6. Сфера абсолютної надійності

Традиційна парадигма обгрунтування математики висуває на перший план структурний (формальне) подання математичної теорії як єдино відповідне точної постановки проблеми обгрунтування та доказового її вирішення. Ця парадигмі, визначена філософією початку XX століття, яка приписувала надійність тільки формальному обгрунтуванню. В даний час ми поступово усвідомлюємо обставина, що формальна теорія пторіч-на по відношенню до змістовної, оскільки вона може приймати тільки ті факти, які обгрунтовані з змістовної точки зору. Формалізація теорії не вносить у теорію ніякої додаткової істинності і ніякої додаткової надійності і досить очевидно, що несуперечність формалізованого представлення у всіх випадках, в яких вона фактично має місце, є лише наслідок гармонізації теорії на змістовному рівні.

Метою обгрунтовуючих міркувань, зрештою, є обгрунтування надійності змістовних математичних теорій. Безсумнівно, що там, де досягається суворе логічне (метатеорію-тичні) обгрунтування несуперечності формалізованого обчислення, воно може вважатися повним обгрунтуванням відповідної змістовної теорії, що гарантує відсутність протиріч в її основних твердженнях. Логіка обгрунтування полягає тут у переході від несуперечності формальної моделі до несуперечності змістовного аксіоматичного уявлення теорії. Суть системного підходу полягає в тому, що він націлений безпосередньо на обгрунтування несуперечності змістовних аксіоматичних систем. Ми виводимо тут факт несуперечності теорій з аналізу логіки їх розвитку і прагнемо сформулювати ознаки її логічної надійності без звернення до властивостей формалізованої моделі теорії.

Якщо наведені міркування вірні, то потрібно визнати, що всі основні теорії сучасної математики незалежно від можливостей їх логічного аналізу є істотно несуперечливими і абсолютно несуперечливими в рамках їх систематичного аксіоматичного подання. Це відноситься в даному випадку не тільки до центральних теоріям математики, таким, як аріф-МЕТИК, геометрія і алгебра, але і до таких теорій, як теорія ймовірностей, топологія і теорія множин, в її визнаних аксіоматичних виставах.

Вище було наведено аргументи за несуперечливість теорії множин, що спираються на онтологічну значимість її основних аксіом. Системний аналіз дає нам більш переконливий підхід до вирішення цієї проблеми, який спирається на факт стабільності її аксіом. Теорія множин (це відноситься принаймні до найбільш вживаним і практично використовуваним її уявленням) є, з системною точки зору, не менш надійною, ніж будь-яка інша теорія сучасної математики, що має визнану аксіоматику.

Вся історія розвитку теорії множин пов'язана з сумнівами в її коректності. На початку XX століття, після того як Цермело представив перший варіант аксіоматичної уявлення теорії множин (1908), Пуанкаре писав: «Автор думав уникнути найбільш істотних парадоксів, заборонивши собі всякі спекуляції за межами повністю замкнутого Menge; він думав уникнути парадоксу Рішара, не ставлячи ніяких питань, крім дефінітних, що по тому змісту, який він вкладає в цей вираз, виключає всяке розгляд об'єктів, які можуть бути визначені кінцевим числом слів. Але якщо він добре замкнув свою кошару, то я не переконаний, що він не замкнув туди і вовка »14. Та ж думка звучить і у висловленні Г. Вейля, яке було зроблено через чотири десятиліття: «... У нас немає гарантій несуперечності Z, - пише Вейль, - за винятком того емпіричного факту, що досі з неї не виведено ніяких протиріч »15. Твердження того ж типу ми знаходимо і в сучасних книгах з математичної логіки. Загальний сенс їх полягає в тому, що хоча в рамках визнаних аксіоматикою теорії безлічі не виведено ніяких протиріч, у нас немає повної гарантії, що це не відбудеться в майбутньому.

В рамках логічної парадигми, зорієнтованої на фінітного обгрунтування несуперечності, всі ці висловлювання є безсумнівно вірними. У нас немає строгого логічного обгрунтування теорії множин, а отже, немає і повної гарантії непоявленія нових протиріч в її рамках. Наведені висловлювання фіксують один і той же логічний факт і в цьому сенсі є однаково істинними. З системної точки зору, яка включає в розгляд фактор часу і механізми самообоснованія, ми повинні по-новому подивитися на ці твердження і розділити їх за ступенем виправданості. Висловлення Пуанкаре є безсумнівно обгрунтованим, оскільки воно було зроблено в момент первісного оформлення теорії множин, коли ймовірність появи нових парадоксів була дуже великою. Висловлення Вейля мало з цієї точки зору менше підстав, оскільки до сорокових років XX століття система аксіоматика теорії множин вже достатньою мірою продемонструвала свою повноту і коректність. Сучасні висловлювання про можливу появу нових протиріч в аксіоматичної теорії множин, будучи допустимими в контексті логічного обгрунтування, представляються методологічно невиправданими, бо вони не враховують факту стабільності основних аксіоматикою теорії множин, який виключає появу в ній будь-яких нових типів протиріч. Теорія множин задовольняє всіма ознаками несуперечності змістовної математичної теорії і з системної точки зору може бути поставлена під сумнів у цьому відношенні не більше, ніж арифметика або елементарна геометрія.

