4. Про визначеності критерію стабільності

Ми розглянули вище два критерії, що визначають коректність математичного міркування. Це аподиктичні очевидність кроків докази як критерій його завершеності і аподиктичні очевидність аксіом як критерій їх логічної спільності. Законність першого критерію не викликає особливих заперечень. У практиці доказів ми спираємося на схеми умовиводів як безпосередньо дані і в більшості випадків не піддаємо сумніву висновки, отримані при точному проходженні цими схемами. Сприйняття необхідності всіх кроків докази служить критерієм його повної коректності або завершеності. Цей критерій є простим у тому сенсі, що самоочевидність докази у всіх його кроках дана нам як безпосередній і загальнозначимих факт, який сам по собі не може бути поставлений під сумнів. Теоретичне обгрунтування цього критерію - це обгрунтування аподиктической очевидності як необхідної якості первинних математичних ідеалізацій.

Критерій логічної спільності аксіом є більш важким для сприйняття. У принципі можна уявити собі систему самоочевидних істин, які при більш детальному аналізі можуть виявитися несумісними. Такі випадки мали місце і в математиці: ми можемо згадати в цьому зв'язку відкриття Расселом протиріччя в арифметиці Фреге, яка не містила ніяких передумов, що не володіють безпосередньою очевидністю. Приклади такого роду, однак, не відкидають законності нашого критерію. Аналіз парадоксу Рассела показує, що це не протиріччя між принципами арифметики або між логікою і арифметикою, а протиріччя між аподиктичні очевидними принципами, з одного боку, і запропонованою системою їх дедуктивного уявлення, з іншого. Ми маємо підстави припускати, що зіткнення аподиктичні очевидних принципів самих по собі неможливо і що математична теорія, всі аксіоми якої мають властивість аподиктической очевидності, є абсолютно несуперечливою. Теоретичне обгрунтування цього критерію може полягати в тому, що ми маємо тут справу з принципами, що утворюють фундамент мислення, його нормативну основу, яка по самому своєму місцю в пізнанні володіє найвищим ступенем істинності, а отже і максимальної гарантією несуперечності.

Розуміння стабільності аксіоматики як критерій її несуперечності може викликати утруднення внаслідок того, що стабільність на відміну від аподиктической очевидності не дана нам у вигляді одноразової непорушного факту свідомості. Поняття стабільності істотно емпірично, воно пов'язане з часом, причому з невизначеним часом. Припинення потоку контрприкладів в основних твердженнях теорії може бути витлумачено і як свідчення повної коректності її підстав і як тимчасова перерва, обумовлений конкретним етапом її розвитку. Ця ситуація видається нерозв'язною і сам критерій - принципово невизначеним.

Таке розуміння, однак, було б поверховим. Досліджуючи історичне становлення математичної теорії, ми з'ясували, що воно йде за рахунок розширення внутрішнього ядра теорії - незруйновного центру, який являє собою завершений «кросворд» доказів, невразливий для критики при подальшому розширенні та вдосконалень теорії. Ми з'ясували також, що лише кінцеве число теорем, що відносяться до цього центру, необхідно для однозначного визначення аксіоматики і аксіоматичного уявлення теорії в цілому. Але це означає, що на певному рівні розвитку будь формальна теорія неминуче виділяє аксіоматику, що володіє стабільністю і абсолютної непротиворечивостью. Теоретична обгрунтованість критерію стабільності випливає з того, що поява несуперечливої аксіоматики неминуче для будь-якої теорії і першим її ознакою з самого суті справи буде її стабільність в сенсі відсутності парадоксів і контрприкладів, що вказують на необхідність розширення або коригування її принципів. Це означає, чтс з теоретичної точки зору критерій стабільності безсумнівно вірний і неважко бачити також, що це єдиний критерій, однозначно продиктований поняттям несуперечності. Вся його неякісність має практичний характер і полягає у невизначеності його застосування до конкретних випадків: якийсь скептик завжди буде мати можливість стверджувати, що відсутність протиріч в деякій системі аксіом протягом століть не їсти ще доказ її несуперечності.

