| Головна |
| « Попередня | Наступна » | |
3. Надійність змістовного міркування |
||
|
Основна проблема, з якою ми тут стикаємося, це проблема надійності змістовних міркувань. Ми потребуємо не просто в побудові деякого міркування, яке призводило б нас до тези про несуперечності, наприклад, аксіоматизована теорії множин, але ми потребуємо такого міркуванні, в якому вбачалася б гарантія того, що суперечності фактично не можуть з'явитися в теоріях, що задовольняє нашим критеріям, філософське обговорення проблеми несуперечності, що претендує на встановлення суворих критеріїв, представляється в цьому відношенні деяким протиріччям, виникаючою з статусу змістовного міркування як завідомо несуворого. Багато хто погодиться з тим, що системні міркування корисні для того, щоб переконатися в тому, що глибокі суперечності в розвиненій математичної теорії - річ малоймовірна, але вони будуть заперечувати проти того, щоб вважати їх доказом несуперечності в повному розумінні цього слова і абсолютною гарантією теорії від появи протиріч стосовно конкретної теорії. Ми потребуємо, таким чином, в проясненні ступеня достовірності змістовних доводів, заснованих на розгляді еволюції математичних теорій. Ми з'ясували, що закони логіки знаходяться в однаковому відношенні до всіх сфер міркування і висновки юриста або філософа в цьому відношенні не є менш суворими, ніж висновки математика. Умовивід «Всі люди смертні, Сократ - людина, отже, Сократ смертний» містить в точності ту ж логічну необхідність, що і умовивід: «Все прямокутники мають дві діагоналі, квадрат - прямокутник, отже, квадрат має дві діагоналі». Строгість математики виникає не з строгості логіки, а з точності визначень, яка не має місця за межами математики. Визначеність, з якою ми відокремлюємо прямокутник від фігур, що не відносяться до класу прямокутників, свідомо вище визначеності, яка присутня у відділенні людини від істот, які не є людиною. Це означає, що обгрунтовуючих міркування є обгрунтування з точністю до істинності і визначеності, укладеної в посилках. Треба визнати, що традиційні програми були невразливими в цьому відношенні. Логицистами виходили з надійності принципів логіки, інтуїціоністське обгрунтування покоїться на безперечною істинності відносин натурального ряду, формалісти апелювали до бездоганності висновків елементарної математики. Всі ці підстави дійсно мають повну надійністю і цей факт може бути обгрунтований епістемологічних. Основна проблема системного аналізу полягає в тому, що змістовні допущення, що стосуються розвитку математичної теорії, як здається, не можуть бути поставлені поруч з твердими посилками класичних програм. Ці сумніви, однак, неправомірні, вони засновані на неявному припущенні, що всяке змістовне міркування включає в себе індуктивний і емпіричний компонент і, з цієї причини, не може володіти повною надійністю. Насправді це не так. Неважко бачити, що в міркуваннях про несуперечності, проведених вище, задіяні тільки два типи суджень: логічні і праксеологічні. Коли ми стверджуємо достатність системи аксіом для відомого кола теорем або вказуємо на той факт, що аксіоми в математичній теорії виводяться з теорем на основі правила modus tollens, то ми вказуємо на факти логічного порядку, з якими погодиться і математик, розмірковує на рівні Гильбертів-ського метамови. Однак коли ми стверджуємо, що змістовне доказ на певному етапі вдосконалення досягає повної надійності, що структура логічних зв'язків у теорії прагне до однозначної визначеності і фактично досягає її або що стабільна аксіоматика неминуче є і мінімальної, то ми висловлюємо щось таке, що не може бути віднесено до логіки або до визнаної метаматематику, що фіксує безпосередньо перевіряються властивості мови. Поряд з метамовою, який описує структуру формалізованої теорії, ми повинні говорити про епіязике, який описує необхідні принципи, які стосуються змістовної математичної теорії. До числа таких принципів ми можемо віднести обгрунтовані вище твердження про те, що математичне судження спростовується в досвіді, що математичне поняття володіє кінцевої визначна, що математичні докази неминуче досягають повної строгості, що математична теорія в процесі свого розвитку набуває остаточну структуру і т. п . Так як ці твердження пов'язані з сутністю математичної теорії, вони володіють повною надійністю і, внаслідок цього, вони можуть виступати в якості основи для епістемологічних висновків, що володіють абсолютною значимістю. Поряд з поняттям суворого метамовна міркування ми маємо право говорити про суворе епіязиковом міркуванні, яке поряд з фактологічної і власне логічними судженнями використовує також і судження праксеологічні, що володіють граничноюдостовірністю. Міркування, що