Головна
Аксіологія / Аналітична філософія / Антична філософія / Антологія / Антропологія / Історія філософії / Історія філософії / Логіка / Метафізика / Світова філософія / Першоджерела з філософії / Проблеми філософії / Сучасна філософія / Соціальна філософія / Середньовічна філософія / Телеологія / Теорія еволюції / Філософія (підручник) / Філософія мистецтва / Філософія історії / Філософія кіно / Філософія науки / Філософія політики / Філософія різних країн і часів / Філософія самоорганізації / Філософи / Фундаментальна філософія / Хрестоматії з філософії / Езотерика
ГоловнаФілософіяФілософія науки → 
« Попередня Наступна »
Пермінов В. Я. . Філософія і підстави математики - М.: Прогресс-Традиція. - 320с., 2001 - перейти до змісту підручника

6. Загальні зауваження і висновки

У загальній схемі розвитку наукової теорії, заснованої на досвіді, яку деякі філософи вважають що має силу і для математики, всяка стабілізація принципів має тимчасовий характер і означає лише деяка перерва в процесі поглиблення основ. Доводи, викладені тут, показують, що ця схема »неп відображає логіки становлення математичної теорії. Стабільність математичних принципів (аксіом) - не тимчасова конвенція, обумовлена ??рівнем аналізу строгості докази або якими-небудь іншими факторами, а остаточна стадія формування цієї системи, наступаюча в результаті повного узгодження аксіом теорії з фактами, лежащімі1 в її основі. Система аксіом, що досягла стабільності, не може бути усунена або скоригована в змісті своїх принципів і в своєму логічному відношенні до фактів.

Про несуперечності системи аксіом ми укладаємо тут з факту її соціально визнаної стабільності. Хоча цей критерій має якісний характер і представляється в деякій мірі суб'єктивним, насправді, він володіє граничною общезначимостью і об'єктивністю. Подання про стабільну аксіоматиці є певним для математичної спільноти нітрохи не в меншій мірі, ніж уявлення про аподиктичні очевидною аксіоматиці або про закінченість конкретного математичного докази. Ми не сумніваємося в стабільності аксіом арифметики, геометрії, топології, теорії ймовірностей та інших математичних теорій, безсумнівно досягли стану зрілості.

Емпіріцісти праві, вказуючи на те обставина, що в загальному випадку математична теорія не редукується до самоочевидною системі аксіом і не обгрунтовується на основі аподиктической очевидності принципів.

Ми з'ясували, однак, що вона завжди редукується до завершеної системі аксіом, що задовольняє вимогу факгуальной істинності і несуперечності. Системне розгляд дає підставу стверджувати, що будь-яка математична теорія, незалежно від особливостей її змісту або логічного будови (простоти - складності і т. п.), в кінцевий час виділяє адекватну систему аксіом, що володіє властивістю несуперечності.

З цієї точки зору, абсолютна несуперечливість аксіом - не деякий винятковий факт, властивий тільки системам, які досягли рівня формалізації, а нормальний стан будь змістовної аксіоматичної системи, визнаної як адекватною в процесі її використання. Ми можемо фіксувати і постійно фіксуємо фактичну надійність математичних теорій незалежно від можливостей її логічного обгрунтування.

Системний аналіз дозволяє нам говорити несуперечності математичних теорій, в принципі недоступних для логічного обгрунтування. Ми повинні спиратися тут на якісні ознаки несуперечності, неприйнятні для логічного аналізу. Хоча тут виникають питання, пов'язані з надійністю, досить очевидно, що проблема обгрунтування математики, поставлена ??як проблема надійності математичного мислення, не може бути вирішена без звертання до такого роду позалогічним критеріям.

Фаллібілістская ідея непереборний Нестрогие підстав змістовної математичної теорії виникає з некритичного ототожнення математичної теорії з теорією емпіричної і з абстрактності логічного підходу до цієї проблеми. Оскільки не існує можливості окреслити в логічних термінах область теорії, в якій протиріччя, закладене в аксіомах, повинно виявити себе в явному вигляді, ця область передбачається невизначеною і, в принципі, як завгодно великою.

Системне розгляд усуває цю невизначеність. Воно показує, що ідея глибоко прихованою суперечливості не може бути застосована до реального розвитку математичної теорії і що змістовні математичні теорії, які досягли аксіоматично стабільного стану, повинні бути визнані абсолютно вільними від суперечностей. Історія математики відкидає емпіріцістскій скептицизм, бо ми не знаємо випадків, коли б безумовно визнана математичним співтовариством система аксіом була потім відкинута на основі протиріч, що вималювалися в її віддалених наслідках. З системного розгляду випливає, що така можливість виключена в принципі.

