, є не чим іншим, як спробою повного звільнення математики від логіки, спробою представити математику як
    
12. Предметний покажчик
      аподиктичні 14, 24 - ассерторіческіе 15 - геометрична 17, 191-197 - концептуальна 17 - логічна 17 - предметна 17 Психологізм 72, 85 Реалізм 56 Релятивізм 3, 6,144, 297 Ретротрансляція істини 240 Стабільність - докази 28-41 - системи аксіом 256 Строгість докази 28, 37-40 Фінітізм 157, 202 Формалізм 121 Емпіризм 78 Епітеорія
    
13. 5 - Вторинність строгості
      аподиктической очевидності його кроків, універсального критерію строгості, значимого для всіх доказів, не існує. Прихильники фаллібілістской філософії математики виходять з цього останнього положення, виводячи звідси недосяжність повній суворості і в першому сенсі, а також і недосяжність його повної надійності. Цей хід думки є центральним в концепції докази І.
    
14. Література і примітки
      аподиктической очевидністю. Жодне з цих умов не має місця за межами математики. 37. Kitcher Ph. The Nature of Mathematical Knowledge. P. 51-52. 38. Devis P.J. Fidelity in mathematical discourse. Is one and one really two? / / American Mathematical Montly. 1972. Vol. 79, № 3. P. 258. 39. Ibid., P. 259. 40. Успенський B.A. Сім роздумів на теми філософії математики / / В кн.:
    
15. 7. Шляхи обгрунтування логіки
      аподиктической очевидності. Найважливіший прогрес, здійснюваний в праксеологічною теорії логіки, полягає в виправданні статусу аподиктической очевидності як обгрунтовуючих інстанції. Праксеологіческая точка зору дозволяє зрозуміти внепсі-хологические та об'єктивну природу аподиктической очевидності, принципова відмінність її від різних типів індуктивної очевидності і дозволяє обгрунтувати