Головна
Аксіологія / Аналітична філософія / Антична філософія / Антологія / Антропологія / Історія філософії / Історія філософії / Логіка / Метафізика / Світова філософія / Першоджерела з філософії / Проблеми філософії / Сучасна філософія / Соціальна філософія / Середньовічна філософія / Телеологія / Теорія еволюції / Філософія (підручник) / Філософія мистецтва / Філософія історії / Філософія кіно / Філософія науки / Філософія політики / Філософія різних країн і часів / Філософія самоорганізації / Філософи / Фундаментальна філософія / Хрестоматії з філософії / Езотерика
ГоловнаФілософіяФілософія науки → 
« Попередня Наступна »
Пермінов В. Я. . Філософія і підстави математики - М.: Прогресс-Традиція. - 320с., 2001 - перейти до змісту підручника

4. Механізм ретротрансляціі істинності

Математична теорія визнається математичним співтовариством як існуючої насамперед як система готівки доказів, тобто як система переходів від одних тверджень до інших, задовольняє вимогу аподиктической очевидності. Математична теорія починається з теорем як непорушних внутрішніх зв'язків між об'єктами. Визнання теорем веде до виявлення принципів, які мають своєю метою об'єднати ці теореми на єдиному і мінімальному логічному підставі.

Історичне становлення математичної теорії може бути представлене як взаємовплив і взаімокорректіровка цих двох рівнів математичної теорії. Труднощі у формулюванні аксіом є наслідком невизначеності та суперечливості визначень в тілі теорії і усунення цих протиріч є необхідною умовою становлення адекватної аксіоматики. Перші спроби встановлення принципів диференціального числення виявили, що в основі прийнятих алгоритмів цього числення лежить до-пущених А + а = А, де величина а є відмінною від нуля. Оскільки цей принцип суперечив уявленням про математичної строгості, прийнятим в елементарній математиці, то поступово було вироблено нову підставу математичного аналізу, що базується на понятті межі і дозволяє позбутися такого роду сумнівних припущень. Послідовне розгортання і додаток аналізу, що грунтується на понятті межі, виявило, в свою чергу, недоліки в обгрунтуванні теорем, визнаних раніше доведеними.

Рух аксіоматики до повноти і завершеності - це постійна перевірка теорем через аксіоми (уточнення справжнього змісту теорії та визначеності похідних понять) і перевірка аксіом через теореми, (встановлення завершеності і спільності системи аксіом). Система аксіом, яка на початку свого формування могла містити в собі деякі некоректності, неминуче звільняється від них в процесі свого додатки до системи похідних об'єктів. Тут необхідно взяти до уваги також і той факт, що будь-яка математична теорія розвивається у взаємодії з іншими теоріями і, таким чином, в процесі постійної переінтерпретації своїх тверджень в поняттях інших теорій. Знову з'явилася теорія може містити некоректності у визначенні своїх основних понять, які усуваються в її зіткненні з іншими системами понять. Ейлер, як відомо, вважав можливим визначити операцію множення уявних чисел таким чином, що (ai) (6i) = + ab. Більшість математиків не погодилося з цим, але суперечка була однозначно дозволений тільки після встановлення геометричної інтерпретації комплексних чісел6. Величезне число прикладів свідчить про те, що історичне взаємодія математичних теорій є потужним фактором логічної гармонізації математичного знання і встановлення остаточної системи вихідних визначень в кожній з них.

У загальному плані це звичайна діалектика рівнів і структур, яка має місце в будь теоретичній системі. Її особливість в математиці полягає в тому, що вона забезпечує тут остаточне (абсолютне) обгрунтування вихідної системи принципів.

Тут, очевидно, працює той же механізм досягнення абсолюту в кінцевому просторі можливостей, про який ми говорили при аналізі надійності докази. Ми можемо стверджувати, що завершена аксіоматика є одночасно і абсолютно несуперечлива аксіоматика внаслідок об'єктивної логіки свого становлення.