З цієї точки зору є необгрунтованими спроби накладення обмежень на внутрішні визначення теорії множин з метою збільшення логічної надійності її висновків. Такого роду проекти намічалися на початку XX століття Лебегом, Борелем, Лузіним та іншими математиками. Лузін вважав, що поряд з ефективними поняттями теорія множин містить в собі поняття, не мають реального наповнення і не виправдані теорією, незважаючи на їх прийнятність в чисто логічному відношенні. «Сучасний стан теорії множин переконливо доводить, - писав Лузін, - наскільки важливо встановити точне розмежування між математичними сутностями, які розглядаються як існуючі, та іншими, реальність яких лише удавана» 16. Виходячи з цієї установки, Лузін заперечував законність використання в теоретико-множинних доказах деяких типів проективних множин. Тут ми бачимо прагнення обгрунтувати математичну теорію на основі подання про деяку реальності. Ідея полягає в тому, що поняття рахункового безлічі ближче до реальності і тому більш надійно в логічному відношенні, ніж поняття безлічі більш високої потужності або проективні множини. Системне розгляд повністю відмовляється від такого роду отражательного, квазіемпіріческого тлумачення надійності математичної теорії. У математичній теорії, центр якої вже сформований, тільки сама система може вказати межі узагальнення своїх понять і межі їх абстрактності. Ідея реальності важлива для розуміння вихідних уявлень математики, але вона не може бути обмежувачем для внутрішніх визначень математичної теорії.

З цієї точки зору повинна бути відхилена интуиционистская критика теорії множин, яка виходить їх факту неконструктивності і невизначеності поняття множества17. Наші аргументи проти цієї критики засновані в даному випадку не на реабілітації закону виключеного третього, а на представленні про системність теорії множин, яка своїм тривалим існуванням в якості практично несуперечливої системи виправдовує одночасно і загальне поняття множини і укладену в ній систему логічних принципів.

Системне розгляд виключає можливість критики математичної теорії на зрілої стадії її існування, спрямованої на спростування або коригування її вихідних принципів. Прикладом такого роду безсумнівно помилковою критики є що з'явилася недавно ціла серія виступів, націлена на спростування канторовской теореми про потужність множини всіх підмножин і пов'язаної з ним канторовской діагональної процедури. Автори ставлять своїм завданням показати, що при доказі цієї теореми Кантор допустив логічну некоректність, використавши тільки одну (внутрішню) інтерпретацію логічного заперечення і залишивши в стороні іншу (зовнішню) його інтерпретацію, що дозволяє дійти іншого виводу18. Не потрібно вдаватися в розбір логічних аргументів, щоб зрозуміти несумісність цього висновку з логікою системної детермінації математичних понять. Поняття численної безлічі не можна усунути з теорії множин вже тому, що воно там існує і ефективно функціонує протягом тривалого часу. Якщо поняття входить в центр теорії і затверджується в цьому центрі в якості діючого і необхідного для доведення теорем, то цей факт є абсолютним обгрунтуванням його логічної коректності.

Можна порівняти проблему обгрунтування математики з проблемою побудови максимально стійкої цегляної вежі. Перша стратегія могла б складатися тут у тому, щоб встановити ідеально горизонтальне підставу вежі і зводити її шар за шаром, уважно стежачи за геометричною формою кожної цеглини і за ідеальною рівномірністю шару цементного розчину, що скріплює ці шари. Це важка стратегія, але, в принципі, вона може забезпечити вертикальність вежі до досить пристойною її висоти. Інша, більш реальна стратегія полягає в тому, щоб піклуючись наскільки це можливо про горизонтальності фундаменту і про форму цеглин, одночасно коригувати процес спорудження допомогою спостереження з боку. Робота математиків початку XX століття з обгрунтування математичних теорій дуже сильно збігається з першим стратегією: вони були зайняті переважно обговоренням аксіом і визначень, вони хотіли знайти ідеальні форми, які будучи покладені в основу теорії безумовно забезпечили б її логічне досконалість. Суть системного аналізу полягає в тому, щоб звернути увагу на необхідність зовнішніх критеріїв. Визнаючи важливість логічного аналізу правил введення нових понять, ми повинні розуміти, що наша основна боротьба з парадоксами полягає не в посиленні системи цих оберігають правил (ця система швидше за все нескінченна), а у виявленні сфери математичного мислення, свідомо вільного від парадоксів на основі зовнішніх (якісних) ознак, які демонструють системну зрілість теорії.

