Головна
Аксіологія / Аналітична філософія / Антична філософія / Антологія / Антропологія / Історія філософії / Історія філософії / Логіка / Метафізика / Світова філософія / Першоджерела з філософії / Проблеми філософії / Сучасна філософія / Соціальна філософія / Середньовічна філософія / Телеологія / Теорія еволюції / Філософія (підручник) / Філософія мистецтва / Філософія історії / Філософія кіно / Філософія науки / Філософія політики / Філософія різних країн і часів / Філософія самоорганізації / Філософи / Фундаментальна філософія / Хрестоматії з філософії / Езотерика
ГоловнаФілософіяФілософія науки → 
« Попередня Наступна »
Пермінов В. Я. . Філософія і підстави математики - М.: Прогресс-Традиція. - 320с., 2001 - перейти до змісту підручника

3. Редукція прихованих суперечностей до доступним для огляду

Наведемо тепер аргументи, що показують, що всі протиріччя в завершеною аксіоматиці є в деякому сенсі осяжними і, отже, практично усуненими в процесі її становлення.

Припустимо, що система аксіом суперечлива в тому сенсі, що щодо деякого похідного об'єкта в теорії можна довести одночасно як Р (а), так і не-Р (а). Інакше кажучи, ми розглянемо той випадок, коли суперечливість системи аксіом виявляється через явне зіткнення деяких теорем. Якщо об'єкт (а) використовується без суворого визначення, то протиріччя можна інтерпретувати як випливає з неіснування об'єкту або з некоректності його визначення. Такого роду суперечності не хитають принципів теорії. Якщо ж виявиться, що всі похідні об'єкти, використані при виведенні протиріччя, введені у відповідності з принципами існування, заданими в аксіомах, то це означатиме, що протиріччя існує в самих аксіомах.

Можна припустити, що ця суперечливість буде виразність у вигляді прямого протиріччя аксіом або їх констітуенти і, таким чином, буде усуненою практично. У деяких теоріях таке положення має. Місце. Це відноситься до всіх розв'язаним теоріям, в яких будь-яке протиріччя зводиться до явного протиріччя в елементарних термінах. У загальному випадку, однак, це невірно. У складних системах аксіом можуть існувати твердження про існування, які будучи інтуїтивно прийнятними і несуперечливими в простих випадках, проте, допускають об'єкти з суперечливими властивостями. Прикладом такого твердження є необмежена аксіома згортання в теорії множин, яка будучи тривіальної у своїй загальній формулюванні, в ряді випадків може бути джерелом суперечливих висновків. Це означає, що тривіалізація швидше приховує протиріччя, ніж виявляє його і, таким чином, вона не може виступати в якості універсального прийому перевірки теорії на несуперечливість.

Чисто логічне міркування зупиняється на цьому положенні, не дуже сприятливому для тези про несуперечності аксіоматики і аксіоматизована теорії в цілому. Методологічний аналіз, однак, вказує тут деякий вихід зі скрути. Ми будемо виходити тут з факту ретротрансляціі математичної істини і з факту кінцевої визначно системи аксіом.

Припустимо, що деяка аксіоматика приховано суперечлива, тобто неявно містить деякі тези ai і А2) не сумісні один з одним. Але це значить, що ми маємо теорію, в якій одночасно реалізуються дві аксіоматичні системи, а саме Г + ах і Г + а2) де Г - сукупність співпадаючих аксіом. Навіть якщо несумісність ах і А2 і факт наявності несумісних підстав в міркуваннях залишаються неусвідомленими, природно допустити, що кожна з цих дедуктивних систем прагне до максимального розгортання своїх наслідків. Чи можемо ми розраховувати на те, що нам вдасться досить довго обійтися без прямого зіткнення цих систем, тобто без отримання явно суперечливих наслідків? Логіка тут нічого не може сказати, бо ситуація не визначена на рівні чисто логічних понять. У відповідності з теорією Я. Хінтіккі існує деяка глибина міркування з?, На якій приховане протиріччя в теорії неминуче стає явним5. У рамках логічної формалізації ми не можемо визначити конкретне значення цієї величини. Методологічний аналіз, однак, дозволяє стверджувати, що необхідна глибина міркування ніколи не може бути занадто великою, що виходить за сферу практичної досяжності.

