Головна
Аксіологія / Аналітична філософія / Антична філософія / Антологія / Антропологія / Історія філософії / Історія філософії / Логіка / Метафізика / Світова філософія / Першоджерела з філософії / Проблеми філософії / Сучасна філософія / Соціальна філософія / Середньовічна філософія / Телеологія / Теорія еволюції / Філософія (підручник) / Філософія мистецтва / Філософія історії / Філософія кіно / Філософія науки / Філософія політики / Філософія різних країн і часів / Філософія самоорганізації / Філософи / Фундаментальна філософія / Хрестоматії з філософії / Езотерика
ГоловнаФілософіяФілософія науки → 
« Попередня Наступна »
Пермінов В. Я. . Філософія і підстави математики - М.: Прогресс-Традиція. - 320с., 2001 - перейти до змісту підручника

2. Основні типи математичної очевидності

Аналіз математичної практики дозволяє виділити наступні типи очевидностей як основні. 1.

Емпірична очевидність. Ми маємо справу з такого роду очевидністю, коли математична істина визнається на основі деякого досвіду або загального уявлення, має дослідне походження. Якщо, як це робив Ньютон і багато з його сучасників, ототожнити функцію з траєкторією руху матеріального тіла, тоді наявність похідної для кожної безперервної функції стає самоочевидним фактом, бо рухається тіло завжди має деяку швидкість. Математики XVIII століття не ставили питання про існування похідної для безперервних функцій з тієї причини, що інтерпретація функції через рух представлялася їм абсолютно природною і непереборний з математичної теорії. Емпірична очевидність, як показує вже наведений приклад, не є непогрішною і з цієї причини не є аподиктической очевидністю у вказаному вище сенсі. Такого роду очевидність не має обгрунтовуючих значення для математика, що прагне до повної надійності своїх висновків. 2.

Очевидність аналогії. Це та очевидність, яка виникає з перенесення на новий об'єкт властивостей відомих і звичних нам об'єктів, які в якихось істотних відносинах подібні з ним. Аналогія - один з найважливіших евристичних механізмів розвитку математики. Д. Пойа стверджував, що немає жодного математичного відкриття, яке було б зроблено без допомоги аналогії. Аналогія в математиці найчастіше є і доказової в тому сенсі, що висновки за аналогією в переважній кількості випадків виправдовуються потім власною теорією нових об'єктів, тобто набувають статусу строго доведених. Однак очевидно, що такого роду висновки можуть виявитися і хибними. Історія математики дає нам багато прикладів, коли аналогія використовувалася приховано і приводила до помилкового переконання в успіху там, де його не було. Цікавим прикладом такого роду помилки є «доказ» теореми Ферма, представлене Г. Ламі в Паризьку Академію наук в 1847 році, яке покоїлося на допущенні безумовної застосовності основної теореми арифметики для поля комплексних чісел2. Це означає, що очевидність аналогії, що має безсумнівне евристичне значення, також не може вважатися строго доказової. 3.

Концептуальна очевидність. Цей тип очевидності грунтується на образах, які математики привносять в теорію ззовні, з тим, щоб наблизити математичні істини до асоціацій повсякденного досвіду. Наскільки б складною була теорія у своїх внутрішніх конструкціях, як би далеко вона не йшла від повсякденних уявлень, вчені поступово обживають її, вводячи образи, що дозволяють безпосередньо сприймати дотиком її внутрішні зв'язки і рухатися на цій основі до нових результатів. Так само як і емпірична очевидність, концептуальна очевидність пов'язана з змістовної інтерпретацією математичних об'єктів. Різниця полягає в тому, що концептуальна очевидність генетично вторинна по відношенню до теорії, вона вироб-водна від існуючої математичної структури і спрямована виключно на її прояснення. Ясно, що концептуальна очевидність, як і емпірична, не має аподиктичні характеру і не може використовуватися в математиці як обгрунтовуючих средства3.

4.