Скептик тут помиляється. При розгляді математичного доказу ми з'ясували, що перевірка закінченості докази здійснюється не тільки перевіркою самоочевидності всіх його кроків, але і його включення в центр теорії, в «кросворд» доказів.

Існують і багато інших ознак зрілої теорії, що вказують на остаточний характер стабілізації. Тут ми знову приходимо до визнання того положення, що проблема, нерозв'язна в рамках однозначних теоретичних критеріїв, дозволяється практично. Практика показує, що нормально розвивається і функціонує аксіоматизована теорія може зажадати для свого повного затвердження десять, максимум 20 років, але жодним чином не період величиною в сторіччя. Це означає, що критерій стабільності, незважаючи на деяку невизначеність винесення судження, цілком достатній для конкретного випадку, наприклад, для вирішення питання про несуперечності таких добре аксіоматизована теорій, як теорія множин, топологія і теорія ймовірностей і т. п. Але це значить, що він достатній для розуміння основної частини сучасної математики як абсолютно несуперечливою. Скептичні сумніви тут завжди можуть мати місце, але вони не можуть мати реального підтвердження в практиці математичного мислення. У разі зрілої теорії ці сумніви мають чисто формальний характер, вони мають не більше підстав, ніж допущення про те, що все людство досі помилялося, вважаючи суму чисел 12 345 і 54 321 рівний числу 66666. Завдання філософії математики та філософії науки полягає в тому, щоб виробити протиотруту проти такого роду порожнього скептицизму, що перешкоджає виявленню останніх підстав мислення.

Розгляд механізмів стабілізації дозволяє укласти, що системний аналіз дає нам не тільки абстрактне теоретичне розуміння несуперечності математичного мислення, а й загальнозначущі критерії цієї несуперечності, які мають повної надійністю.

Інформація, релевантна " 4. Про визначеності критерію стабільності "

1. 29. Характе-ристика, особливості та види мажоритарної виборчої систе-ми.
   Визначення результатів голосування кладуть принцип більшості, називаються мажоритарними. Згідно з правилами мажоритарної виборець-ної системи, обраним по виборчому округу вважається той кандидат або список кандидатів, який отримав встановлену більшість голосів. Розрізняють два основних види мажоритарної системи: абсолютної більшості і відносної більшості. Відповідно до
   
2. 13. Правові норми - ознаки, структура - гіпотеза, диспозиція, санкція, види
   певних обставин. Ознаки правових норм: Загальнообов'язковий характер - правові норми поширюються не на конкретних осіб, а на однорідні категорії учасників суспільних відносин. Правові норми регулюють соціальні взаємодії незалежно від волі і згоди учасників. Таким чином встановлюється єдиний порядок для всіх членів суспільства. Формальний характер - норми права
   
3. Явище організованої злочинності.
   Безумовно, ніж насильницької, корисливої чи інших форм злочинності .. В основі виділення організованої злочинності із загальної протиправної поведінки лежать характер і ступінь організованої взаємодії декількох злочинців між собою при здійсненні своєї пролонгованої кримінальної діяльності. На основі цього критерію запропоновано безліч визначень даного явища. Я
   
4. Основні напрямки контролю над організованою економічною злочинністю
   певною частиною виробництва і їх проникнення в різні владні структури; ослаблення системи державного контролю, що призвело до розширення діяльності кримінальних структур на внутрішньому фінансовому ринку, у сфері приватизації, експортно-імпортних операцій і торгівлі. Основними причинами, що викликають виникнення зазначених загроз, є нестійкість фінансового становища
   
