| Головна |
| « Попередня | Наступна » | |
4. Причинний закон і статистичний закон |
||
|
Якщо ми вистрілимо кулею і надамо їй певну швидкість в певному напрямку, то, виходячи із законів руху Ньютона, зможемо дізнатися, в яку саме точку мішені вона потрапить; але якщо ми Метн монету і будемо спостерігати, як вона упа-дет на стіл, то не зможемо передбачити, яким боком вона впаде наверх («орел» або «решка»). Ми можемо, однак, передбачити, що з тисячі бросаний приблизно половина випаде «орлом». У першому випадку ми говоримо про причинному законі, а в другому - про статистичному законі. Спробуємо якомога точніше визначити різницю між цими двома типами законів. Ми знаємо, що, як у всякому нашому доказі в геометрії, в механіці, в атомній фізиці і т. д., ми повинні різко розрізняти опис того, що насправді спостерігається або доступно спостереження, і символічну схему (або модель), за допомогою якій вчений описує явища. Наприклад, ми повинні бачити різницю між відстанню D між, двома точками, які підпорядковуються аксіомам евклідової геометрії, і фізичної операцією, за допомогою якої така відстань вимірюється і за допомогою якої можна перевірити, чи дійсно дві точки поділяються точно визначеним відстанню. Пам'ятаючи це, ми будемо аналізувати різницю між причинним і статистичним законом, використовуючи приклад з матеріальною точкою, що має певне початкове положення і певну початкову швидкість по відношенню до мішені і що потрапляє в певну точку її. Якщо ми знаємо початкові умови (причина), то чи можемо ми передбачити точку влучення на мішені (дія)? Що, висловлюючись точно, являє собою той «причинний закон», який пов'язує причину з дією? Початковим положенням може бути точка Я, і ми можемо повідомити нашої матеріальної точці деяку швидкість в напрямі, перпендикулярному до площини мішені. Якщо ця матеріальна точка пройде точно через Р і строго перпендикулярно до мішені, то вона потрапить у центр З мішені. Якщо ми повідомимо деяку швидкість великому числу матеріальних точок при тих же самих умовах, то вони всі потраплять в мішень С. Цей результат обчислюється шляхом застосування законів Ньютона, особливо закону інерції. Для того щоб зробити доказ найбільш простим, відвернемося від дії тяжіння і припустимо, що траєкторії часток проходять в горизонтальному напрямку. Ми можемо потрапити в центр мішені з упевненістю, якщо впевнені, що повідомляємо матеріальної точці деяку швидкість при абсолютно правильних початкових умовах. Це означає, що ми повинні повідомляти деяку швидкість строго в точці Р і направити її строго горизонтально. Якщо ми спробуємо здійснити цей експеримент на практиці, то переконаємося в технічних труднощах, пов'язаних з викиданням тіла точно таким способом. Ми повторюємо цей експеримент практично при одних і тих же умовах; це ізначіт, що в кожному випадку ми створимо одне і те ж технічний пристрій для того, щоб отримати бажані умови. Потім ми спостерігаємо, що насправді ми потрапляємо в кожному випадку не в центр мішені, але що точки попадання будуть розподілені певним чином навколо центру С. Якщо ми досліджуємо це розподіл точок попадання, то побачимо, що воно має симетрію відносно точки С і що частота влучень зменшується із зростанням відстані г від центру. Говорячи математичною мовою, частота влучень зменшується як гауссовская функція відстані г від центру. Всяке такий розподіл характеризується постійною D, «дисперсією» розподілу точок попадання. Чим менше D, тим більше влучень концентрується навколо центру; чим більше Z), тим більше ці попадання розпорошуються. Шляхом простого обчислення ми можемо вивести висновок, чтоD2 =? R2 / W, де Хг2 позначає суму квадратів відстаней усіх точок влучень від центру, а N - число влучень, які ми розглядаємо. «Дисперсія» D є міра розкиду точок попадання біля центру мішені, Ця дисперсія може звернутися в нуль тільки в тому випадку, якщо кожен раз