Предметна очевидність. Це очевидність, пов'язана з уявними операціями у сфері ідеальних предметів, яка лежить в основі математики і дозволяє нам з повною визначеністю стверджувати, що 2 + 2 = 4, 5 + 7 = 12 і т. п. Предметна очевидність задає закони операцій з ідеальними предметами , які передбачаються в процесі реального рахунку і передують йому як стійке уявне представлення. Ми не вважаємо хвилі на морі або думки в голові людини, оскільки вони не задовольняють чи погано задовольняють вимогам до речей, піддаються рахунку. Раховані предмети повинні бути стабільними, ізольованими (помітними) і адитивними в тому сенсі, що операції з ними не повинні вести до їх з'єднанню або зникнення. Ми можемо говорити, що арифметика застосовується лише до тієї реальності, в якій з достатньою точністю реалізуються уявлення про ідеальні предметах та їхні зв'язки, що лежать в основі поняття числа, і сама арифметика повинна розглядатися насамперед як опис цих уявлень.

Предметна очевидність лежить не тільки в основі арифметики, а й в основі всіх інших математичних наук. В алгебрі ми відволікаємося від уявних одиниць і від конкретних уявлень про їх з'єднаннях і поділах, а зосереджуємо увагу на знаках як емпірично даних речах та операціях з ними. Але наша впевненість у надійності алгебраїчних операцій, звичайно, покоїться на тому, що знаки та операції зі знаками достатньою мірою задовольняють вимогам до ідеальної предметності, що лежить в основі арифметики. При переході до абстрактних областям математики ми замінюємо операції з ідеальними предметами - операціями з чуттєвими предметами, які можуть зберігати властивості ідеальних предметів. Така заміна має той сенс, що вона дозволяє говорити про числа і множинах за межами їх уявного уявлення, зберігаючи при цьому безумовну надійність висновків, властиву початків математичної науки.

Предметна очевидність є аподиктической очевидністю в тому сенсі, що очевидний результат арифметичного або знакового міркування не може бути поставлений під сумнів небудь логічним аналізом або контрприкладами. Будь-яке теоретичне міркування в математиці було б негайно відкинуто, якби воно увійшло в протиріччя з висновками, досягнутими на її основі. Формалізоване доказ є для нас непогрішним саме з тієї причини, що воно зводиться до аподиктичні очевидним маніпуляціям з предметами (знаками). Філософи, однак, перебільшують значимість мислення на цьому рівні, коли оголошують формалізоване доказ єдиною справжньою гарантією надійності математичного міркування.

5. Геометрична очевидність. Це той вид очевидності, який дозволяє нам впевнено стверджувати, що дві прямі перетинаються в одній точці або що через дві точки можна провести тільки одну пряму. Геометрична очевидність відрізняється від арифметичної тим, що вона безпосередньо пов'язана з уявленнями про простір, які мають лише непряме значення для арифметики і алгебри. Вона має справу з предметами, найважливішою якістю яких є їх безперервність.

В елементарних випадках геометрична очевидність має аподиктичні характер, т.

тобто вона не може бути піддана сумніву у своїй надійності. Нехай, наприклад, ми доводимо твердження, яке у тому, що площа паралелограма дорівнює площі прямокутника з тим же підставою і з тією ж висотою, за допомогою уявної поділу площі паралелограма на частини і складання з цих частин рівновеликого прямокутника. Чи може будь-яке більш суворе міркування в майбутньому похитнути надійність нашого міркування і заснований на ньому висновок? Звичайно, ні. Ми відхилили б всяке як завгодно витончене міркування як софізм, якби воно не підтверджувало наш висновок, що випливає з наочних операцій з фігурами. У цьому сенсі геометрична очевидність абсолютно аподіктічна, бо вона, як і арифметична, не може бути відкинута або скоригована на основі якого-небудь логічного аналізу.

Надійність геометричній очевидності, однак, часто ставилася під сумнів. Нижче ми спеціально зупинимося на розгляді цього питання. 6.

Логічна очевидність. Ми виявляємо наявність цього виду очевидності насамперед у непохитності логічних норм, що визначають реальне математичне міркування. Студент-мате мати до розуміє доказ свого викладача без будь-якого спеціального знайомства з логікою. Викладач, доводячи теорему і ретельно роз'яснюючи стосуються справи поняття, зазвичай нічого HQ говорить про правила логіки. Він припускає (і він не помиляється в цьому!), Що кожен з його слухачів сприймає логічні переходи як безпосередньо очевидні і що ця очевидність непорушна в тому сенсі, що ці переходи не можуть стати предметом дискусії. Якщо доведено, що з А слід В, а з В слід С, то ніхто не буде піддавати сумніву, що з А слід С.