5. § 8. Виправні роботи
   певної частини на користь держави. Ступінь карательності виправних робіт визначається, перш за все, терміном їх відбування, залежних, в свою чергу, від характеру і ступеня суспільної небезпеки скоєного злочину і особи винного. Згідно ст. 50 КК виправні роботи встановлюються на строк від двох місяців до двох років і, на відміну від колишнього законодавства,
   
6. § 2. Роль санкції статті кримінального закону при призначенні покарання
   визначеність. Покарання, якщо воно не має конкретної ступеня тяжкості, не визначено за виглядом і розміром, в принципі не здатне служити вихідним початком індивідуалізації відповідальності. Враховуючи це, а також те, що поняття "міра покарання" якраз і фіксує його якісну і кількісну визначеність, було б правильніше точкою відліку розглядати не покарання як таке, а лише
   
7. 39. Поняття кредитування і кредитів у сфері підприємництва
   визначених кредитним договором. Банківський кредит поділяється на окремі види по різних підставах. Так, якщо критерієм класифікації є строки використання, то банківські кредити поділяються на: а) короткострокові - до I року (можуть надаватися банками у разі тимчасових фінансових труднощів, що виникають у зв'язку з витратами виробництва та обігу, не забезпечених
   
8. 2. Сорти рослин
   визначена за ознаками, що характеризує даний генотип, або комбінацію генотипів; відрізна від інших груп рослин одним або декількома ознаками і однорідна, як сукупність стійко відтворюваних при розмноженні ознак ". Таке широке визначення сорти рослин охоплює як охороноздатні, так і неохраноспособние види. Критерії охороноздатності сформульовані в ст. 5 (1)
   
9. § 1. Загальна характеристика галузі цивільного права. Предмет і метод регулювання
   визначення галузі цивільного права, необхідно зупинитися на аналізі предмета і методу цивільно-правового регулювання. Предмет цивільно-правового регулювання. Під предметом галузевого регулювання розуміється комплекс суспільних відносин, що володіють такими подібними рисами, які вимагають підходу до їх правової регламентації з урахуванням єдиних почав і з використанням однакових
   
10. 2. Умови охороноздатності
    певного сорту або тварини певної породи повинні бути однорідні за своїми ознаками, допускаються окремі відхилення, які можуть мати місце у зв'язку з особливостями їх розмноження. Права на селекційне досягнення оформляються шляхом складання, подання до Державної комісії і розгляду нею заявки на видачу патенту. За заявкою проводиться попередня експертиза на відповідність документів
    
11. Глава четвер-тая. ХАРАКТЕРИСТИКА І ПОНЯТТЯ ДЕРЖАВИ
    визначення сутності держави. Саме поняття «сутність держави» стало широко використовуватися на попередньому етапі оте-чественной теорії держави і права, що спиралася на матеріалістичну інтерпретацію платонівської і гегелівської діалектики. В рамках цієї інтерпретації стверджувалося, що наукова думка не повинна зупинятися на сприйнятті лише зовнішніх, поверхневих, позитивістських
    
12. Глава пя-тая. ПРИСТРІЙ ДЕРЖАВИ
      визначено її соціальне призначення, відмінність від догосударствепной організації суспільства, возника-ет завдання розглянути, як влаштована держава, тобто в яких конкретних формах існує і функ-ціонірует ця особлива політична, структурна, територіальна організація суспільства. Тільки після вивчення форми, тобто устрою держави, можна стверджувати, що зроблено ще один крок на шляху осягнення
    
13. Глава шоста. ФУНКЦІЇ І забезпечує їх СТРУКТУРНА ОРГАНІЗАЦІЯ ДЕРЖАВИ
      певним чином. Але така вже властивість юридичної мови - він запозичує чужі поняття і наповнює їх своїм змістом, часом зрозумілим лише присвяченим, спеціально навченим особам, насамперед юристам. Причому таким змістом, який часом майже втрачає зв'язок з початковим. Ось і з поня-ством «функція», коли воно включається в юридичний понятійний апарат, відбувається цей процес.