Головна
Аксіологія / Аналітична філософія / Антична філософія / Антологія / Антропологія / Історія філософії / Історія філософії / Логіка / Метафізика / Світова філософія / Першоджерела з філософії / Проблеми філософії / Сучасна філософія / Соціальна філософія / Середньовічна філософія / Телеологія / Теорія еволюції / Філософія (підручник) / Філософія мистецтва / Філософія історії / Філософія кіно / Філософія науки / Філософія політики / Філософія різних країн і часів / Філософія самоорганізації / Філософи / Фундаментальна філософія / Хрестоматії з філософії / Езотерика
ГоловнаФілософіяФілософія науки → 
« Попередня Наступна »
Пермінов В. Я. . Філософія і підстави математики - М.: Прогресс-Традиція. - 320с., 2001 - перейти до змісту підручника

4. Межі логічного обгрунтування

Поняття онтологічної істинності дозволяє по-новому поглянути на межі суворого обгрунтування математики. Оптимістичний момент, який ми достатньою мірою прояснили, полягає в тому, що до сфери суворого обгрунтування ми можемо віднести, в дійсності, значно більшу частину математики, ніж та система простих теорій, щодо яких можна провести доказ несуперечності в финитной метатеоріі.

Проте неважко переконатися, що намічена програма, навіть у найбільш ліберальної її формулюванні, все-таки не дає нам універсального підходу до вирішення проблеми. Ми повинні врахувати тут насамперед той факт, що сфера аподиктичні очевидною математики коррелятівіа сфері категоріального бачення світу, яка має позачасовий і інваріантний характер. Ми маємо підстави припускати, наприклад, що уявлення Евкліда про властивості прямих і площин ні в чому не відрізнялися від наших і що вони не можуть змінитися і для майбутніх математиків. Система аподиктических істин - це вузьке і абсолютно інваріантне ядро ??математичного знання, що має обмежені дедуктивні можливості. З іншого боку, безсумнівним є факт постійного ускладнення математичних структур. Хоча будь-яка математична теорія спирається на аподиктичні очевидний центр як на глибинне підставу свого методу, у становленні своїх визначень і принципів вона незалежна від його дедуктивних і конструктивних можливостей. Історія математики - це постійне ускладнення її структури, процес зародження теорій, що знаходяться за межами уяви попередніх поколінь математиків і якісно нових за складом своїх понять. Просте зіставлення цих двох фактів говорить про обмеженість сфери онтологічного обгрунтування: у нас немає підстав стверджувати, що будь-яка математична теорія може бути зведена до онтологічно істинної основі і обгрунтована на основі онтологічної істинності.

У своїй історії математика двічі наводилася до єдності свого змісту на основі невеликої групи самоочевидних принципів, що не піддаються сумніву. Перша така редукція (тривіалізація) була здійснена в «Засадах» Евкліда, другий, за загальним визнанням, - в середині XIX століття в роботах К. Вейєрштрасса і Р. Дедекинда по арифметизации аналізу. Можна стверджувати, що теорія множин, оскільки її аксіоми самоочевидні і оскільки вона визначає зміст існуючої математики, якраз і є базою нової тривіалізації. Проте ми повинні врахувати тут полуонтологіческій характер теоретико-множинної аксіоматики, і та обставина, що, будучи очевидною і гранично переконливою у своїй істинності, вона проте не володіє статусом аксіом арифметики і геометрії. Хоча теорія множин в певному сенсі уніфікує сучасну математику, вона не являє собою її онтологічного обгрунтування та таке обгрунтування для сучасної математики, швидше за все, недосяжно. Багато факти дозволяють думати, що арифметика, геометрія і теорія множин вичерпують в собі всі формалізуються аспекти універсальної онтології, внаслідок чого математика майбутнього не може мати будь-якого онтологічного підстави крім того, яке вже зафіксовано в рамках цих онтологічно зазначених теорій.

Якщо це так, то онтологічне обгрунтування математики поширюється тільки на частину математичних теорій, що не дуже віддалених від історичного центру математики. Це означає, що використовуючи онтологічні доводи, ми можемо розширити можливості евклідіанского підходу, але не можемо прийти до програми, що має універсальне значення.