буде мати місце потрапляння точно в центр, оскільки з D = 0 випливає, що кожне окреме г має дорівнювати нулю . Якщо ми опишемо початкові умови («причину») з точки зору здійсненним технічної операції, то зможемо передбачити точно не точку мішені, в якій буде мати місце попадання, а тільки схему влучень і дисперсію D. Дією є схема і дисперсія. Це положення описується в науці такий спосіб: якщо б ми могли додати тілу точне початкове положення Р і швидкість, яка була б строго перпендикулярній до мішені, то тіло потрапило б в центр абсолютно точно. Але на практиці через недосконалість пристосувань, за допомогою яких ми встановлюємо положення і напрямок, дійсне початкове положення знаходиться на деякій відстані від Р, а швидкість має певну компоненту, паралельну мішені. Проекцію відстані від Р на мішень ми можемо назвати Aq> тоді як компонента імпульсу (маса X швидкість), паралельна мішені, може бути названа Др. Тоді ми можемо сказати, що не всі тіла потрапляють в центр мішені, тому що не всі Пекло і Ар дорівнюють нулю. У такому випадку має місце дисперсія Ад: D2 = 2 (Д ^) 2 / N і дисперсія Ар: D2p = Z (Ap) 2 / N і ми можемо сказати, що всі тіла потраплять в центр тільки в тому випадку, якщо обидві дисперсії , Dp і Dq звертаються в нуль. Якщо обидві дисперсії, Dp і Dq, не звертаються в нуль одночасно, то ми не можемо передбачити «ефекту» кидання кожного окремого тіла, а можемо передбачити тільки схему, створювану киданням всього «рою» тел. Ми маємо тут статистичний закон. Однак із законів руху за допомогою чисто математичного доказу слід, що точні попадання в центр передбачити можна, якщо створити «рої» з прагне до нуля дисперсією положення та імпульсу. Якщо, як в даному випадку, при рівній нулю дисперсії в початкових умовах можна також обратіть'в нуль і дисперсію в результаті, то наш закон, згідно аксіомам ньютонівської механіки, стає причинним законом. вершенствованія в практичних пристроях, за допомогою яких ми можемо зробити обидві дисперсії, DP і DQT як завгодно малими. Тепер ми спробуємо охарактеризувати закони, які не є причинними у щойно описаному сенсі. Причинний закон повинен задовольняти двом вимогам - математичному та фізичному (емпіричному). Відповідно до першого, дисперсія «ефекту» звернулася б у нуль в тому випадку, якби дисперсія в початкових умовах дорівнювала нулю; згідно з другим, існують такі фізичні пристосування, за допомогою яких дисперсія початкових умов (Dq і Dp) може бути звернена в нуль одночасно. Це, звичайно, узгоджується з ньютоновскими законами руху, якщо ми допустимо, що ці закони, включаючи операціональні визначення положення та імпульсу, виявляються справедливими для значень р і qt як би вони не були малі. Тільки з цього допущення ми можемо вивести можливість одночасного звернення в нуль дисперсії Dq і Dp і, отже, точного передбачення попадання в центр. Ми знаємо, що з точки зору спостережуваних явищ навіть закон інерції, що допускає точне попадання в центр мішені, є законом схеми влучень, тобто статистичними законом. Ми називаємо його причинним тільки тому, що за допомогою одночасного зменшення дисперсії в початкових умовах ми можемо передбачити точне місце влучення. Отже, ми отримуємо різні типи законів, якщо звертаємося до рухів, які теж допускають пророкування схеми Влучань, але в яких дисперсія дії не звертається в нуль за допомогою прирівнювання дисперсії нулю в початкових умовах. Очевидно, що саме так працює в описі гри «орел» або «решка» як механічного явища, виробленого киданням монети. Як всякий знає, результатом цього механічного експерименту є. те, що з великої кількості бросаний близько однієї половини випадань припадає на «орла», а друга половина-на «решку». Про це експерименті часто говорили, що ми не знаємо причини того, чому одна сторона, будь то «орел» або «решка», повинна випадати частіше, ніж інша. Однак рух монети підкоряється тим же