Головна цінність критерію стабільності полягає в його універсальності. Якщо наведені міркування вірні, то ми можемо говорити про несуперечності будь-якої системи аксіом, визнаної як стабільної, незалежно від ступеня її самоочевидності або обгрунтованості допомогою логічних методів. З цієї точки зору ми можемо говорити про несуперечності аксіом теорії множин нітрохи не з меншим правом, ніж про несуперечності арифметики, бо стабільність цієї аксіоматики (це відноситься принаймні, до таких систем як ZF), повною мірою підтверджена математичної практикою.

« Попередня Наступна »
= Перейти до змісту підручника =
Інформація, релевантна " 6. Загальні зауваження і висновки "
  1. 2. Проблеми науки і культури
    загальні прийоми: цитування добре відомих творів. Таке читання вимагає хорошої підготовки читає, інакше багато чого залишається незрозумілим. Критики прогнозують народження нової літератури, заснованої на оптимізмі, людинолюбство. Але для цього суспільству треба звільнитися від почуття провини, від синдрому зла, вона повинна бути близька позитивізму. Можливо, це буде час, коли головним змістом
  2. § 1. Загальні зауваження
    висновок, що поняття суспільної небезпеки необхідно розглядати в тісному зв'язку з суб'єктивною стороною злочину. При цьому слід пам'ятати, що, представляючи собою об'єктивне властивість злочинного діяння, вона не може бути віднесена ні до об'єктивної, ні до суб'єктивної сторони складу злочину. Суспільна небезпека має самостійне значення для характеристики злочину в
  3. § 3. Визначення поняття складу злочину
    загальні для всіх злочинів, винесені законодавцем в Загальну частину КК, бо саме в цьому полягає її призначення. У радянській кримінально-правовій теорії прийнято вважати, що склад злочину вже все злочини. Це правильно, так як склад злочину - сукупність не всіх об'єктивних і суб'єктивних моментів діяння, а лише тих з них, які відображають суспільну небезпеку злочину. В
  4. § 1. Поняття злочину
    загальні, вихідні, в яких можуть і повинні матися на увазі конкретні ознаки злочину, в тому числі матеріального характеру. Товар дійсності і "чисто" матеріальних визначень, оскільки в будь-якому випадку вони повинні бути якимось чином оформлені. Навіть у кримінальному законі, допускающем аналогію при кваліфікації вчиненого як злочинного, така оформлений-ність існує не в меншому
  5. 1. Загальні принципи
    загальні положення цивільного права, наприклад правила про форми і умови дійсності угод, так і відповідні норми зобов'язального права, що стосуються, наприклад, порядку укладання та виконання договорів, відповідальності за їх порушення і т. П . За загальним правилом авторський договір носить консенсуальної, взаємний і відшкодувальний характер. Протягом багатьох років у російській
  6. Глава восьма. ТЕОРЕТИЧНІ ПИТАННЯ РОСІЙСЬКОЇ ДЕРЖАВНОСТІ
    загальні схеми і догми марксистсько-ленінської доктрини. Панувала юридична парадигма про розрив того нового типу держави - соціалістичної держави, який виник після жовтня 1917 року, з усім попереднім державно-правовим розвитком Росії, про протиставлення і протистоянні цього типу держави всім попереднім типами та формами Російської держави. Прийшов час
  7. Глава дев'ята. ТЕОРІЯ ПРАВА ЯК ЮРИДИЧНА НАУКА
    загальні для всіх правових систем, узагальнення правового розвитку всього людства. Походження права, його структура, ідеї правової держави, юридична відповідальність, теорія доказів - це і багато іншого входить у загальну теорію права, є предметом її описів і пояснень. Друге, юрідізірованное поняття загальної теорії права, сформулював ще в XIX столітті видатний англійський
  8. Глава десята. ПРАВО В СИСТЕМІ СОЦІАЛЬНИХ РЕГУЛЯТОРІВ
    загальні їх визначення і розглянемо лише деякі їх характеристики. Почнемо з моралі. Як відомо, під мораллю розуміється один із способів регулювання поведінки людини в суспільстві за допомогою норм, які отримують обгрунтування у вигляді ідеалів добра і зла, боргу, справедливості і т.п. На відміну від правового регулятора норми моралі мають менш формалізований характер. Це стосується і самого
  9. Глава дванадцята. ФОРМА ПРАВА
    спільні майнові відносини; статути державного благоустрою, що забезпечують особливі майнові відносини; статути благочиння (закони поліції); закони кримінальні Царської Росії. Всі види нормативно-правових актів, в яких могли бути виражені закони, встановлювалися в статті 53 Основних законів: «закони видаються у вигляді укладень, статутів, установ, грамот, положень, наказів
  10. Глава чотирнадцята. СИСТЕМА І СТРУКТУРА ПРАВА
    загальні тенденції правового розвитку людства, збагачувати свою правову та політичну культуру. Традиційно в теорії права виділяють германо-романську (інакше - континентальну) і англосаксонську правові системи, оскільки в першому основну роль грає статутне право, закони, а судді, але образним висловом, це всього лише говорять уста закону. У англосаксонській правовій системі як