Це положення випливає і з безпосереднього розгляду програм обгрунтування. Гильбертовськой задум полягав якраз у створенні програми, що має універсальне значення. Цей задум, звичайно, не міг бути реалізований. Принципова обмеженість формалістской програми обгрунтування випливає вже з того факту, що кожне таке обгрунтування є індивідуальним, особливим для кожної теорії, пов'язаним з її конкретною структурою. Можливість формалістского обгрунтування безпосередньо залежить від складності теорії. Якщо обмежена арифметика піддається обгрунтуванню відповідно до гильбертовськой схемою, то арифметика в цілому не допускає такого обгрунтування, абсолютне обгрунтування аксіом геометрії без аксіоми безперервності не поширюється на геометричну. аксіоматику в цілому і т.д. Оскільки ця індивідуальність підходу,, залежність його конкретної структури теорії зберігається і при можливих розширеннях метатеоріі, про які йшла мова вище, то це розширення лише відсуває кордон досяжності, але ніколи не усуває її повністю. Програма логічного обгрунтування математики могла б претендувати на універсальність лише в тому випадку, якщо б вона виходила виключно із загальних властивостей математичної теорії, тобто з властивостей формальної структури взагалі, не зв'язуючи себе з конкретними якостями розглянутійтеорії типу финитности, разрешимости, складності та т. п.

Наша оцінка онтологічної програми, таким чином, повинна бути двоякою. З одного боку, ми повинні наполягати на її можливості істотно розширити сферу логічного обгрунтування математики. З іншого боку, ми повинні стверджувати, що розширення сфери дії логічних програм і використання методів змістовного обгрунтування несуперечності теорій на основі онтологічної істинності їх аксіом не усуває проблему обгрунтування в її загальній постановці. Звільнення від логічних обмежень, пов'язаних з поняттям финитности, що не відкриває ще нам шляху до універсальності. Усуваючи методологічні бар'єри типу финитности і конструктивності, ми неминуче зустрічаємося з онтологічним бар'єром, виникаючою з самої сутності логіко-онтологічного обгрунтування математики та допустимих тут засобів. Всяка логічна програма обгрунтування, як би широко вона не була сформульована, обмежена консервативної змістовної базою обгрунтування, прив'язаною до аподиктической очевидності, і індивідуальні-ми характеристиками самої теорії, які неминуче роблять її приватної програмою.

Тут можливі два виходи: або ми повинні вказати на деякі принципово нові підходи, досить якісні і співмірні математики в цілому, або ми повинні погодитися з фаллібі-листские ідеєю про неможливість повного обгрунтування математики, обумовлюючи при цьому , що ця теза не відноситься до теорій, підлеглим теорії множин, які в принципі можуть одержати абсолютну обгрунтування своєї несуперечності.

Наш успіх в цьому випадку буде полягати в тому, що ми обгрунтували абсолютну надійність деяких теорій, логічне обгрунтування яких вважалося неможливим, відвоювавши у скептиків деяку область за межами простих систем в метатеоретіческіе їх розумінні.

Багато фактів вказують на те, що ми повинні рухатися в Згідно з першим варіантом. Практика показує, що суворість математичної теорії не залежить від характеру принципів, що лежать в її основі. Немає жодних підстав вважати, що математик, розмірковує про топологічних класифікаціях або імовірнісних розподіли, міркує менш суворо, ніж математик, вирішальний елементарну арифметичну задачу. Будь математична теорія незалежно від свого змісту поводиться як абсолютно певна система, що гарантує отримання істинних наслідків з істинних посилок. Але це означає, що причини, що примушують нас розглядати математичне міркування в якості абсолютно суворого, ніяк не залежать від змісту його посилок і від можливості редукції його змісту до аподітіческі очевидним істинам або до безсумнівно обгрунтованим теоріям. Але існування загальнозначущого, практичного критерію строгості міркування, не пов'язаного з утриманням теорії, передбачає і наявність відповідного теоретичного критерію, тобто системи принципів, що обгрунтовують наше сприйняття математичного мислення як абсолютно надійного.

Основний недолік логічного підходу до обгрунтування математики полягає не в тому, що він не дає абсолютного обгрунтування - аргументи скептиків тут абсолютно неспроможні, а в тому, що він не випливає із загального визначення математичної теорії і, отже , свідомо не може претендувати на універсальність. Теоретична завдання полягає, таким чином, в переході до нових критеріїв, які б поєднували в собі абсолютність обгрунтування, загальзначимість і універсальність - застосовність до математики в цілому.