Насамперед тут потрібно відзначити ту обставину, що різні теорії, визначені на одній системі об'єктів (розглянутий випадок буде саме таким), є ізоморфними у своїй структурі в тому сенсі, що вони говорять про одну й ту ж сукупності об'єктів як вихідних, так і похідних, і ставлять одні й ті ж питання щодо цих об'єктів. Теореми в цих теоріях паралельні в тому сенсі, що для кожної теореми однієї теорії є осмисленим питання про її корелят в іншій. Ми бачимо це, зіставляючи теореми евклідової геометрії та геометрії Лобачевського. Розгортання теорії, яка містить одночасно і аь і А2, неминуче призведе до побудови двох явно розрізняються рядів теорем. Зіткнення цих рядів гарантовано і воно відбудеться не в деякому невизначеному майбутньому, але в природному визначальному шарі теорії, оскільки цей шар в даному випадку повинен містити як теореми, дедуктивно виправдовують систему аксіом Г + ai, так і теореми, що виправдовують Г + Це мають бути явно розрізняються ряди теорем, бо в іншому випадку ми повинні будемо визнати одне з двох: або одна з суперечать аксіом не використовували взагалі, або обидві ці аксіоми дедуктивно еквівалентні. З практичної точки зору перша альтернатива повинна бути відкинута: ми не можемо допустити, що одну з цих аксіом математичне співтовариство обходило як зачаровану у всіх тих випадках, коли вона могла привести до наслідків, явно суперечить следствіям другий аксіоми.

Розглянемо випадок, коли а \ і А2 сформульовані явно і визнані як суперечать один одному і ми паралельно будуємо дві споріднені теорії, а саме, теорії, засновані на аксіоматикою Г + аі і Г + а2. Поява явно суперечать тверджень вже на перших етапах цієї роботи не викликає сумнівів. Ми будемо діяти по простому рецептом: для кожного доказу, що використовує аксіому ai, ми будемо будувати доказ, засноване на аксіомі а2. Очевидно, що вже в числі перших тверджень, а саме, в межах елементарного визначального фрагмента, ми отримаємо неспівпадаючі ряди теорем, бо один з них у відповідності з modus tollens повинен виправдати аксіоматику Г + ai, а інший - аксіоматику Г + а2.

Випадок приховано суперечливою аксіоматики відрізнятиметься від усвідомленого паралельного розгортання двох суперечать один одному теорій тільки ступенем рефлексії, бо в першому випадку ми будемо протягом деякого часу помилково припускати, що маємо справу з єдиною і несуперечливою аксіоматикою. Об'єктивний результат, однак, буде тим же самим: або ми будемо всюди використовувати тільки одну з суперечать аксіом, тобто будемо будувати фактично несуперечливу систему; тоді інша з аксіом буде неминуче виключена процесом мінімізації, або ми будемо використовувати обидва допущення в рівній мірі , тоді отримання явно суперечливих теорем неминуче. Ясно також, що ці протиріччя з'являться вже на першій стадії розвитку теорії, тобто в межах її елементарного визначального шару.

З викладеного випливає, що суперечності 4-го і 5-го типів можливі тільки теоретично. Практично вони не можуть виникнути, бо всі можливі протиріччя системи аксіом виявляються в межах її визначального фрагмента і, таким чином, як практично доступні для огляду вони повністю усуваються на етапі її становлення до рівня завершеності. Це означає, що глибоко приховані і недосяжні протиріччя - не більше ніж методологічні фікції, породжені абстрактностью логічного аналізу. Переходячи від чистої логіки до методології, тобто до дослідження умов фактичного співіснування суперечать тверджень в математичній теорії, ми переконуємося, що це співіснування може носити тільки епізодичний характер. Взаємодія рівнів теорії, тобто редукція теорем до аксіом і аксіом до теорем в кінцевий час видавлює протиріччя з її центру, не роблячи виключення для будь-якого їх типу.

