5. Практична несуперечливість математичної теорії

Будемо називати математичну теорію зрілої або практично несуперечливої, якщо вона має неразрушими фрагмент, достатній для виправдання повної системи аксіом, а отже, і для обгрунтування всього безлічі її тверджень. Зрілість теорії в цьому сенсі не тотожна її аксиоматическому поданням. Становлення визнаної аксіоматики являє собою тривалий процес, що залежить від багатьох факторів, внаслідок чого між початковим етапом становлення теорії, на якому вона тільки оформляє свої принципи, і останнім етапом, на якому вона отримує адекватне аксіоматичне уявлення, є тривалий етап її існування, коли вона, вже маючи достатню систему істинних тверджень, ще не має повного логічного оформлення на основі визнаної системи аксіом. Протягом усього цього періоду ми маємо тут справу зі звичайною математикою, яка виходить з істинних принципів, але яка не націлена на прояснення цих принципів і їх спеціальне дослідження.

Це стан теорії можна назвати станом істотної несуперечності, оскільки такого роду зріла теорія, не будучи гарантована від протиріч в своїх похідних визначеннях, проте є гарантованою від переворотів, що усувають досягнуті результати, що належать до центру теорії .

У логічному відношенні це стан теорії може бути визначено через розрізнення глибоких і поверхневих протиріч. Будемо називати математичне протиріччя глибоким, якщо воно здатне привести до відмови від аксіом або деяких інших визнаних тверджень математичної теорії, і назвемо його зовнішнім або поверхневим, якщо воно.

Неважко бачити, що розвиток будь-якої математичної теорії неминуче приводить її до стану суттєвої несуперечності, задовго до її аксиоматизации та формалізації. Сумніви з приводу того, чи була геометрія суворої до Гільберта, звичайно, неуместни12. Математики, що доводять геометричні теореми в часи Евкліда, мислили зовсім строго, бо замість справжніх аксіом вони посилалися на безумовно справжні теореми, без визнання яких ніяка аксіоматика неможлива. Теорія ймовірності досягла дуже високого рівня розвитку, перш ніж Колмогорову вдалося вказати для неї адекватну систему аксіом. Ясно, що і доаксіоматіческое розвиток був тут внутрішньо строгим. Обговорення основ теорії ймовірностей Борелем, Бернштейном і Мізесом стосувалося інтерпретації поняття ймовірності, але не ставило під сумнів будь-яких теорем, складових її основу. Незруйновність центру математичної теорії є основним законом розвитку математичної теорії і ця обставина дає вичерпне розуміння того факту, що виникнення парадоксів в математиці несуттєво для її розвитку та для її застосування, якщо воно обмежується використанням визнаних тверджень теорії.

Системне розуміння математичної теорії, таким чином, обгрунтовує як абсолютну несуперечливість аксіоматизована теорії, так і практичну несуперечливість звичайної Доакс-оматіческой теорії. Ця остання обставина не менш важливо, ніж перше, бо воно дозволяє нам зрозуміти надійність математики в її додатках і витоки неколебимой віри в математику як строгу науку, незважаючи на наявність парадоксів і відсутність ясних методів їх усунення. Переважна кількість протиріч, які коли-небудь з'являлися в математиці, були поверхневими в тому сенсі, що вони не приводили до усунення будь-яких теорем або принципів теорії.

Філософія математики початку XX століття явно перебільшувала небезпеку парадоксів, вбачаючи в них загрозу самому існуванню математики. Гільберт, як відомо, розглядав парадокси як методологічну катастрофу, що підриває довіру до науки. Де ж шукати істину, запитував він, якщо сама математика дає осічку? 13 Причина такої реакції полягала, безсумнівно, у відсутності системного бачення теорії, в недостатньому розумінні того факту, що стійкість математичної теорії створюється не аксіомами, а формуванням її центру, яке робить все протиріччя периферійними і несуттєвими. Хоча звичайне змістовне міркування не гарантоване від появи протиріч, ці протиріччя не несуть ніякої небезпеки для основ теорії і повинні розумітися лише як момент становлення її нових понять.