механічним законам, що і рух матеріальної точки 'до центру мішені. Наше незнання того, що станеться, не може замінити ньютоновских законів руху. Ми повинні розуміти, що в експерименті з монетою ми маємо причину - спосіб, яким ми кидаємо монету допомогою деякого пристосування, і «дія» - частоту, з якою випадають «орел» або «решка». Це аналогічно нагоди, в якому прицільна стрільба по мішені є причиною, що виробляє в якості дії попадання з певною частотою на різних відстанях від центру. Якщо ми кинемо монету N раз, де N-велике число, то зможемо розглядати всі ці кидання як один експеримент. Всякий раз монета кидається при одних і тих же початкових умовах. Дія може бути описано як схема, за допомогою позначення кожного кидання через Н або Т, дивлячись по тому, випадає чи «орел» або «решка». Дія в такому випадку буде описано допомогою ІТТННТНТТТННТН. Чим більше триває ця схема, тим стає ясніше, що в цій схемі буде приблизно одне і те ж число Я і Т. Однак існує одна важлива відмінність між «ефектами», обумовленими початковими умовами прицілювання в мішень і кидання монети. У першому випадку шляхом все більшого і більшого зменшення дисперсії початкових умов ми можемо також зменшити і дію, поки не зможемо майже точно передбачити значення q і р при попаданні в мішень. Але у випадку кидання монети ми майже з достовірністю можемо передбачити схему НТТ ... , В якій частота появи «орла» дорівнює приблизно N з N бросаний. Ця схема не залежить від початкового положення і швидкості монети. Зменшенням дисперсії початкових умов ми не могли б вимірюв-нить дію - частоту випадань Н і Т, які утворюються в довгій серії бросаний. Якщо ми спостерігаємо невелике число бросаний, то нічого не можемо передбачити; схема не має сталість і виключає можливість передбачення. Але чим більшою стає серія, тим більш залежною є частота. Ми говоримо про частоту Уг »маючи на увазі під частотою появи відношення між числом випадків, в яких випадає« орел », і числом всіх бросаний. У цьому випадку ми говоримо, що кидання монети як причина виробляє майже з достовірністю дія - серію бросаний, в якій частота «орлів» становить V2. Ми можемо стверджувати те ж саме і з прицілюванням в мішень. Якщо ми повідомляємо деяку швидкість дуже невеликому числу матеріальних точок, то спостерігаємо невелике число влучень у міїіень і не можемо передбачити нічого про відстань від центру С, на якому будуть мати місце потрапляння; але якщо ми кидаємо дуже багато тіл, то можемо передбачити майже з достовірністю , що утворюється певна схема. Якщо ми опишемо навколо З окружності з збільшуються радіусами г, то відношення числа влучень в окружності радіуса г до всього числу влучень буде певною функцією г, якщо число влучень стає дуже великим. На цих двох прикладах ми бачимо, що з ньютоновских законів руху можна вивести два типи законів, справедливих для спостережуваних явищ. Ми повинні пам'ятати, що самі ньютонівські закони не є твердженнями про спостережуваних фактах, а тільки понятійної схемою. Є, однак, два основних типи легко піддаються перевірці законів, які можна вивести. З одного боку, це причинні закони. Прицільна стрільба по мішені є прикладом цього типу. У цьому випадку ситуація проста. Силове поле просте, а початкові умови описуються за допомогою значень декількох змінних. У цьому випадку ми з великою впевненістю можемо зменшити дисперсію в прогнозі кінцевих значень змінних (значень на мішені). Всяке застосування ньютонівської механіки до спостережуваних явищ грунтується на цих двох типах законів. Обидва однаково є результатами ньютоновских рівнянь руху і двох різних видів приблизних рішень, які можуть бути отримані за різних обставин. У першому випадку зменшення дисперсії початкових значень дозволяє нам з високим ступенем точності передбачити наявність конкретних значень динамічних змінних. Тоді ми говоримо про причинних законах. У другому