Головна
Аксіологія / Аналітична філософія / Антична філософія / Антологія / Антропологія / Історія філософії / Історія філософії / Логіка / Метафізика / Світова філософія / Першоджерела з філософії / Проблеми філософії / Сучасна філософія / Соціальна філософія / Середньовічна філософія / Телеологія / Теорія еволюції / Філософія (підручник) / Філософія мистецтва / Філософія історії / Філософія кіно / Філософія науки / Філософія політики / Філософія різних країн і часів / Філософія самоорганізації / Філософи / Фундаментальна філософія / Хрестоматії з філософії / Езотерика
ГоловнаФілософіяФілософія науки → 
« Попередня Наступна »
Пермінов В. Я. . Філософія і підстави математики - М.: Прогресс-Традиція. - 320с., 2001 - перейти до змісту підручника

5. Обгрунтування несуперечності на основі факту

Особливістю зрілої математичної теорії, як уже сказано, є прямий зв'язок фактів і принципів, при якій факти однозначно визначають систему необхідних принципів. Оскільки істинність фактів в деяких випадках може бути визнана безпосередньо, без звернення до аксіом, то в цих випадках з'являється можливість безпосереднього висновку про несуперечності аксіом на основі їх логічного зв'язку з фактами.

Як приклад ми можемо вказати на зв'язок аксіоматики евклідової планіметрії з теоремою Піфагора. Особливість теореми Піфагора полягає в тому, що її суворе доказ вимагає використання всіх планіметричних аксіом евклідової геометрії. Всі ці аксіоми як би стягуються у факті, вираженому в теоремі Піфагора. Інша чудова особливість теореми Піфагора полягає в тому, що вона може бути обгрунтована у своїй істинності поза аксіоматичного розгортання теорії, на основі аподиктичні очевидних геометричних побудов, які не можуть бути поставлені під сумнів. Але якщо це так, то теорема Піфагора має бути визнана в якості факту, абсолютно виправдовує систему аксіом планіметрії, бо жодна з цих аксіом не може бути усунена або скоригована без відмови від цієї теореми. Систему аксіом планіметрії ми можемо розглядати в цьому випадку як аналітичне розгортання аподиктичні очевидної істини, укладеної в теоремі Піфагора. З логічної симетрії системи аксіом і аподиктичні очевидного факту в даному випадку з переконливістю випливає як завершеність, так і абсолютна несуперечливість системи аксіом планіметрії.

Інший приклад того ж роду ми бачимо в теорії множин.

Ми маємо тут лемму Жордана, яка в двовимірному випадку зводиться до твердження, що замкнута лінія L, яка не має самоперетинів, ділить площину на дві частини, які мають тим властивістю, що ніякі дві точки, що належать до різних частинам не можуть бути з'єднані лінією, не перетинає лінію L. Очевидно, що ця лема фіксує аподиктичні очевидну істину, яка не може бути усунена зі складу геометричних істин, а з іншого боку, ми встановлюємо, що її доказ в теоретико-множинних поняттях припускає використання всіх аксіом теорії множин, в тому числі і аксіоми вибору. Ми знову фіксуємо прямий зв'язок системи аксіом з деяким аподиктичні очевидним фактом, яка доводить як завершеність, так і абсолютну несуперечливість системи аксіом.

Тут слід зауважити, що цей висновок не може бути поставлений під сумнів зазначенням на можливу неадекватність мови теорії множин або на що містяться в ньому некоректності. Яким би не була мова, асиміляційний і обгрунтовує аподиктичні очевидну математичну істину, якщо він показує себе достатньою для цієї мети, він тим самим стверджує себе абсолютно коректним у всьому складі необхідних для цього істин. Це означає, що можливість обгрунтування леми Жордана в рамках теорії множин говорить про абсолютну несуперечності аксіом теорії множин, залучених до це обгрунтування. Цей висновок випливає з факту логічної симетрії теорем і аксіом, внаслідок якої посилки теореми можуть розглядатися як аналітичне розгортання її змісту і, отже, як цілком обгрунтовує в своїй істинності і несуперечності разом з обгрунтуванням теореми.

Теорему Піфагора і лему Жордана у зазначеній її формулюванні слід вважати абсолютно обгрунтованими твердженнями на основі аподиктической очевидності.