Логічна самоочевидність проявляється також в нашій здатності однозначно фіксувати склад властивостей, укладених у визначеннях. Коли в процесі докази ми говоримо, що об'єкт А має властивість В за визначенням, то ми виносимо висновок, що володіє безумовною аподиктической очевидністю, що виникає з нашої здатності однозначно фіксувати склад визначення. 7.

Очевидність структурного тотожності. Цей вид безпосередньої очевидності має місце в кожному кроці математичного міркування, де ми підводимо деяку ситуацію під певне правило. У всіх таких випадках ми насамперед фіксуємо, що загальна структура розглянутого вираження тотожна структурі (схемі), вираженою правилом. Акт підведення під правило не може бути раціоналізований або формалізований: він цілковито базується на нашій здатності безпосереднього ототожнення структур на основі аподиктической очевидності. Тут ми можемо тільки сказати: "Дивись і переконайся, що структура преобразуемой формули саме та, яка потрібна правилом». На самоочевидності структурного тотожності засновано встановлення всякого роду відповідностей (изоморфизмов, гомоморфізмів ит. П.) між математичними об'єктами. Цей тип очевидності є, безсумнівно, аподиктичні і доказовим.

« Попередня Наступна »
= Перейти до змісту підручника =
Інформація, релевантна " 2. Основні типи математичної очевидності "
  1. ЗМІНА ФОРМ ДІАГНОСТИКИ ТА ОЦІНКИ ОСВІТНІХ РЕЗУЛЬТАТІВ ШКОЛЯРІВ
    основна школа) здійснюється перехід на самоконтроль і самооцінку, що вимагає наявності в учнів певних умінь контрольно-оцінної діяльності. У зв'язку з цим необхідно передбачити цілеспрямовану роботу з формування у дітей прийомів і способів самоконтролю і самооцінки. 5 - 6 класи - час адаптації дитини до принципово іншої соціальної середовищі, освоєння нових видів
  2. IV. Історія російська - через призму постмодерну.
    Основних наукових інтересів: історик, скажімо, словесності, науки і мистецтв схилятиметься до першого рішення, історик земельних відносин - до другого, а фахівець у галузі історії державних інститутів або історії церковної - до вирішення третього, проміжного. Не нав'язуючи читачеві жодного з трьох рішень, я дозволю собі одну історичну констатацію. І з нею, думається,
  3. Сучасна Західна філософія.
    Основних способи існування, два різних види самооріентаціі у світі, дві різні структури характеру, перевага однієї з яких визначає все, що людина думає, відчуває і робить ". Якщо людина живе за принципом володіння, його ставлення до світу виражається в прагненні оволодіти цим світом, перетворити все і всіх у свою власність. Альтернативою володіння є буття. В
  4. Підходи до інтерпретації політичного процесу
    основному відтворення інститутів і їх функцій, механізми функціонування, адаптації, наступності та збереження політичної системи. Таким чином, поняття політичного процесу містить і динамічні, і статичні характеристики. У свою чергу, категорія по-321 литического розвитку використовується головним чином для розгляду тих сторін суспільної динаміки, які пов'язані з
  5. Криза математики на початку XX століття
    типи міркувань, які раніше математики використовували неформально і часом неявно, хоча, як показував досвід, ці міркування завжди приводили до правильних результатів »19. Створена Г. Кантором (1845-1918) теорія трансфінітних (нескінченних) множин підірвала склалося спокій. Її головна особливість полягала в тому, що вона була теорією актуально нескінченних множин і, зокрема,
  6. 4. Причинний закон і статистичний закон
    основних типи легко піддаються перевірці законів, які можна вивести. З одного боку, це причинні закони. Прицільна стрільба по мішені є прикладом цього типу. У цьому випадку ситуація проста. Силове поле просте, а початкові умови описуються за допомогою значень декількох змінних. У цьому випадку ми з великою впевненістю можемо зменшити дисперсію в прогнозі кінцевих значень
  7. Жозеф де Местр І ВИТОКИ ФАШИЗМА
    основні форми тлумачення - критична і апологетическая - досить відомі. Ліберали звинувачували в усьому Терор, влада натовпу і фанатизм її вождів, що зневажили помірність і розум. Люди дійсно прагнули свободи, процвітання і справедливості, але їх неприборкані пристрасті або омани (наприклад, віра в те, що централізація влади і особиста свобода сумісні) призвели до того, що вони