Скептик може відкидати законність цієї ідеї, вказуючи на те обставина, що перевірка математичної теорії на несуперечливий вость допомогою її додатків завжди має відносний характер. Він може сказати, що вона відноситься найчастіше тільки до деякого фрагменту теорії та що вона відбувається через посилання до теорії, несуперечливість якої є проблематичною. Це заперечення, однак, є істинним лише по видимості. Насправді, ми маємо тут ситуацію, абсолютно аналогічну ситуації, пов'язаної з встановленням надійності доказів. Як і у випадку з доказом, ми вправі припускати тут, що кінцеве число часткових перевірок забезпечує абсолютний результат: сформульована система аксіом або відкидається як суперечлива, або приймається як стабільна і абсолютно коректна. Ці ситуації подібні в тому, що як в тій, так і в іншій ми маємо справу по суті з пошуком необхідного варіанту в кінцевому просторі можливостей. Ми знаємо, що такі ситуації, будучи нерозв'язними теоретично (алгоритмічно), з повною визначеністю дозволяються практично. Корекція підстав математичної теорії відбувається в кінцевий час, і ми фіксуємо її завершення за фактом стабілізації аксіоматики, по відсутності істотно інших варіантів, характерних для етапу її становлення. Факт стабілізації системи аксіом має загальнозначимих характер і може розглядатися в якості достатньої ознаки її несуперечності.

Особлива риса математичних аксіом полягає в тому, що в процесі свого визрівання вони зливаються з фактами, станрвятся логічно рівнозначними цими фактами і отримують можливість бути повністю обгрунтованими на основі фактів. Принципи досвідчених теорій завжди містять в собі гіпотетичний елемент, вони завжди стверджують більше, ніж міститься в пояснювальних ними факти і, в силу цього, ніколи не можуть затверджуватися як необхідні для цих фактів і обгрунтовані на їх основі. Зв'язок фактів і принципів в математиці така, що визнання фактів однозначно вказує нам на систему принципів, необхідних для їх пояснення. Ретротранс-ляция математичної істини безпосередньо виникає з цієї обставини: аксіоми математичної теорії - це не гіпотези в загальнонауковому розумінні, а зв'язку, які у визначенні фактів. Внутрішня діалектика математичної теорії конечна: вона є механізмом ретротрансляціі істинності від фактів до принципів і, таким чином, механізмом абсолютного обгрунтування принципів. Ми можемо говорити тут про ідеальну фактуальной істинності принципів, які досягли стану стабільності та визнання з точки зору пояснення фактів.

Прояснення цього моменту суттєво поглиблює наше розуміння зв'язку між аксіомами арифметики і приватними арифметично-ми твердженнями.

Стверджуючи, що несуперечність аксіом арифметики обумовлена ??їх безпосереднім зв'язком з предметною онтологією, ми кілька огрубляет ситуацію, оскільки відносини предметної онтології фіксуються безпосередньо тільки в сингулярних висловлюваннях типу 2 + 2 = 4. Очевидно, що арифметична аксіоми є вже продуктом деякого уявного акта, який залишається тут в тіні. Розглядаючи цю зв'язок, Гуссерль прийшов до поняття ейдетичних істин, які, виникаючи на основі самоочевидних фактів, є настільки ж достовірними, як і самі факти.

Безсумнівно, що затвердження а + 6 = 6 + ане менш істинно, ніж кожне з тверджень 2 + 3 = 3 + 2, 5 + 7 = 7 + 5і т.д. Ми маємо тут неприйнятну для емпіричних теорій симетрію істинності приватних і родових істин, при якій родові істини не володіють будь относительностью і гипотетичностью по відношенню до приватних. Ми можемо зрозуміти цю ситуацію тільки в плані ретротранс-ляции істинності. Система аксіом арифметики повинна бути зрозуміла як завершена математична теорія, відповідна системі самоочевидних уявлень, виражених в конкретних арифметичних висловлюваннях.