Логіка виведення аксіоматики з факту в деякому сенсі застосовна і до аксіоматиці арифметики. Складність полягає тут у тому, що в арифметиці ми маємо справу не з однією аподиктичні очевидною істиною, а з нескінченною кількістю істин, виражених в конкретних арифметичних висловлюваннях. Однак це позірна утруднення. Кант справедливо вказував на те обставина, що нам важлива не очевидність окремих фактів, а очевидність схеми, що породжує ці факти. Нам не дана з очевидністю фігура тисячеугольніка, але нам дана з очевидністю схема його отримання, яка і служить підставою наших достовірних висновків про властивості тисячеугольніка7. Все різноманіття приватних арифметичних суджень є, насправді, продуктом схеми породження натурального ряду, яка є самоочевидною для нашої свідомості і яка однозначним чином визначає систему аксіом арифметики. У цьому сенсі система арифметичних аксіом також може мислиться як заснована на одному факті і абсолютно детермінована ім.

Приклади обгрунтування аксіоматики на основі аподиктичні окремого самоочевидного факту є суто приватними в тому сенсі, що вони не відкривають ніякого загального підходу до обгрунтування математичних теорій. Вони, однак, важливі в тому відношенні, що прояснюють природу математичних аксіом, їх радикальна відмінність від принципів емпіричних теорій.