Ми повинні погодитися зі скептиками в тому, що суперечності непереборні із змістовних математичних теорій і що не існує ніякого набору логічних пересторог, що гарантують несуперечливість математичних міркувань. Аналіз логіки розвитку математичної теорії, однак, дозволяє нам наполягати на суттєвої несуперечності всякої досить зрілою математичної теорії і на абсолютній несуперечності всієї системи висновків, які охоплюються стабільними аксіоматикою. Ця остання обставина дозволяє вважати, що положення про суворість математики і про можливість її абсолютного обгрунтування зберігають сенс, незважаючи на відсутність логічних критеріїв несуперечності для більшості математичних теорій.

Основний недолік філософії математики XX століття полягав у тому, що при розгляді проблеми обгрунтування вона не вийшла за рамки логічних уявлень і висновку, досягнуті в цій вузькій сфері, звела в остаточне вирішення проблеми. Замість того, щоб зрозуміти природну обмеженість логічного аналізу і подивитися на ті обставини, які залишаються за його межами, філософи у своїй більшості зайнялися методологічної інтерпретацією логічних теорем, перетворивши їх на деяку релятивістську метафізику, заперечливу достовірність і надійність математичного мислення. Тим часом сам той факт, що всі протиріччя, досі з'явилися в математиці, були суто зовнішніми і ніколи не ниспровергали визнаних теорій, говорить про наявність внутрішніх механізмів гармонізації математичного мислення, чи не описуваних в рамках логіки. Ясно, що проблема обгрунтування математики не може бути вирішена без обліку цих механізмів.

 Системний погляд на розвиток математики приводить нас до філософії математики, яка відновлює розуміння математики як строгої науки. Методологічна ірраціональність математики, що складається у відсутності алгоритмів усунення парадоксів і універсальних методів логічного обгрунтування математичних теорій, що не суперечить з цієї точки зору ідеї абсолютної надійності визнаних математичних теорій. Обмеженість логічних підходів до обгрунтування математики розглядається з цієї точки зору як тільки неадекватність цих підходів, але не як свідчення ненадійності чи невизначеності математичного мислення. 

 Інформація, релевантна "6. Сфера абсолютної надійності"

1. Глава восьма. ТЕОРЕТИЧНІ ПИТАННЯ РОСІЙСЬКОЇ ДЕРЖАВНОСТІ
     Виникнення Російської держави. Різні типи і форми держави в історії Росії. Поняття російської державності, основні характеристики. Соціально-політичні та ідеологічні передумови виникнення Радянської держави. Етапи розвитку радянського суспільства і Радянського дер-жави. Радянська форма правління та її еволюція на сучасному етапі. Основні зовнішні та внутрішні
   
2. Глава п'ятнадцята. ПРАВОВІ ВІДНОСИНИ
     Правові відносини як форма суспільних відносин. Правові норми і правові відносини. Зміст і види правовідносин. Суб'єкти правовідносин та їх характеристика. Об'єкти правовідносини та їх характеристика. Юридичні факти. Становлення права як соціальної нормативно-регулятивної системи, як цілісного соціального інституту на рубежі III-II тисячоліття до н.е. прицілі до корінних
   
3. ЕВОЛЮЦІЯ ДУХОВНОГО ДОСВІДУ
     Проблема еволюції духовного досвіду - це не стільки проблема вибудовування різних його форм в хронологічному порядку їх появи (що взагалі навряд чи можливо), скільки класифікація різних типів ставлення людини до духовної реальності, спадкоємність між якими повинна отримати поряд з логічним обосонованіем духовне пояснення. Типологізацію форм духовного досвіду можна
   
4. 1.3. «Нова» політична географія: витоки, проблематика, теорія
     Витоки і проблематика Черговий виток у розвитку мі-ровой політичної географії значною мірою став відповіддю на безпрецедентну інтенсифікацію потоків товарів, людей, капіталів, інформації, енергії, забруднювачів природного середовища між країнами. Різко зросла їх взаємозалежність. В результаті жодне навіть найбільш потужна держава вже не може контролювати всі джерела впливів на
   
5. VI. Чого очікувати в XXI столітті
     Вже ясно, що постіндустріальний світ не омине Росію, хоча навряд чи його чекає тут тріумф. Якщо не трапиться черговий національної катастрофи, число російських користувачів Інтернету, нині становить близько 1 млн осіб (дані ніким не перевірені), дещо зросте, але все одно їх буде мізерно мало в порівнянні з числом користувачів в розвинених постіндустріальних країнах, відставання від
   