спираються на логічні і праксеологічні посилки, в дійсності, є не менш надійними, ніж математичні і метаматематичних міркування, засновані на аподиктической очевидності. Ефективність епіязика обумовлена тим, що він містить в собі систему неіндуктівний тверджень, достатню для обгрунтування критеріїв несуперечності для змістовної математичної теорії. Одним із забобонів сучасної філософії математики є переконання, яке у тому, що змістовні доводи не можуть претендувати на доказ тверджень, що мають строгу логічну формулювання, яким є твердження про несуперечності математичної теорії. Несуперечливість розуміється як суто логічний факт, який може бути доведений тільки в рамках власне логічних міркувань або не може бути доведена взагалі. Це, однак, оману і воно спростовується вже тим фактом, що насправді в практиці методологічного мислення ми постійно вдаємося до обгрунтування логічних істин на основі епістемологічних міркувань. Як вже говорилося, ми не можемо обгрунтувати твердження: «Висловлення 2 + 2 = 4 - незаперечно на основі фактів» в рамках суворої логіки. Оскільки йдеться тут про спростування математичного твердження, то можна було б припустити, що обгрунтування цього твердження, оскільки воно сформульовано в логічних поняттях, може здійснюватися тільки в рамках власне логічної аргументації. У дійсності, однак, це твердження, як і незліченну кількість аналогічних тверджень, отримують своє повне обгрунтування на рівні епістемологічних міркувань, а саме, на основі положень, що відносяться до статусу математичних об'єктів і до умов пізнавальної операції, яку ми називаємо спростуванням математичного твердження. З тією ж ситуацією ми зустрічаємося і в тому випадку, коли хочемо обгрунтувати надійність деякого визнаного докази. Оскільки поняття надійності визначається в логічних термінах (як неможливість контрприкладів), то природно було б думати, що факт надійності-ненадійності докази в конкретному випадку може обгрунтовуватися виключно на основі деякого власне логічного аналізу докази. Однак, як було показано вище, логіка, встановлюючи правильність докази щодо деяких посилок, нічого не може сказати нам про його надійність. Ця остання характеристика докази, незважаючи на те, що вона допускає точне визначення в логічних термінах, допускає лише епістемологічної обгрунтування, засноване на припущеннях про природу очевидностей, що лежать в основі доказового міркування. Епістемологічної обгрунтування є, безсумнівно надійним, бо воно показує безпідставність припущень про можливе спростування визнаних доказів на основі логічного аналізу або контрприкладів. Обгрунтування математичної теорії в епіязике законно в тій же мірі, як і зазначені епістемологічні міркування, і по своїй достовірності воно абсолютно рівнозначно з достовірністю наших умовиводів про незаперечності в досвіді простих арифметичних рівності або про неревізуемості визнаних елементарних доказів . Всі ці висновки сягають констатації непорушних логічних та епістемологічних достовірності, які не можуть бути поставлені під сумнів. Змістовний епіязик, як і змістовний метамова, може бути джерелом гранично надійних суджень про структуру математичної теорії. До сказаного можна додати те просте міркування, що будь-яке суворе обгрунтування по необхідності спирається на деякі підрозділи та обмеження, істинні з точки зору змістовного аналізу. У теорії строгості обгрунтовуючих міркування ми повинні виходити не з поділу формального та змістовного, а з поділу істинного і проблематичного. Змістовне міркування, безсумнівно, може бути гранично надійним. Формалістской філософія математики, що виросла як заперечення некритической інтуїтивної манери математичного міркування, звела в гкульт знакову форму і правила оперування зі знаками. У певному відношенні це був прогрес. Досягнення чисто логічного аналізу математики великі і ніколи не будуть перекреслені. Але ця філософія затвердила разом з тим і цілу систему помилкових вірувань. Усяке змістовне мислення стало розглядатися як що не володіє повною достовірністю. Формалізація стала розумітися як єдиний спосіб остаточної санкції-якого математичного результату. Ми повинні усунути це помилка. Ми можемо стверджувати, що існують епістемологічні міркування, які є гранично достовірними і існує епіязик, який може бути основою абсолютного обгрунтування логічних характеристик математичної теорії. Іншими словами, ми повинні визнати існування неформальних, що не відносяться до метамови в його строгому розумінні, і разом з тим абсолютно достовірних міркувань, які ведуть повного обгрунтуванню математичного знання.
|
||
| « Попередня | Наступна » | |
|
|
||
Інформація, релевантна " 3. Надійність змістовного міркування " |
||
|
||