« Попередня Наступна »
= Перейти до змісту підручника =
Інформація, релевантна " 5. Обгрунтування несуперечності на основі факту "
  1. Наука. Проблема демаркації наукового і ненаукового знання
    Наука - це специфічна форма людської діяльності, спрямована на отримання достовірних і систематичних знань про дійсність з метою їх подальшого практичного використання. Об'єктивна достовірність і систематичність наукового знання радикально відрізняє його від інших, позанаукових форм. Це не означає, звичайно, що позанаукові форми знання не мають для людини ніякої цінності.
  2. 1. Поняття та правова природа третейського (арбітражного) угоди
    Насамперед, необхідно відзначити термінологічну різноголосицю, яка має місце в російськомовній юридичній літературі. Для позначення досліджуваного поняття використовуються терміни "третейська угода", "угода про третейський суд", "третейський договір", "третейський запис", "третейське застереження", "компроміс", "договір про арбітраж", "арбітражна угода" (та інші похідні від
  3. ВСТУП
    Де мудрість, втрачена нами заради знання? Де знання, втрачене нами заради відомостей? Еліот Горе жебракові духом, бо під землею пребуде те, що нині зневажає її. З апокрифічного євангелія Двадцяте століття - століття безпрецедентного зльоту спеціального наукового знання. Диференціюються і уточнюються математика, фізика, природознавство в цілому, дробляться і множаться гуманітарні науки. І тим не
  4. Криза математики на початку XX століття
    Цієї точки зору (про законність існування абсолютної нескінченності. - В. С.), яку я вважаю єдино правильною, дотримуються лише деякі. Бути може, я за часом перший, що захищає її з повною визначеністю з усіма наслідками, але одне я знаю твердо: я не буду її останнім захисником. Г. Кантор. Про різні точках зору на актуально нескінченне Подією, яка, по
  5. Вклад Олександра Олександровича Любищева в науку про самоорганізацію
    Наша наука буде далеко неповною, якщо не сказати про успіхи в розвитку сучасної біології. Пошук цих успіхів обов'язково приведе нас до Олександра Олександровича Любищева, біологу широкого профілю, якого називають непересічною особистістю в новітній історії вітчизняної та світової науки або феноменом, який заснував некласичну біологію, І щоб представити читачеві цю особистість з його вельми
  6. 2. Зміна завдання
    В даний час ідея зведення до логіці не розглядається як перспективна для обгрунтування математики. Існує думка, що на відміну від інтуїционізма і формалізму логіцизм не виробив продуктивних ідей і в даний час може розглядатися як має лише історичний інтерес. Така оцінка представляється не зовсім вірною. Вона виходить тільки з факту нереализуемости вихідних завдань
  7. 1. Програма логіцізма
    У своїй роботі «Підстави арифметики» (1884) Г. Фреге намітив шлях обгрунтування арифметики на основі логічного визначення поняття числа. Редукція арифметики до логіки означала для Фреге і логічне обгрунтування математики в цілому, оскільки він був переконаний, що вся математика може бути обгрунтована на базі арифметики. Вихідною базою обгрунтування математики є у Фреге аксіоми логіки,
  8. Література і примітки
    Введення 1. See: Husserl Є. The Origin of Geometry / / In: Husserl E. The Crisis of European Sciences and Transcendental Phenomenology. Northwestern University Press, Evanston, 1970 P. 377. 2. Grassmann H. Die Ausdehnunglehre. Gesammelte Mathematische und Physicalische Werke, Band 1, Theil 1, Leipzig, 1894. S. 22. 3. Див: Гільберт Д. Вибрані праці. Т. 1. М., 1998. С. 461-462. 4. Кант І.
  9. 4. Вихід за межі фінітізма
    Ми виходимо тут з тотожності онтологічної істинності і об-грунтовної значущості математичних суджень ^ припускаємо, що всяка надійна метатеорія міститься в системі онтологічно істинної математики, і всяка онтологічно справжня система принципів може виступати в якості бази абсолютного і гранично надійного обгрунтування математичної теорії. Визначення метатеоріі в рамках
  10. 1. Об'єкти, факти і принципи
    Для розуміння нового підходу нам потрібно провести деякі уточнення таких понять філософії математики, як математичний об'єкт і математичний факт. Математична теорія покоїться на замкнутої ієрархії об'єктів, яка робить цю теорію відмінною від інших математичних теорій. Математик має справу, по-перше, з об'єктами вихідними , прийнятими на основі очевидності, а по-друге, з
  11. 1. Загальне розуміння проблеми обгрунтування
    Сучасна проблема обгрунтування математики, як уже сказано, зводиться до обгрунтування несуперечності математичних теорій. Природний шлях досягнення прогресу в цьому напрямку полягає в тому, щоб звести питання про несуперечності складних теорій до несуперечності теорій, більш простих і непроблематично в цьому відношенні. Першим суворим міркуванням такого роду, проведеним при
  12. 6 . Сфера абсолютної надійності
    Встановлюючи факт несуперечності аксіоматичного подання змістовної математичної теорії, ми досягаємо кінцевої мети всього нашого міркування, бо ми отримуємо можливість говорити про суттєву несуперечності всіх центральних математичних теорій і про абсолютну несуперечності всіх стабільних аксіоматикою, визнаних математичним співтовариством. Ми приходимо до розуміння
  13. 6. Загальні зауваження і висновки
    У загальній схемі розвитку наукової теорії, заснованої на досвіді, яку деякі філософи вважають що має силу і для математики, всяка стабілізація принципів має тимчасовий характер і означає лише деяка перерва в процесі поглиблення основ. Доводи, викладені тут, показують, що ця схема »неп відображає логіки становлення математичної теорії. Стабільність математичних принципів (аксіом)
  14. 1. Абстрактність системного підходу
    Системне обгрунтування математичної теорії незрівнянно більш абстрактно, ніж логічне. Всі програми логічного обгрунтування математики базуються на здійсненні тієї чи іншої редукції: або це редукція змісту математики до змісту арифметики, або це редукція математики до логіки, або, нарешті, редукція проблеми несуперечності теорії до несуперечності змістовної
  15. 4. Межі логічного обгрунтування
    Поняття онтологічної істинності дозволяє по-новому поглянути на межі суворого обгрунтування математики. Оптимістичний момент, який ми достатньою мірою прояснили, полягає в тому, що до сфери суворого обгрунтування ми можемо віднести, в дійсності, значно більшу частину математики, ніж та система простих теорій, щодо яких можна провести доказ
  16. 3. Перспективи надійного обгрунтування
    Послідовне проведення онтологічної програми дозволяє стверджувати абсолютну несуперечливість елементарної математики, тобто арифметики і евклідової геометрії. Несуперечність арифметики відповідно до викладеного тут підходом може бути обгрунтована різними шляхами. Вона безпосередньо випливає з факту аподиктической очевидності її аксіом, доводиться можливістю її
  17. 4. Про визначеності критерію стабільності
    Інша труднощі, яка тут неминуче виникає, полягає в розумінні стабільності аксіом як критерію несуперечності змістовно аксіоматизована математичної теорії. На відміну від конструктивного або логічного критеріїв цей критерій представляється неоднозначним і мало прийнятним для суворого вирішення питання в конкретних випадках. Ми розглянули вище два критерії,
  18.  3. Надійність змістовного міркування
      Основна проблема, з якою ми тут стикаємося, це проблема надійності змістовних міркувань. Ми потребуємо не просто в побудові деякого міркування, яке призводило б нас до тези про несуперечності, наприклад, аксіоматизована теорії множин, але ми потребуємо такого міркуванні, в якому вбачалася б гарантія того, що суперечності фактично не можуть з'явитися в
  19.  7. Поняття онтологічної спільності
      Ми можемо сформулювати методологічний постулат, який випливає з наміченого підходу і який буде лежати в основі всіх наших подальших міркувань. Цей постулат (ми будемо називати його принципом онтологічної спільності) полягає в тому, що будь-яка система онтологічно істинних тверджень у математиці є логічно несуперечливої. Йдеться про можливість прямого переходу від
  20.  Види і стадії адміністративного права
      1. Поняття і система стадій і етапів провадження по справах про ад-міністратівного правопорушення. 2. Адміністративне розслідування. 3. Розгляд справ про адміністративні правопорушення. 4. Перегляд постанов. 1. Стадія провадження у справах про адміністративні правопорушення - це відносно самостійна частина виробництва, кото-раю поряд із загальними завданнями провадження має