3. Про надійність геометричній очевидності

Уважний розгляд проблеми показує, однак, що приниження обгрунтовуючих статусу геометричній очевидності, присутнє досі в філософії математики і в математичній практиці, не є виправданим. Звичайно, сучасна математика далеко вийшла за межі геометричної наочності і досліджує велике число об'єктів, далеких від можливостей звичайного просторового уявлення. Ми не можемо наочно уявити безперервну функцію, яка не має похідної, криву, цілком заповнює квадрат, або спосіб розсічення кулі на частини, з яких можна скласти два рівновеликих йому кулі, і безліч інших об'єктів, досліджуваних в сучасній математиці. Саме на такого роду факти вказують ті математики і філософи, які говорять про крах інтуїції в сучасній математіке6.

Факт зменшення сфери геометричній наочності в сучасній математиці не підлягає сумніву. Сама геометрія далеко вийшла за межі звичайної наочності, і неважко зрозуміти, що процес розширення математики за рахунок абстрактних об'єктів цілком закономірний і не може бути звернений назад. Але тут необхідно розділити різні речі. Коли ми ставимо питання про надійність геометричній очевидності, то нас цікавить не те, як широка сфера її використання, а лише те, чи є ця очевидність там, де вона фактично використовується, досить надійною. Іншими словами, нас цікавить не питання про універсальність геометричній очевидності (це питання дозволяється однозначно і негативно), а питання про її надійність, тобто питання про те, чи є вона надійною в сфе-ре свого фактичного застосування. На питання, поставлене таким чином, ми маємо всі підстави відповісти ствердно.

Для з'ясування суті справи розглянемо процес обчислення поверхні фігури, яка відома як циліндр Шварца. Якщо циліндр висотою Н розділити на п горизонтальних шарів і в підстави кожного з шарів вписати до-кутник, то ребра, що з'єднують сусідні вершини багатокутників, утворюють багатогранну поверхню, вписану в бічну поверхню циліндра, що складається з 2ПК рівних трикутників. Геометрична інтуїція підказує нам, що при необмеженому збільшенні п і до (числа шарів, на які поділено циліндр, і числа сторін багатокутника, вписаного в основу шару) площа багатогранної поверхні буде наближатися до площі бічної поверхні циліндра. Простий розрахунок показує, однак, що величина цієї межі залежить від відносної швидкості зміни п і к і, взагалі кажучи, може бути як завгодно великий. Неспроможність геометричній очевидності, як здається, виявляється більш ніж убедітельной7.

У дійсності, однак, ніякого спростування геометричній очевидності в даному випадку не відбувається.

Головне, однак, полягає в наступному. Коли ми в розглянутому випадку інтуїтивно укладаємо, що площа багатогранної поверхні при збільшенні числа її граней має своїм межею поверхню циліндра, то ми спираємося не так на геометричний креслення, що відноситься до даного випадку, і не на тривіальні очевидності, зафіксовані в аксіоми геометрії, а виключно на аналогію з деякими відомими геометричними фактами. Наша первісна гіпотеза, насправді, підтримується наступним міркуванням: «Якщо периметр вписаного в коло багатокутника при необмеженому збільшенні числа його сторін прагне до довжини окружності як до своєї межі, то природно припустити, що площа вписаною багатогранної поверхні при необмеженому збільшенні числа її граней прагне до площі бічної поверхні циліндра ». Але це не висновок на основі безпосередньої геометричній очевидності, а висновок за аналогією, і, таким чином, ми можемо говорити тут лише про ненадійність індуктивної гіпотези, неявно впровадженої у вихідне геометричне міркування.

Розгляд прикладів, які зазвичай наводяться проти геометричній очевидності, показує, що всі вони засновані на змішуванні геометричній очевидності як безпосереднього здійснення і споглядання геометричних конструкцій з висновками за аналогією або з індуктивними гіпотезами щодо цих об'єктів. Ці приклади, таким чином, доводять тільки некоректність індуктивної і емпіричної очевидності у сфері геометрії і ні в якій мірі не спростовують аподиктичні характеру очевидностей, що лежать в її основі. Чи може такий об'єкт, як крива, що заповнює весь квадрат, свідчити проти геометричній очевидності, якщо саме її побудова спирається на ці очевидності? У нас немає ніяких фактів, що показують, що висновки, зроблені на основі очевидних геометричних побудов, виявилися б неспроможними з логічної точки зору. Насправді, ми ніколи не визнаємо математичні міркування правильними, якщо вони будуть розходитися з висновками, заснованими на загальнозначущої геометричній конструкції. І в цьому сенсі факт, заснований ^ на геометричній очевидності, настільки ж обов'язковий для математика, як і елементарний арифметичний факт.