випадку, виходячи з приблизних початкових умов, ми з великою точністю можемо передбачити певну схему в значеннях динамічних змінних, або, іншими словами, «частоту», з якою різні значення цих змінних з'являються в певний час. Ми говоримо про статистичні законах. Успіхи науки довели, що не тільки в механіці, але і у всіх областях науки ми маємо справу з цими двома типами закону - з причинними законами і зі статистичними законами. Різниця полягає, звичайно, в тому, що в областях, які вважаються під- чинячи ньютонівської механіці, ми можемо вивести обидва типи закону з ньютонівської механіки. Виведення статистичних законів з ньютоновских законів руху може бути в останньому рахунку простежено до «ергодічеськой теореми». Якщо ми припустимо, що в механічній системі, яка може бути будь-якої складності, всі маси завжди залишаються в межах фіксованих кінцевих кордонів, а енергія залишається постійною, то з диференціальних рівнянь руху ми можемо вивести, що наша система знову і знову проходитиме близько до всіх положенням і швидкостям, які знаходяться у згоді з запропонованими кордонами і енергією. Якщо ми будемо стежити за цією системою протягом довгого періоду часу, то побачимо, що кожний стан системи (положення і імпульс) проходитиме з певною частотою, яка залежить тільки від цього стану. Ця «ергодична теорема» встановлює для механічної системи статистичний закон, і це веде нас до припущення, що всякий статистичний закон в кінцевому рахунку грунтується на теоремі ^ подібної «ергодіче-ської». В інших областях ми також припускаємо існування цих двох типів закону. Ми пізнаємо їх безпосередньо, не вимагаючи докази, що вони мають спільне походження. Однак те, що в механіці обидва типи можуть бути простежені до ньютоновских законів, робить досить правдоподібним, що причинні і статистичні закони не є двома несумісними один з одним типами закону. Якщо ми говоримо з точки зору спостережуваних явищ, то всі закони є статистичними. Спостерігаючи процедуру прицілювання в мішень, ми можемо передбачити схему влучень; точно так само, спостерігаючи процедуру кидання монети, ми можемо передбачити частоту випадання «орла» або «решки». Виходячи з наших математичних законів руху, ми можемо, однак, ввести причинний закон, в першому випадку за допомогою зменшення дисперсії в змінних, що характеризують початкові умови. Обчисливши цю межу, ми вводимо наступний спосіб вираження: якби тілу повідомлялося прискорення в точній згоді з яким-небудь математичним умовою, то воно потрапило б точно в центр мішені. Але якщо сказати, що «матеріальна точка має деяке значення швидкості», то це не буде мати іншого сенсу, окрім затвердження існування межі. Спостерігається швидкість завжди є статистичне середнє з спостережень і не може мати місця в точній причинному законі інакше, як в якості межі. Якщо говорити строго, то потрібно зазначити, що є статистичні закони, які допускають межі; ці закони називаються причинними. З іншого боку, є статистичні закони, на зразок законів, яким підкоряється кидання монет або витягування жереба, що не допускають меж. Міркуючи таким чином, ми повинні пам'ятати, що у всіх цих доказах ми приймали як само собою зрозуміле, що явища, про які йде мова, підкоряються законам, які можуть бути виражені в термінах деяких конкретних змінних, положень і швидкостей. Якщо ми візьмемо більш загальні явища, начебто соціологічних, біологічних чи психологічних, то можна говорити про «закони» тільки в тому випадку, якщо ми також визначимо, для яких ^ змінних повинні існувати причинні або статистичні закони. Якщо ми описуємо гру з киданням монет, розглядаючи в якості змінної частоту випадання «орла», то це буде причинний закон. З процедури кидання слід з достовірністю, що частота випадання «орла» становитиме 'Л>.
|
||
| « Попередня | Наступна » | |
|
|
||
Інформація, релевантна "4. Причинний закон і статистичний закон" |
||
|
||