Математична теорія в процесі свого розвитку отримує абсолютну обгрунтування в тому сенсі, що твердження, що належать до її центру, не можуть бути переглянуті на основі її подальшого розвитку. Це відноситься до будь-який досить зрілою математичної теорії, незалежно від ступеня її аксиоматизации. На відміну від емпіричної теорії контрприклади у змістовній математичної теорії не зачіпають її підстав і змісту, що відноситься до її центру. У своїй критиці математичної строгості Лакатос упускає це істотна відмінність між двома типами знання, приписуючи математичним парадоксів силу емпіричних контрприкладів, якої вони насправді не володіють.

Інформація, релевантна " 5. Практична несуперечливість математичної теорії "

1. 1. Витяги з теорії імен і понять, необхідні для обговорення проблем наукової метафізики
   практично кожен знає, - пише він, - які істоти називаються словом "людина", що означає "хвороба", "продуктивність праці" та т.д. Однак інтуїтивне вживання терміну, - продовжує Войшвилло, - виявляється недостатнім в деяких особливих ситуаціях, коли потрібно, наприклад, довести або спростувати твердження, що деякі предме-ти чи явища відносяться саме до того класу
   
2. 1. Позитивна метафізика не має в межах теоретичного розуму предметної області
   практичний розум ". Теоретичний розум - це розум, що оперує об'єктивно непорожніми поняттями, тобто поняттями, в обсязі яких мисляться реально існуючі об'єкти (сутності) . Практичний розум - це розум, що оперує поняттями, непустоту обсягу яких постулюється практичною доцільністю в життєдіяльності людей. У теорії онтологічного існування об'єктів (сутностей),
   
3. 5. Реальні норми науковості для позитивної теоретичної метафізики. Знання і віра. Місце віри в системі знання
   практичної діяльності в світі. Це також підвищує авторитет віри як в менталітеті окремих людей, так і в менталітеті різних спільнот, включаючи релігійні громади та етико-культурні спільності. Найголовніше , на мій погляд, - для людей, що не мають в якості головної життєвої цінності пошук істини і не володіють певним рівнем культури мислення, втрата наявної віри рівносильна
   
4. Когнітивне напрямок в дослідженнях аттитюда
   практичного вивчення. Для теорії когнітивного дисонансу не було запропоновано жодної альтернативної теорії, проте завдяки їй багато ідей отримали життя »(Веm, 1967). Так, зокрема, Чарльз Осгуд припускає, що дисонанс в системі установок індивіда виникає і залежить перш всього від інтенсивності відносин слухача до об'єкта і коммуникатору. Осгудом і його колегами для вивчення
   
5. «Механізм» вибору можливостей навколишнього світу і екологічний компонент соціальної установки
   практично у всіх світових релігіях, крім ідей П'єра Тейяр-де Шардена і Вернадського, існує і новий, дуже важливий компонент: індивід і світ пов'язані екологічно, тобто пов'язані особливостями свого існування. «Переробка світу - це дуже ефективний спосіб переробки поведінки; можливість переробки індивіда в ситуації постійного світу вкрай сумнівна. Ніяка зміна не матиме
   
6. Криза математики на початку XX століття
   практичних потреб, саморозвивається і самодетермінірующаяся область знання, зовнішні (психологічні, культурні, соціальні ^) причини для якої є важливими, але не визначальними. ' Іншою причиною невдач робіт в області обгрунтування математики можна назвати відсутність ясного розуміння, що таке математична нескінченність. Основний результат, до якого зазвичай приходять в
   
7. Вклад Олександра Олександровича Любищева в науку про самоорганізацію
   практичної систематиці все більше проявляється прагнення звільнитися від вантажу филогенетических гіпотез як основи для виділення природних таксонів. У цьому напрямку Любшцев виділив три типи. Перший - нумеріче-ський тип, в якому всі ознаки мають апріорно рівний класифікаційний вагу і природна система будується чисто індуктивно. Недоліком цього підходу він вважав зв'язок зі складною
   
8. Термінологічний словник
   практично ефективних прийомів організації попереднього та судового слідства, система прийомів ефективної взаємодії слідчого (судді) з різними учасниками судочинства. Криміналістична характеристика злочинів - узагальнення типових ознак і особливостей різних видів пре-580 Термінологічний словник ступленій, знання яких визначає ефективні
   
9. НАЦІОНАЛІЗМ. Вчорашнє упущення і сьогоднішня сила
   практично усіма, за винятком прихильників династичних багатонаціональних імперій на зразок Російської, Австро-угорської чи Турецької, а також прихильників імперіалізму, соціалістичного інтернаціоналізму, анархістів і, ймовірно, деяких католиків ультрамонтанского толку. Більшість політичних мислителів відкрито або мовчки брали подібний стан за неминучу фазу в організації
   