  8. Висновок
      основні завдання: у вузькому сенсі вона полягала в тому, щоб знайти спосіб позбутися від наявних парадоксів, а в більш широкому - знайти загальні принципи побудови математичних теорій, що гарантують їх несуперечливість. У першому плані проблему можна вважати вирішеною, оскільки в рамках логічного аналізу доведено, що відомі типи парадоксів не можуть з'явитися в стандартних
  9. 4. Апріорізм Гуссерля
      основна особливість гус-серлевского априоризма, яка робить проблематичним саме віднесення філософії Гуссерля до традиції априоризма. Кант не ставив і не міг поставити питання про те, який аспект досвіду фіксується в поняттях простору, часу або в принципах логіки, бо апріорне знання для нього трансцендентально, воно за своєю суттю - структура розуму, певна самим розумом: воно може
  10. 8. Російський консерватизм другої половини X IX в.
      основному піднімалися проблеми соціальних катастроф та історії «пригноблених» класів, тому й консерватизм розглядався як ідеологія правлячих класів, чужа «всього передового людству». Тим часом, в російської зарубіжної історичної та філософської думки в 20-30-х рр.. з'явився ряд дуже глибоких і значних робіт: Н. А. Бердяєва, С. Л. Франка та інших на цю тему. У період 70-80-х рр.. в
  11. 2.4 Організаційна структура служби маркетингу на підприємстві.
      основні типи: за функціями маркетингової діяльності; по продукту; по регіонах; за групами споживачів (ринкова). В організаціях функціональних маркетингових підрозділів кожен відділ або сектор розробляє одну або ряд певних функцій маркетингової діяльності (відділ вивчення ринку, відділ реклами і стимулювання збуту, відділ каналів товароруху і т.д.). Таку структуру зазвичай
  12. Г. Об'єкти патентування
      основними ядерними характеристиками: період напіврозпаду, тип та енергія отримання (для радіоактивних ізотопів). Штам мікроорганізму, культури клітин рослин і тварин означає сукупність клітин, що мають спільне походження і що характеризуються однаковими стійкими ознаками. Штами складають основу біотехнології і застосовуються в лікувальних, профілактичних цілях, в якості
  13. 3. Об'єкти авторського права
      основні сюжетні лінії, стає надзвичайно важливим. Законодавство про авторські права в багатьох країнах не поширює охорону на прості факти. Теорія авторського права чітко говорить, що просте оголошення про факти не несе в собі такого головного елемента, як наявність творчого результату, необхідного для охорони авторським правом. Відповідно до Бернської конвенції "охорона,
  14. Глава четвер-тая. ХАРАКТЕРИСТИКА І ПОНЯТТЯ ДЕРЖАВИ
      основні характеристики держави, тобто вказати його головні ознаки і, тим самим, розкрити природу держави, сформувати його розуміння (поняття), - одна з основних задач теорії дер-жави. Пізнати природу держави - означає виявити головне і визначальне в його функціонуванні та розвитку, в його соціальній цінності і призначення. Це означає зрозуміти держава в єдності всіх
  15. Глава восьма. ТЕОРЕТИЧНІ ПИТАННЯ РОСІЙСЬКОЇ ДЕРЖАВНОСТІ
      основні характеристики. Соціально-політичні та ідеологічні передумови виникнення Радянської держави. Етапи розвитку радянського суспільства і Радянського дер-жави. Радянська форма правління та її еволюція на сучасному етапі. Основні зовнішні та внутрішні функції Радянської держави, їх еволюція. Форма правління, національно-державний і адміністративно-територіальний
  16. ГЛОСАРІЙ
      основні аспекти та проблеми діяльності в рамках тієї чи іншої посади. Кожен конкретний ассессмент-центр включає ряд процедур і розробляється з урахуванням вимог, що пред'являються до працівників. Важлива складова цього методу - вимір. Ассессмент-центр близький до тестів, оскільки передбачає стандартизацію, тобто наявність певних нормативів проведення процедур і системи оцінок
  17. 3.3. Шляхи вдосконалення інформаційної системи
      основних факторів і визначення внутрішньогосподарських резервів підвищення ефективності виробництва. Тому вся система інформаційного забезпечення повинна постійно вдосконалюватися. Це очевидно в сьогоднішній практиці організації обліку, планування та статистики на підприємстві. Там постійно переглядаються форми документів, їх зміст, організація документообігу, з'являються
© 2014-2020  ibib.ltd.ua