Тенденція до звільнення почав аналізу від геометричної очевидності, яка намітилася в XVIII столітті, сама по собі цілком законна. Об'єктивно вона була спрямована на те, щоб звузити до мінімуму інтуїтивне підставу аналізу як певної математичної дисципліни. Однак ця тенденція була помилково витлумачена математиками і філософами як звільнення математики від емпіричної наочності, що приводить до помилок. В основі цього тлумачення лежало помилкове уявлення про геометрію як дослідної науки, як про науку, спорідненої механіці, пов'язаної з дослідженням простору як об'єкта, даного в досвіді.

Протиставляючи геометричну наочність і аналітичне обгрунтування як приклад, Больцано розглядав твердження: «Якщо безперервна функція при деяких значеннях аргументу А і В приймає значення, що мають різні знаки, то існує значення аргументу рівне С, при якому вона дорівнює нулю ». Він вважав, що хоча це положення переконливо геометрично, геометричне його обгрунтування не може розглядатися у якості прийнятного. Теореми про властивості функцій повинні бути виведені, згідно

Больцано, тільки з чисто аналітичного визначення цих функцій. Основна його ідея, звичайно, має методологічний сенс і історичне виправдання. Однак переконання в тому, що опора на геометрію в аналізі настільки ж ненадійна, як і опора на механіку, помилково. Геометрична очевидність - не очевидно механіки: вона, насправді, не менш інтелектуальна, не менше авторитарна, ніж очевидність арифметики і не менш обов'язкова для математики, ніж остання. Якби Больцано строго аналітично довів, що безперервна функція, що задовольняє зазначеним умовам, може в деяких випадках не мати значення, рівного нулю, то цим би було доведено власне, що визначення аналізу не відповідають даній в інтуїції безперервності простору, і аналіз, безсумнівно, був б перебудований в сторону такої відповідності. Самоочевидна геометрична істина, укладена в теоремі Больцано-Коші, в принципі не може бути усунена з математики на основі яких логічних доводів. Але це значить, що її геометричне обгрунтування є не менш надійним, ніж обгрунтування аналітичне.

Настільки ж неспроможний і аргумент Брауера. Той факт, що наочність евклідової геометрії не поширюється на інші геометричні системи, не говорить про ненадійність цієї очевидності в рамках самої евклідової геометрії і про недостатність її для обгрунтування цієї геометрії. Слідуючи своїй логіці, Брауер мав би поставити під сумнів і звичайну арифметичну очевидність, тому існують нестандартні арифметичні системи, в яких вона неприйнятна.

Більш адекватний погляд на геометричну очевидність був сформульований Г. Фреге в його останніх роботах. Основну ідею Фреге можна виразити в наступних двох тезах: 1.

Геометрична очевидність, також як і арифметична, не містить в собі ніякого почуттєвого компонента і, внаслідок цього, є чисто інтелектуальної, власне математичної і абсолютно надійною. 2.

Геометрична очевидність є ширшою, ніж арифметична, бо вона є джерелом ідеї математичної нескінченності. Внаслідок цього, її слід розглядати в якості бази змістовної уніфікації математичного мислення в целом8.

На даному етапі нам досить прийняти перший теза Фреге, а саме, твердо встановити те положення, що геометрична очевидність є не менш надійною, ніж очевидність арифметична, предметна або логічна. Необхідно визнати, що приниження геометричній очевидності в її надійності та обгрунтовуючих ролі є одним з найважчих помилок філософії ма-тематики впродовж останніх двох століть. Найперша задача сучасної філософії математики полягає в усуненні цього забобону. Зрозуміло, це може бути зроблено тільки на основі загального аналізу природи аподиктической очевидності та її місця в структурі людського мислення.

4.

Інформація, релевантна " 3. Про надійність геометричній очевидності "

1. 2. Основні типи математичної очевидності
   надійності своїх висновків. 2. Очевидність аналогії. Це та очевидність, яка виникає з перенесення на новий об'єкт властивостей відомих і звичних нам об'єктів, які в якихось істотних відносинах подібні з ним. Аналогія - один з найважливіших евристичних механізмів розвитку математики. Д. Пойа стверджував, що немає жодного математичного відкриття, яке було б зроблено без
   
2. Проблеми соціальної установки в теорії установки Д. Н. Узнадзе
   надійним засобом первинного аналізу дійсності. Тут, ймовірно, потрібно пригадати думку Б.Ф. Ломова про неможливість розмежування внутрішньої і зовнішньої діяльності в рамках живого організму. Одночасно виникає дивне положення: хіба можливо мислення «взагалі», тобто мислення, не спрямоване на що-то. Це могло б означати тільки те, що мислення це не наповнене ніяким
   