10. Введення
    практичної природі пізнання. Розуміння практики як глибинної основи пізнання, його найвищого стимулу і вищого критерію істини є найважливішим завоюванням теорії пізнання XIX століття. Колишні філософи міркували про досвід і про розум як про джерела істини, але вони або не ставили питання про функції знання або давали на це питання самі фантастичні відповіді. Ще Л. Фейєрбах пояснював розвиток науки
    
11. Висновок
    практичної детермінації універсальних структур свідомості, не усвідомлює належною мірою тієї обставини, що система вищих ідеалізацій свідомості визначена телеологією мислення, що світ предметів і предметних розмежувань створюється не досвідом і не внутрішньою активністю свідомості, а процесом практичного зміни реальності і що саме ця практична інстанція забезпечує сприйняття світу
    
12. 2. Захист фінітізма
    практичної нескінченності кінцевих чисел натурального ряду і спробував обгрунтувати на цьому припущенні несуперечливість системи аксіом теорії множин у формі ZF56. Ця теорія відмовлятися не тільки від актуальної, але і від потенційної нескінченності, замінюючи її поняттям практично нескінченного, яке, по суті, є іншим найменуванням для невизначеного кінцевого. А.С. Кузічев
    
13. Предметний покажчик
    практична 205 Граматика - основа логіки 92 - основа теорії значень 92, 93 Діяльність - мета мислення 42, 43 - основа універсальних норм 43 Доказ 219 - завершене 28 - достовірне 28 - конструктивне 183, 184 - змістовне 283 - формальне 18 Достовірність 40 Індукція - повна 177 - трансфинитное 207 Інтуіціонізм 186 Істина - гносеологічна 98 -
    
14. 3. Кантовский інтуіціонізм
    практичного побудови і обгрунтування математики. Близьке до цього побудова підстав математики було намічено Г. Вейлем в його книзі «Континуум» (1917). Надійне уявлення математики має виходити, по Вейлю, з прийняття безперечного екзистенціального регіону, щодо якого у нас немає сумнівів в існуванні відносяться до нього об'єктів та первинних властивостей. Всі інші об'єкти та
    
15. 4. Вихід за межі фінітізма
    практичне розуміння математичного мислення. Математика для Гільберта - чи ж не шахова гра, а знаряддя пізнання світу; внаслідок чого її адекватне обгрунтування має бути обгрунтуванням всіх його практично визнаних методів. Звідси виникає у Гільберта установка на збереження всієї працюючої математики. обгрунтовуючих сумнів у нього, також як і у Декарта, має тільки методологічний
    
16. 6. Сфера абсолютної надійності
      практично використовуваним її уявленням) є, з системною точки зору, не менш надійною, ніж будь-яка інша теорія сучасної математики, що має визнану аксіоматику. Вся історія розвитку теорії множин пов'язана з сумнівами в її коректності. На початку XX століття, після того як Цермело представив перший варіант аксіоматичної уявлення теорії множин (1908), Пуанкаре
    
17. . Критика філософських аргументів
      практичною цінністю знання. З цієї точки зору логіка універсальна, оскільки її внутрішня структура не пов'язана з будь-яким конкретним досвідом і з емпіричними підрозділами взагалі. Закони логіки є ідеально нормативними в тому сенсі, що вони йдуть від належного, від ідеальних завдань знання, але не від його реального стану. На цьому, власне, заснований і сам механізм дії
    
18. 1. Проблема прихованих суперечностей
      практично не можуть бути виявлені внаслідок несумірності цієї кінцівки з людськими ВОЗМОЖНОСТЯМІ3. В історичному розвитку математичної теорії ми, починаючи з деякої системи тверджень середньої складності, рухаємося у двох напрямках: у бік обгрунтування нових, складніших тверджень і в сторону редукції даних тверджень до простішим. Можна позначити ці
    
19. 3. Редукція прихованих суперечностей до доступним для огляду
      практично усуненими в процесі її становлення. Припустимо, що система аксіом суперечлива в тому сенсі, що щодо деякого похідного об'єкта в теорії можна довести одночасно як Р (а), так і не-Р (а). Інакше кажучи, ми розглянемо той випадок, коли суперечливість системи аксіом виявляється через явне зіткнення деяких теорем. Якщо об'єкт (а) використовується без