« Попередня Наступна »
= Перейти до змісту підручника =
Інформація, релевантна " 3. Редукція прихованих суперечностей до доступним для огляду "
  1. ГЛОСАРІЙ
    Адамецкі Кароль (1866 - 1933) - закінчив Технологічний інститут у Петербурзі; в лютому 1903, який на місяць раніше Ф . Тейлора, виступив з публічною доповіддю застосування наукового методу у виробництві (в Південно-російському центрі гірничометалургійної промисловості). Адаптація працівника (в управлінні персоналом) - процес пристосування працівника до нового місця роботи (при переході в нову фірму, на
  2. Філософія метаматематики Гільберта
    За допомогою цього нового обгрунтування математики , яке справедливо можна іменувати теорією докази, я переслідую важливу мету: саме, я хотів би остаточно розправитися з питаннями обгрунтування математики як такими, перетворивши кожне математичне висловлювання в піддається конкретному показу, суворо виведену формулу і тим самим привівши освіту понять і висновки, якими користується
  3. РОЗУМІННЯ ПЕРЕЖИВАННЯ У ФІЛОСОФІЇ І ПСИХОЛОГІЇ
    На відміну від пізнавальної діяльності, де смислова сторона є домінуючою, в естетичному, моральному, релігійному досвіді саме переживання грає першорядну роль, так що аналіз цих форм духовного досвіду не може обійтися без дослідження емоцій, почуттів і переживань. Довгий час у філософії та психології панував погляд, згідно з яким у почуттях як
  4. Метод компаративістики.
    Головним у всіх роботах Мюллера була пропаганда порівняльного методу, який він використовував у науці про мову, науці про міфологію, науці про релігію і науці про людському мисленні. Бажаючи підкреслити важливість порівняльного методу для науки, він писав: «Нас запитують, у чому користь порівняння? - Як в чому? Адже всяке вище знання досягається шляхом порівняння і грунтується на порівнянні. Коли
  5. § 3 метафізика-етичний діалог совісті та відповідальності як феномен сенсу життя людини
    Аналіз совісті може базуватися на різних підставах, складаючи зміст натуралістичного, соціального, духовно-світської або духовно-сакрального підходів до дослідження її природи і механізмів. Роль совісті в неметафізіческой трактуванні виявляється суперечливою: з одного боку, совестной акт самоцінна і самодостатній, а з іншого - повинен завершуватися відповіддю людини на почуту
  6. ВИБІР МОДЕЛІ ЕКОНОМІЧНОГО РОЗВИТКУ
    У нашій літературі досить докладно описані помилки і прорахунки, допущені російськими «реформаторами» 'в 1992 -1999 рр.., і міститься в роботах критика в основному справедлива. Але практично ніхто з їхніх опонентів не пише про стан економіки СРСР в середині - другій половині 1991 р. і ступеня керовано сти нею. Тим часом якраз тут найбільш наочно виявлялися наслідки тієї гострої
  7. психографічну творчість Елліни Глазунової
    Дослідники АЯ, зрозуміло, не можуть пройти повз питання про існування потойбічного світу і в міру можливості вивчають факти подібного роду в спробах встановити істину. Доказів можливого існування потойбічного світу не так уже й мало, якщо врахувати тисячі книг і статей на цю тему, написані різними авторами, в тому числі і стародавніми. Багато з них неможливо визнати за містифікацію
  8. Криза державності
    На порозі XXI століття в постіндустріальному світі домінують федеративні / конфедеративні (ЄС) форми державності, інститути та механізми яких дозволяють вирішувати і етнонаціональні колізії, зберігаючи стійкість центральної влади, держави в цілому і зміцнюючи громадянське суспільство через розширення "поля самоврядування ". Наскільки перспективно засвоєння орієнтирів постіндустріальних
  9. « Механізм »вибору можливостей навколишнього світу і екологічний компонент соціальної установки
    Проаналізувавши докладно особливості екологічного підходу Дж. Гібсона і припустивши існування механізму екологічного компоненту в соціальній установці, ми повинні обгрунтувати способи аналізу та вилучення можливостей навколишнього світу механізмом екологічного компоненту. Цей компонент повинен мати здатність аналізу можливостей і вибору можливостей для формування соціальної
  10. Основи феноменологічної редукції
    Прийнято вважати, що поняття «епосі» виникло ще в період античної філософії в руслі так званого скептицизму. Хоча у феноменології багато положень епосі і переглядаються, проте нам видається, що їх базова сутність незмінна. В двотомній зібранні творів свою книгу « Проти вчених »Секст Емпірика починає роботами, які називаються« Дві книги проти логіків ». Через дев'ятнадцять
  11. 2. Мегаеволюція як голографічна тріада: універсальність, діяльність і творчість
    В тривалому процесі формування людини провідними з'явилися біологічні фактори еволюції, головним з яких був груповий відбір - специфічна форма природного відбору, про що вже йшлося. З виникненням людини природний відбір придбав форму стабілізуючого відбору, який став основним біологічним фактором еволюції сучасної людини. Що стосується соціальних факторів
  12.  § 1. Суспільна свідомість. Многокачественность
      суспільної свідомості, його структура, основні елементи, вихідні принципи аналізу Зберігаючи на всіх етапах суспільного життя фундаментальне властивість відбивати суспільне буття, суспільна свідомість водночас є многокачественной освітою. Для пізнання многокачественной суспільної свідомості соціальна філософія використовує відповідні методологічні засоби.
  13.  Висновок
      Проблема обгрунтування математики в сучасній формі була поставлена ??на початку XX століття у зв'язку з появою парадоксів у логіці та теорії множин і містила в собі дві основні завдання: у вузькому сенсі вона полягала в тому, щоб знайти спосіб позбутися від наявних парадоксів, а в більш широкому - знайти загальні принципи побудови математичних теорій, що гарантують їх несуперечливість. У