Слабкість теорій Гуссерля полягає в тому, що вона не роз'яснює механізму стабілізації принципів. Які фактори примушують свідомість, що вдаються до фантазії і варіації, зупинятися на певних теоретичних сенсах як абсолютних для даної системи фактів? Концепція Гуссерля не містить скільки-небудь задовільної відповіді на це питання, який є основним для розуміння статусу математичних аксіом. Насправді, ми маємо тут справу лише з механізмом ретротрансляціі істини, обумовленим системністю математичної теорії. Аксіоматика арифметики - це мінімізована, а отже, абсолютна теорія для сингулярних істин арифметики, визначених уявленнями предметної онтології. У своїй теорії ейдетичних істин Гуссерль містифікував механізм ретротрансляціі істини, що має місце в процесі самообоснованія математичних теорій.

Методологічний аналіз дає нам підставу стверджувати, що будь-яка теорія, включена в центр математики і використовувана для розвитку інших теорій, є несуперечливої ??в своїй основі, незалежно від свого змісту і від того, якою мірою це може бути підтверджено строгим логічним аналізом. Діалектичні аргументи дозволяють, таким чином, захищати фактичну несуперечливість математики, існуючу незалежно від можливостей її логічного обгрунтування. Важливо відзначити, що ми виходимо тут за межі логіки не на основі істинності аксіом чи принципів метатеоріі, а на основі істинності фактів і механізму ретротрансляціі істинності. Це більш широку основу для міркувань про несуперечності математичного знання, бо воно в однаковій мірі можна застосувати до будь-якої математичної теорії.