6. НЕНАВИДІТИ ЗЛО ЗАРАЗ МАЛО ...
     Час від часу за кордоном з'являються роботи, автори яких намагаються довести, що російська література радянської епохи розвивалася поза зв'язку з світовою культурною процесом. Так, у книзі американського літературознавця Н.Ржевского «Російська література та ідеологія» стверджується, що після революції радянська література втрачає зв'язок з класичною традицією, що вона нехтує духовними питаннями
   
7. 1. Голографічна тріада: мікро-, макро-і мегаеволюція людини
     Оскільки еволюція біосфери закономірно переростає в еволюцію ноосфери (людини), остільки вивчення біосфери буде неповним без розгляду еволюції ноосфери. Включення еволюції людини цілком логічно, якщо ми хочемо охопити життя в її цілісності. Еволюція людини - кучерява і найскладніший етап в розвитку життя взагалі. Він включає в себе всі попередні етапи еволюції життя. Людина
   
8. 4.5. «З психології суспільства. Статті »(1901-1904)
     Збірник об'єднує шість статей, напісанпих в різний час. Тематика їх відрізняється між собою, але теми чотирьох з них найбільш відповідають загальному назвою збірки. Тому ми і зупинимося тільки на цих чотирьох. Перша стаття «Що таке ідеалізм?» (1901) є відповіддю на статтю М. Бердяєва «Боротьба за ідеалізм», спрямованої проти ідей еволюціонізму. Тут А. А. Богданов розкриває своє
   
9. Термінологічний словник
     Автономія особистості - відособленість особистості, її здатність до самовизначення своїх позицій. Як загальний принцип людської поведінки автономія особистості була проголошена Мартіном Лютером в його визнанні: «На тому стою і не можу інакше», а теоретично досліджена І. Кантом («Автономна етика»). Автономію особи Кант пов'язував не з свободою особистості від зовнішніх впливів, а з
   
10. ПОЧУТТЯ РЕАЛЬНОСТІ
      «The Sense of Reality» (9 Isaiah Berlin 1996 I Коли люди, як іноді буває, переймаються відразою до часу, в якому живуть, а до якогось періоду в минулому - безоглядної любов'ю і захопленням, і стає очевидним, що вони, будь у них можливість вибору, воліли б жити тоді, а не тепер; коли, слідом за цим, вони прагнуть ввести у своє життя звичаї і порядки з цього
    
11. Література і примітки
      Введення 1. See: Husserl Є. The Origin of Geometry / / In: Husserl E. The Crisis of European Sciences and Transcendental Phenomenology. Northwestern University Press, Evanston, 1970 P. 377. 2. Grassmann H. Die Ausdehnunglehre. Gesammelte Mathematische und Physicalische Werke, Band 1, Theil 1, Leipzig, 1894. S. 22. 3. Див: Гільберт Д. Вибрані праці. Т. 1. М., 1998. С. 461-462. 4. Кант І.
    
12. 2. Неминучість стабілізації
      Позиція фаллібілізма помилкова не тільки тому, що кордони можливостей логічного обгрунтування ще далеко не визначені, але перш за все тому, що вона базується на використанні емпіричних схем за межами їх істинності. Спорідненість математичних теорій теоріям емпіричним в сенсі генезису їх принципів не є достатньою підставою для висновку про однаковому статусі цих
    
13. 4. Вихід за межі фінітізма
      Ми виходимо тут з тотожності онтологічної істинності і об-грунтовної значущості математичних суджень ^ припускаємо, що всяка надійна метатеорія міститься в системі онтологічно істинної математики, і всяка онтологічно справжня система принципів може виступати в якості бази абсолютного і гранично надійного обгрунтування математичної теорії. Визначення метатеоріі в рамках
    
14. 2. «Так чи знаєте Ви, що таке Росія?»
      Проблема держави, форми політичної влади, характер взаємини його з суспільством в цілому та окремими його складовими сьогодні знову в центрі наукових суперечок. Стосовно до Стародавньої Русі це проблема походження держави та її назви, а також статусу російських князів. У сучасній вітчизняній історіографії звернуто увагу на принципову відмінність і незалежність питань
    
15. 1. Національний характер
      До недавнього часу в історичній, філософській і взагалі в гуманітарній науці проблема національного характеру не ставилася. У радянський час панувала ідея інтернаціоналізму, а в застійний період - теорія нової історичної спільності, об'єднаній поняттям «радянський народ». Такий ідеологічний підхід передбачав пошуки уніфікує тенденцій у житті населення СРСР на противагу
    
16. 2. Арбітражна угода
      В основі функціонування міжнародного комерційного арбітражу лежить арбітражна угода сторін спору. Арбітражна угода - це угода сторін про передачу до арбітражу всіх або певних спорів, які виникли або можуть виникнути між ними у зв'язку з будь-яким конкретним правовідносинами, незалежно від того, мають вони договірний характер чи ні (п. 1 ст. 7 Закону 1993 р.).