1. Програма логіцізма

Вихідною базою обгрунтування математики є у Фреге аксіоми логіки, прийняті на основі поняття логічної (семантичної) істини. Аксіоми арифметики повинні бути представіми, за його задумом, як істинні судження в рамках цієї системи аксіом. Фреге не ставить питання про формальне (синтаксичному) обгрунтуванні несуперечності арифметики. Він вважає, що несуперечність математичної теорії є наслідок істинності її принципів.

Фреге вважає абсолютно неспроможною емпіричну концепцію числа як поняття, що сформувався в процесі рахунку, філософи, що пояснюють поняття числа з досвіду рахунки, змішують, на його думку, сферу докладання арифметичних істин з самими цими істинами. Він відхиляє і кантівське розуміння числа як об'єкта, даного в чистому спогляданні. Споглядання, на думку Фреге, як всяка чуттєвість взагалі, не може вивести нас за межі вузького кола істин. Він переконаний, що все те, що Кант прагне обгрунтувати через сприйняття в чистому спогляданні, може бути строго доведено з аналітично істинних положень логіки. Фреге не погоджується також і з аксіоматичним підходом до визначення числа, який був запропонований Пеано і Гильбертом. Завдання обгрунтування арифметики, вважає Фреге, полягає в розкритті справжнього сенсу числа, як воно використовується в науці і в повсякденному житті. Аксіоматика свідомо не вирішує цього завдання, так як вона вказує лише на невизначену сукупність об'єктів, що задовольняють аксіом9.

За основу визначення числа Фреге бере теоретико-множинне поняття еквівалентності класів, що визначається у свою чергу на основі поняття взаємно-однозначної відповідності. Конкретне число п характеризується при такому підході як клас еквівалентних класів, що містять п елементов10. Власне математична задача Фреге полягало в демонстрації того, що таке визначення може бути адекватно перекладено на мову логіки, і що все інтуїтивно ясні відносини між числами натурального ряду можуть бути відтворені як відносини між чисто логічними об'єктами і доведені у вигляді логічних істин.

Визнано, що Фреге досяг істотного успіху в реалізації своєї програми. Він обгрунтував первинні принципи арифметики, що мають важливе значення для її послідовного аксіоматичної побудови, а саме, відсутність попереднього елемента для нуля, неможливість повторення одного і того ж елемента в послідовності чисел, а також принцип індукції, який він формулює як необхідність передачі властивості від першого елемента до останнього у спадкових рядах елементів. Виходячи з визначення спадкового ряду, Фреге намагався також строго довести положення про його нескінченності, тобто про відсутність у ньому останнього елемента11. Поступово, однак, було зрозуміле, що це останнє доказ містить в собі коло, т.

Доля теорії Фреге добре відома. Б. Рассел виявив в ній можливість суперечливого міркування, яке відоме сьогодні під назвою парадоксу Рассела. Він показав, що якщо визначити поняття нормального безлічі як множини, що не містить себе в якості свого елемента, то не можна з'ясувати, чи є безліч всіх нормальних множин нормальним або ненормальним: допущення його нормальності призводить до суворого висновку його ненормальності і навпаки. Оскільки міркування Радсело не виходили за сферу методів, дозволених теорій Фреге, то ця теорія була поставлена під сумнів у плані внутрішньої узгодженості своїх принципів.

Рассел продовжив дослідження Фреге, поставивши завдання виявити витоки парадоксів в логічних численнях і знайти засоби їх усунення. У дослідженнях Рассела найбільш важливими з сучасної точки зору є два моменти, а саме, винахід теорії типів, що розкриває джерело парадоксів, і прояснення того факту, що деякі принципи, істотні для побудови арифметики і теорії множин, які не є істинами логіки.

Суть теорії типів полягає в тому, що математичні висловлювання діляться на класи відповідно до галузі їх визначення. Нехай є деяка область вихідних об'єктів а, 6, с і т. д. До першого типу відносяться висловлювання про властивості цих об'єктів: / (а), д (Ь) і т.д. До другого типу відносяться висловлювання про властивості цих властивостей, тобто висловлювання виду: F (f), F (g) і т. д. До третього типу відносяться висловлювання про властивості властивостей і т. д. Основне правило теорії типів полягає в тому, що кожен предикат відноситься тільки до певного типу і може бути визначений тільки на об'єктах нижчих рівнів. Він не може бути застосований до об'єктів свого або більш високого уровня12. З цієї точки зору вирази виду / (а), F (g) або істинні, або хибні, в той час як вирази виду / (/), f (g)> f (F) не істинні і не помилкові, а безглузді. Помилка Фреге, на думку Рассела, полягала в тому, що він допускав необмежену область визначення для будь-якої логічної функції.