« Попередня Наступна »
= Перейти до змісту підручника =
Інформація, релевантна " 4. Механізм ретротрансляціі істинності "
  1. 2. Конкретність системного підходу
    У певних відносинах, однак, системний підхід конкретніший, ніж логічний, бо він вводить в розгляд істотний момент буття математичної теорії - внутрішню логіку її становлення. Логічне розгляд математичної теорії статично, воно розглядає теорію як дану, поза її історії та механізмів її становлення. При логічному розгляді система тверджень теорії єдина
  2. 6.Крестьянскій або пролетарський соціалізм? (Ідеї, організації, діячі)
    Реальна картина суспільно-політичному житті Росії 60-90-х років XIX в. була до невпізнання перекручена і в історичній науці, і в шкільних підручниках, і в громадській думці. Це відбувалося від того, що революційний рух, революційна боротьба показувалися, по-перше, єдино вірним напрямком суспільно-політичного життя, а, по-друге, превалюючим над іншими напрямками,
  3. 4. Жовтень 1917 (питання методології)
    Жовтневі події 1917 року стали подіями світового значення, але історики ще довго будуть сперечатися і розходитися в їх оцінках. Жовтень 1917 опинився в центрі гострої ідейної та політичної боротьби, що розгорнулася зараз в нашій країні. Більшість дослідників представляє жовтня 1917 революцію * не тільки як найважливіша подія XX століття, відбивало вікові устремління людства до свободи,
  4. 2. Індусгріалізація: здобутки та витрати
    Індустріалізація країни була ключовим завданням будівництва соціалізму в СРСР. У 1946 р. І.В. Сталін, говорячи про корінних відмінностях радянського методу індустріалізації від капіталістичного, назвав одне з таких відмінностей: в капіталістичних країнах індустріалізація зазвичай починається з легкої промисловості, в нашій же країні цей «звичайний шлях» партія відкинула і почала з розгортання важкої
  5. 4. Становлення адміністративно-командної системи і режиму особистої влади І В. Сталіна
    Відмова від економічних методів господарювання, від практики госпрозрахунку означав поворот до адміністративно-командних методів управління. «Штурмові методи» будівництва нового суспільства, методи «кавалерійської атаки» криються не тільки в теоретичних прорахунках керівництва, квапливості Сталіна, бажанні досягти висот соціалізму одним ефективним стрибком. Корінь допущених деформацій лежить в повному
  6. 1. Поняття і класифікація доказів. Предмет доказування
    Основні положення теорії судового доведення, розробленої фахівцями в галузі загальної теорії права, цивільного і кримінального процесів, однаковою мірою застосовні до сфери арбітражного судочинства, оскільки відображають принципові аспекти, пов'язані з діяльністю судів по встановленню фактичних обставин, що мають значення для правильного вирішення справи 1. У юридичній
  7. 1.1. Громадянське суспільство і Армія: політичні, економічні, правові та соціальні правовідносини
    Досліджуючи форми, методи та напрямки реформування силових структур Росії на сучасному етапі розвитку, необхідно відзначити їх производность, вторинність від стану суспільства і держави: форми правління, форми політичного режиму, внутрішньої і зовнішньої політики і т. д., які в свою чергу залежать від стану світової спільноти. Факторів, що впливають на стан і тенденції
  8. § 1. Теоретичне обгрунтування (загальні питання]
    В конкретної дійсності безупинно відбувається незліченну безліч різноманітних людських вчинків. Якщо виділяти всі ті, які представляють значну суспільну небезпеку, а також передбачені кримінальним законом як злочини, а з них, в свою чергу, такі, які передбачаються однієї і тієї ж статтею кримінального закону, то і в цьому випадку в процесі їх пізнання ми
  9.  § 1. Поняття складу злочину
      Відомо, що будь-яке заборонене діяння, що заподіює шкоду особі, суспільству або державі тягне за собою кримінальну відповідальність, прийнято називати злочинним діянням, злочином. При цьому, називаючи скоєне "злочином", важливо не тільки (а можливо, і не стільки) визначити соціально-моральну природу вчиненого, скільки те, які соціально-правові (кримінально-правові) наслідки воно
  10.  § 9. Основні питання причинності в теорії російського кримінального права
      Питання про причинного зв'язку в конкретній кримінальній справі виникає не так вже й часто, оскільки зазвичай причинний зв'язок проявляється безпосередньо, тобто буває очевидною. Однак з вторгненням кримінального права в сферу технічного прогресу, екології, безпеки використання природних ресурсів, хімічних речовин, транспорту та інші сфери людської життєдіяльності, практичні проблеми
  11.  § 8. Поняття помилки та її правове значення
      Здійснюючи злочин, винний не завжди може точно уявити собі розвиток події злочину, причинний зв'язок між діянням і наслідком, а також інші обставини злочину. Не завжди він знає про караності злочину, кваліфікації і терміни покарання. Принцип відповідальності за провину (суб'єктивне поставлення) вимагає оцінки не тільки істинних, але і помилкових уявлень особи про
  12.  43. Визнання та виконання міжнародних арбітражних рішень
      З точки зору правової забезпеченості законних інтересів партнерів у зовнішньоекономічних відносинах, недостатньо виробити ту чи іншу процедуру вирішення спорів і пристосувати її до взаємоприйнятної формі. Якщо рішення, винесене проти того чи іншого контрагента міжнародним комерційним арбітражем, якому цей контрагент заздалегідь підкорився, не могло б бути приведено у виконання,
  13.  матеріали правозастосувальної практики органів прокуратури та других правоохороних інституцій.
      По-друге, за помощью Дії принципом гласності здійснюється контроль Суспільства за діяльністю прокуратури, звічайній, без права посягання на незалежність органів и посадових ОСІБ прокуратури при реалізації ними своих Повноваження. Цею Бік гласності є особливо виразности тоді, коли Громадські об'єднання, засоби масової ІНФОРМАЦІЇ и окремі громадяни мают можлівість вільно и Відверто висловлювати свою
  14.  Глава друга. ПОХОДЖЕННЯ ДЕРЖАВИ
      Первісне суспільство. Влада в первісному суспільстві, організація та форми її здійснення. Перехід від присвоює до виробляє економіці («неолітична революція») як фактор соціального розшарування суспільства, появи класів, власності, держави. Закономірності виникнення держави. Міста-держави. Держава як соціальний інститут, що забезпечує виробляє економіку.
  15.  Глава восьма. ТЕОРЕТИЧНІ ПИТАННЯ РОСІЙСЬКОЇ ДЕРЖАВНОСТІ
      Виникнення Російської держави. Різні типи і форми держави в історії Росії. Поняття російської державності, основні характеристики. Соціально-політичні та ідеологічні передумови виникнення Радянської держави. Етапи розвитку радянського суспільства і Радянського дер-жави. Радянська форма правління та її еволюція на сучасному етапі. Основні зовнішні та внутрішні