3. Філософія математики Лейтзена Егберта Яна Брауера
   геометричних законів не тільки виключалася твердим переконанням у їх істинності, а й була просто немислима. Діаметрально протилежна точка зору формалізму, який стверджує, що людський розум має у своєму розпорядженні образів прямих ліній або чисел, скажімо, не більше десяти, і тому джерело цих математичних об'єктів знаходиться не в нашому уявленні природи, а в самій
   
4. Жозеф де Местр І ВИТОКИ ФАШИЗМА
   надійно програної битви, ліберали - як тупий або ненависний уламок старшого, більш безсердечного покоління. І ті й інші згодні в тому, що його час минув і його світ позбавлений зв'язку з яким би то не було справжнім або майбутнім течією думки. Цю точку зору поділяють Ламенне (що колись був його прихильником) і Віктор Гюго, Сент-Бев і Брандес, Джеймс Стівен, Морлі і Фаге; вони заперечують де
   
5. ПОЧУТТЯ РЕАЛЬНОСТІ
   надійні цінності, моральна і фізична безпека, мир, в якому можна обчислити кордону помилки, пізнати межі змін, а катаклізми бувають лише природні, та й ті ми зуміємо передбачити, коли розвинеться наука. Соціальний світ, безсумнівно, виявився беспокойнее, він більш насичений невідомі-39 ми небезпеками, ніж раніше; зате обдарованим людям куди легше просунутися, якщо вони
   
6. Введення
     надійність математичних доказів і несуперечність математичних теорій спочиває на досвіді і не має ніяких інших підстав. Критика традиційного способу математики придбала сьогодні загальний характер і зробилася майже модою. Філософи, логіки, історики математики і самі математики говорять про Нестрогие математичних доказів, про ненадійність інтуїції і про принципову
   
7. Висновок
     надійна, були взяті як істини, підтверджені практикою і не викликають сумніву. Автори програм вважали, що такого роду прості допущення в принципі достатні для вирішення внелогіческіе проблем, пов'язаних з виправданням стратегії обгрунтування. Прямим наслідком такого, суто математичного підходу до проблеми обгрунтування було те, що всі підходи до її вирішення були зведені до реалізації
   
8. 5. Логіка як механізм дедукції
     надійна дедукція. Багато досить об'ємні математичні міркування засновані цілком на такого роду предметних визначеннях і не містять в собі яких-або логічних правил. Хтось може сказати, що при переході від (а + 6і) (а - 6і) до А2 + б2 проглядається правило силогізму, яке виражається формулою: ((А - + В) (В С)) - + (А - С). Неважко, однак, бачити, що це правило з'являється
   
9. Предметний покажчик
     геометрична 17, 191-197 - концептуальна 17 - логічна 17 - предметна 17 Психологізм 72, 85 Реалізм 56 Релятивізм 3, 6,144, 297 Ретротрансляція істини 240 Стабільність - докази 28-41 - системи аксіом 256 Строгість докази 28, 37-40 Фінітізм 157, 202 Формалізм 121 Емпіризм 78 Епітеорія
   
10. Література і примітки
      надійних. Є підстави думати, що це міркування, будучи вірним для незалежних подій, не проходить для процесу підтвердження математичних істин, яке має системою характер. У математичному міркуванні ми постійно переводимо відносне в абсолютне допомогою кінцевого (хоча і невизначеного) числа перевірок. 13. Кант І. Критика чистого розуму. Соч. в шести томах. Т. З,
    
11. 6. Сфера абсолютної надійності
      надійної лежить об'єктивний факт, який полягає в тому, що теорія знаходиться на тій стадії свого розвитку, коли можливі протиріччя на її периферії вже не зачіпають її центру. Ми підходимо тут до обгрунтування надійності математичної теорії не з аналізу її змісту або формальної структури, а виключно з логіки її становлення. Традиційна парадигма обгрунтування математики
    
12. 3. Про кітчеровской критиці априоризма
      надійності математичного докази, що спирається на будь-яку версію апріорної інтуїції, не може бути задовільним. Міркування, проісте-кається з аналізу априоризма і з реальної практики сучасної науки, на думку Кітчера, достатні для того, щоб вважати нерозумною саму можливість формувати абсолютну віру на базі якоїсь інтуїції. Інтуїція, вважає Кітчер, будь вона
    
13. 3. Онтологічна основа первинної математики
      надійному основи мислення. Прийняття математичним співтовариством деякого докази як завершеного - не акт згоди, обумовленого обставинами психологічного чи соціокультурного значення, а констатація факту на рівні категоріальних, а отже, внеісторічеськую уявлень. Це підтверджується всією історією математики: всі докази, переконливі для Евкліда,