Обмеження Рассела є ефективними в тому сенсі, що вони дозволяють усунути всі відомі парадокси логіки і теорії множин. Парадокс Рассела, зокрема, виявляється невиводимість внаслідок некоректності поняття нормальності всіх нормальних множин - як поняття, що має форму / (/).

Рассел був переконаний, що виправлена таким чином логіцістская програма буде достатня для обгрунтування математики, в тому числі і таких її розділів, як теорія множин. У фундаментальній праці «Principia Mathematica» (1910-1913) Рассел і Уайтхед зробили спробу обгрунтувати на цих принципах арифметику і теорію множин. Ця праця, з одного боку, продемонстрував можливості логічного аналізу математики, а з іншого - виявив його принципову обмеженість. Одним з результатів дослідження було відкриття того факту, що систематичний виклад математики потребує твердженнях, які не редукованих до логіки.

Цей результат принципово важливий для філософії математики, бо він показав помилковість думки Лейбніца і багатьох його послідовників, що математика не містить нічого крім ускладнених логічних визначень та їх зв'язків. Це означає, що математика не їсти логіка, що математичне мислення покоїться на істотно інших підставах, ніж чиста логіка. Ми зрозуміли, зокрема, що логіка принципово конечна у змісті своїх понять, і що введення нескінченності у формальну теорію є прерогативою власне математичного мислення.

Сам Рассел витлумачив цей факт в релятивістському дусі як неустранимую гіпотетичність математичного мислення. Він зробив звідси висновок, що математичні теорії істинні лише тією мірою, в якій істинна наша гіпотеза про нескінченність предметів у Всесвіті. Оскільки ніякої досвід не може дати нам ні позитивного, ні негативної відповіді на це питання, то ми повинні розуміти математику як науку, завжди зберігає гіпотетичний елемент у своїй основі.

У «Principia Mathematica» в передмові до розділу «Кількість» Рассел і Уайтхед пишуть: «Великі труднощі цього розділу породжуються теоремами існування та проблемою типів. Ці труднощі зникають, якщо приймається аксіома нескінченності, хоча здається неприйнятним будувати теорію, яка, можливо, на дві третини залежить від допущення, що число об'єктів у Всесвіті не є кінцевим. Ми повинні привчити себе не вдаватися до цього допущенню, крім тих випадків, де воно є вкрай необхідним. Коли аксіома нескінченності дійсно необхідна, вона поміщається нами в клас гіпотез, так що всі твердження теорії будуть істинними, навіть у тому випадку, якщо ця аксіома помилкова »13. Рассел має на увазі тут те, що замість теореми Т, яка залежить від аксіоми нескінченності, ми можемо прийняти твердження Infin ах С Т, яке є істинним і доказовим в рамках логічних передумов.

Логіцістская програма обгрунтування математики, таким чином, спростувала себе в процесі свого розвитку. Виявилося, що математика зводиться до логіки і залежить від положень, надійність яких повинна бути виправдана за межами логіки. Приймаючи цей факт, ми, однак, повинні відхилити натуралістичні і скептичні висновки Рассела як недостатньо обгрунтовані. Очевидно, що Рассел виходить тут з позитивістської дихотомії формального та змістовного, згідно з якою твердження, що не відносяться до логіки, мають емпіричну і індуктивну основу. Ця, проте помилкова посилка. Виходячи за межі логіки, математика ще не виходить за межі онтології і негативний результат логіцістского аналізу не є достатнім для відмови математики від претензії на внеемпірічеськой обгрунтування своїх вихідних принципів.

Інформація, релевантна " 1. Програма логіцізма "

1. Проблема обгрунтування математики
   Добре, що існують логіки і інтуїтивісти; хто ризикне стверджувати, що він волів би, щоб [логік] Вейерштрасс ніколи не пісая або щоб [Інтуїтивіст] Рімана не було? Таким чином, ми повинні примиритися з різноманітністю умів або, ще краще, ми повинні йому радіти. А. Пуанкаре. Наука і метод Основний принцип наукового дослідження полягає в тому, що жодне висловлювання, жодна
   
