| Головна |
| « Попередня | Наступна » | |
3. Редукція прихованих суперечностей до доступним для огляду |
||
|
Наведемо тепер аргументи, що показують, що всі протиріччя в завершеною аксіоматиці є в деякому сенсі осяжними і, отже, практично усуненими в процесі її становлення. Припустимо, що система аксіом суперечлива в тому сенсі, що щодо деякого похідного об'єкта в теорії можна довести одночасно як Р (а), так і не-Р (а). Інакше кажучи, ми розглянемо той випадок, коли суперечливість системи аксіом виявляється через явне зіткнення деяких теорем. Якщо об'єкт (а) використовується без суворого визначення, то протиріччя можна інтерпретувати як випливає з неіснування об'єкту або з некоректності його визначення. Такого роду суперечності не хитають принципів теорії. Якщо ж виявиться, що всі похідні об'єкти, використані при виведенні протиріччя, введені у відповідності з принципами існування, заданими в аксіомах, то це означатиме, що протиріччя існує в самих аксіомах. Можна припустити, що ця суперечливість буде виразність у вигляді прямого протиріччя аксіом або їх констітуенти і, таким чином, буде усуненою практично. У деяких теоріях таке положення має. Місце. Це відноситься до всіх розв'язаним теоріям, в яких будь-яке протиріччя зводиться до явного протиріччя в елементарних термінах. У загальному випадку, однак, це невірно. У складних системах аксіом можуть існувати твердження про існування, які будучи інтуїтивно прийнятними і несуперечливими в простих випадках, проте, допускають об'єкти з суперечливими властивостями. Прикладом такого твердження є необмежена аксіома згортання в теорії множин, яка будучи тривіальної у своїй загальній формулюванні, в ряді випадків може бути джерелом суперечливих висновків. Це означає, що тривіалізація швидше приховує протиріччя, ніж виявляє його і, таким чином, вона не може виступати в якості універсального прийому перевірки теорії на несуперечливість. Чисто логічне міркування зупиняється на цьому положенні, не дуже сприятливому для тези про несуперечності аксіоматики і аксіоматизована теорії в цілому. Методологічний аналіз, однак, вказує тут деякий вихід зі скрути. Ми будемо виходити тут з факту ретротрансляціі математичної істини і з факту кінцевої визначно системи аксіом. Припустимо, що деяка аксіоматика приховано суперечлива, тобто неявно містить деякі тези ai і А2) не сумісні один з одним. Але це значить, що ми маємо теорію, в якій одночасно реалізуються дві аксіоматичні системи, а саме Г + ах і Г + а2) де Г - сукупність співпадаючих аксіом. Навіть якщо несумісність ах і А2 і факт наявності несумісних підстав в міркуваннях залишаються неусвідомленими, природно допустити, що кожна з цих дедуктивних систем прагне до максимального розгортання своїх наслідків. Чи можемо ми розраховувати на те, що нам вдасться досить довго обійтися без прямого зіткнення цих систем, тобто без отримання явно суперечливих наслідків? Логіка тут нічого не може сказати, бо ситуація не визначена на рівні чисто логічних понять. У відповідності з теорією Я. Хінтіккі існує деяка глибина міркування з?, На якій приховане протиріччя в теорії неминуче стає явним5. У рамках логічної формалізації ми не можемо визначити конкретне значення цієї величини. Методологічний аналіз, однак, дозволяє стверджувати, що необхідна глибина міркування ніколи не може бути занадто великою, що виходить за сферу практичної досяжності. Насамперед тут потрібно відзначити ту обставину, що різні теорії, визначені на одній системі об'єктів (розглянутий випадок буде саме таким), є ізоморфними у своїй структурі в тому сенсі, що вони говорять про одну й ту ж сукупності об'єктів як вихідних, так і похідних, і ставлять одні й ті ж питання щодо цих об'єктів. Теореми в цих теоріях паралельні в тому сенсі, що для кожної теореми однієї теорії є осмисленим питання про її корелят в іншій. Ми бачимо це, зіставляючи теореми евклідової геометрії та геометрії Лобачевського. Розгортання теорії, яка містить одночасно і аь і А2, неминуче призведе до побудови двох явно розрізняються рядів теорем. Зіткнення цих рядів гарантовано і воно відбудеться не в деякому невизначеному майбутньому, але в природному визначальному шарі теорії, оскільки цей шар в даному випадку повинен містити як теореми, дедуктивно виправдовують систему аксіом Г + ai, так і теореми, що виправдовують Г + Це мають бути явно розрізняються ряди теорем, бо в іншому випадку ми повинні будемо визнати одне з двох: або одна з суперечать аксіом не використовували взагалі, або обидві ці аксіоми дедуктивно еквівалентні. З практичної точки зору перша альтернатива повинна бути відкинута: ми не можемо допустити, що одну з цих аксіом математичне співтовариство обходило як зачаровану у всіх тих випадках, коли вона могла привести до наслідків, явно суперечить следствіям другий аксіоми. Розглянемо випадок, коли а \ і А2 сформульовані явно і визнані як суперечать один одному і ми паралельно будуємо дві споріднені теорії, а саме, теорії, засновані на аксіоматикою Г + аі і Г + а2. Поява явно суперечать тверджень вже на перших етапах цієї роботи не викликає сумнівів. Ми будемо діяти по простому рецептом: для кожного доказу, що використовує аксіому ai, ми будемо будувати доказ, засноване на аксіомі а2. Очевидно, що вже в числі перших тверджень, а саме, в межах елементарного визначального фрагмента, ми отримаємо неспівпадаючі ряди теорем, бо один з них у відповідності з modus tollens повинен виправдати аксіоматику Г + ai, а інший - аксіоматику Г + а2. Випадок приховано суперечливою аксіоматики відрізнятиметься від усвідомленого паралельного розгортання двох суперечать один одному теорій тільки ступенем рефлексії, бо в першому випадку ми будемо протягом деякого часу помилково припускати, що маємо справу з єдиною і несуперечливою аксіоматикою. Об'єктивний результат, однак, буде тим же самим: або ми будемо всюди використовувати тільки одну з суперечать аксіом, тобто будемо будувати фактично несуперечливу систему; тоді інша з аксіом буде неминуче виключена процесом мінімізації, або ми будемо використовувати обидва допущення в рівній мірі , тоді отримання явно суперечливих теорем неминуче. Ясно також, що ці протиріччя з'являться вже на першій стадії розвитку теорії, тобто в межах її елементарного визначального шару. З викладеного випливає, що суперечності 4-го і 5-го типів можливі тільки теоретично. Практично вони не можуть виникнути, бо всі можливі протиріччя системи аксіом виявляються в межах її визначального фрагмента і, таким чином, як практично доступні для огляду вони повністю усуваються на етапі її становлення до рівня завершеності. Це означає, що глибоко приховані і недосяжні протиріччя - не більше ніж методологічні фікції, породжені абстрактностью логічного аналізу. Переходячи від чистої логіки до методології, тобто до дослідження умов фактичного співіснування суперечать тверджень в математичній теорії, ми переконуємося, що це співіснування може носити тільки епізодичний характер. Взаємодія рівнів теорії, тобто редукція теорем до аксіом і аксіом до теорем в кінцевий час видавлює протиріччя з її центру, не роблячи виключення для будь-якого їх типу.
|
||
| « Попередня | Наступна » | |
|
|
||
Інформація, релевантна " 3. Редукція прихованих суперечностей до доступним для огляду " |
||
|
||