2. Оцінка програми логіцізма
   Основною тезою логіцізма є твердження, що математичні істини складають власне підмножина логічних істин. Це означає, що всяка математична істина мережу логічна істина, але зворотне загалом невірно. Фреге і Рассел обидва інтерпретували цю тезу таким чином, що висловлювання про натуральних числах суть логічно істинні висловлювання. І оскільки все інше
   
3. Логіцизм. Математика як створення логічно очевидних конструкцій
   Одним з найбільш фундаментальних і разом з тим дивовижних властивостей математики називають необхідність її тверджень. Пояснюючи це властивість, Лейбніц вказав на чотири особливості логічних і математичних суджень, які відіграли згодом вирішальну роль в становленні програми логіцізма. По-перше, логічні і математичні істини необхідні, тому що їх логічне заперечення веде до
   
4. Висновок
   Проблема обгрунтування математики в сучасній формі була поставлена на початку XX століття в зв'язку з появою парадоксів у логіці та теорії множин і містила в собі дві основні завдання: у вузькому сенсі вона полягала в тому, щоб знайти спосіб позбутися від наявних парадоксів, а в більш широкому - знайти загальні принципи побудови математичних теорій, що гарантують їх несуперечливість. В
   
5. 2. Зміна завдання
   В даний час ідея зведення до логіці не розглядається як перспективна для обгрунтування математики. Існує думка, що на відміну від інтуїционізма і формалізму логіцизм не виробив продуктивних ідей і в даний час може розглядатися як має лише історичний інтерес. Така оцінка представляється не зовсім вірною. Вона виходить тільки з факту нереализуемости вихідних завдань
   
6. РОЗУМІННЯ ДУХОВНОГО ДОСВІДУ ЯК СВІДОМОГО ДОСВІДУ Розумова діяльність
   В умовах панування когітальной парадигми сформувався той стійкий стереотип щодо сутності духовного досвіду, який визначив характер і європейської філософії, і європейської культури. Суть цього стереотипу становить розуміння, за яким не тільки пізнавальні акти, а й чуттєвість і воля зводяться до свідомості, до досвіду усвідомленої миследеятельності. Розвиток цієї тенденції
   
7. Сучасна Західна філософія.
   Різноманіття напрямків класичної філософії так чи інакше пов'язувалося в єдине ціле пріоритетом розуму, раціоналістичними побудовами благоустрою суспільного життя. Починаючи з середини XIX століття і особливо в ХХ столітті загальнофілософської стрижень раціоналізму руйнується, оформляються окремі самостійні філософські напрямки, що зв'язують себе з проблематикою внераціональних
   
8. Передмова
   До предмета філософії математики прийнято відносити питання, що стосуються обгрунтування математики як науки. XX століття було унікальним часом, коли проблема обгрунтування математики вважалася однією з найбільш пріоритетних, і кращі математичні уми витратили чимало часу на пошуки її адекватного рішення. У результаті були отримані фундаментальні результати, що мають видатне філософське значення.
   
9. Філософія математики Лейтзена Егберта Яна Брауера
     Математика - вільна творчість, незалежне від досвіду; вона створюється з єдиною апріорної інтуїції, яку можна назвати «витривалістю в зміні», або «єдністю в множинності». Л. Е. Я. Брауер. Про обгрунтуваннях математики Філософські принципи інтуїционізма Брауера Одне з ключових положень интуиционистской філософії математики полягає в тому, що математика представляє
   
10. Формалізм. Математика як створення формально несуперечливих конструкцій
      Треба погодитися, що стан, в якому ми знаходимося зараз відносно парадоксів, на тривалий час нестерпно. Подумайте; в математиці - цьому зразку достовірності та істинності - утворення понять і хід умовиводів, як їх всякий вивчає, викладає і застосовує; призводять до безглуздостей. Де ж шукати надійність і істинність, якщо навіть саме математичне мислення дає осічку? Д.
    
11. 7. Автономія логіки
      Філософія XX століття базувалася на уявленні про логіку як про науку, тісно пов'язаної з математикою. Це подання виникло з розвитку логіки в XIX столітті, коли працями Д. Буля і Е. Шредера була показана можливість представлення логічних принципів у простих формальних численнях. Математизація логіки привела до відродження філософії математики Лейбніца, яка розглядала логіку як
    
12. . Проблема поділу
      Як ми з'ясували, логіка строго відділяється від математики за ознаками аналітичності-синтетичності і нормативності-теоретичності. Ми можемо поглибити цей поділ через розгляд таких якостей логіки, як універсальність, кінцівку і змістовність. Логіка як універсальне знання протистоїть математики як системі приватного знання. Математика є приватною або спеціальної наукою,