т

<СПроблема полягає не в тому, щоб усувати протиріччя, а в тому, щоб показати, що вони не виникають »

Л.Витгенштейн. «Лекції з філософії математики.»

«На перший погляд здається, що парадокси призводять до краху всієї будівлі математики, уважне розгляд показує, однак, що вони є проблемою для логіки та епістемології, але не для математики »

К.Гедель« Що таке канторовской континуум гіпотеза? »

« Попередня Наступна »
= Перейти до змісту підручника =
Інформація, релевантна "4. Межі логічного обгрунтування"
  1. 14. Соціальні норми
    межі можливого, належного і забороненої поведінки. Ознаки соціальних норм: Соціальний (суспільний) характер - регулюють відносини між людьми. Загальний характер - являють собою не конкретні вказівки, а загальні моделі людської поведінки. Предмет регулювання - стандартні, типові відносини. Нормативне регулювання передбачає формування офіційних моделей правомірної
  2. Поняття вікової неосудності.
    Пределенія соціально-економічних умовах; б) ідеологічні, соціально-психологічні установки щодо соціальної, правової, кримінально-правової відповідальності осіб цього віку; в) можливості держави щодо поліпшення становища підростаючого покоління, у тому числі в напрямку розширення зусиль суспільства з попередження правонарушающего поведінки і т.п. В даний час
  3. § 2. Короткий нарис розвитку проблеми
    пределенія законодавчих формулювань складів злочинів і санкцій. Разом з тим слід зазначити, що вже в перші роки Радянської влади пошуки нових шляхів і форм боротьби за соціалістичну законність, за викорінення злочинності переконували в необхідності рішучої відмови від буржуазно-правової догматики і формалізму, в доцільності розробки теоретичних основ кримінального права.
  4. § 4. Теорії складу злочину як єдиної підстави кримінальної відповідальності
    пределяет кон кретного суспільно небезпечне для соціалістичної держави дія (бездіяльність) як переступив лення »2. «Представляючи собою сукупність елементів кон кретного злочину, склад не може ні в одному своєму« роді »або« вигляді »бути загальним. Склад преступле ня завжди реальний, завжди конкретний »3. «Серед зазначених у законі елементів складу немає« обраних », немає елементів
  5. § 1. Передумови кримінальної караності і елементи складу злочину
    пределяет межі караності в часі (давність), 3) передумови, що визначають межі дії кримінального закону в часі і просторі. При розгляді проблеми передумов кримінальної караності і складу злочину ми будемо стосуватися тільки передумов, коррес-98 ня, що характеризують специфіку кримінальної протиправності '. Ст. 2 Основ кримінального судочинства та
  6. § 1. Поняття злочину
    пределеніе в кримінальному законі поняття злочину. Не виняток і новий КК РФ, де в ст. 14 встановлено: "Злочином визнається винне досконале суспільно небезпечне діяння, заборонене цим Кодексом під загрозою застосування покарання". Вважаючи, що дане визначення містить чотири найбільш актуальних типу взаємозв'язку (родовий і видовий, зовнішній і внутрішній, об'єктивний і
  7. § 2. Види злочинів
    межами, що впливає на суспільну небезпеку окремого злочину. Визнавши доцільне не обмежитися лише вказівкою на кількість і найменування категорій злочинів, а вказати їх відмітні ознаки, законодавець встановив: "Злочинами невеликої тяжкості зізнаються навмисні і необережні діяння, скоєння яких максимальне покарання, передбачене цим
  8. § 1. Поняття об'єкта злочину
    пределенія суспільні відносини, і лише вони. Посилаючись на законодавство і общепризнанность в літературі, багато авторів підкреслюють принципову значимість такого роду уявлень про об'єкт злочину, їх важливість для правильного з'ясування соціальної сутності і суспільної небезпеки будь-якого злочинного посягання. Що ж до іншої сторони розглянутої концепції, то тут
  9. § 1. Основні цивільно-правові системи сучасності
    пределяет значення , оскільки скопіювати завжди легше, ніж створювати своє. Цивільно-правова система (сім'я) являє собою об'єднання декількох держав за ознакою єдності основних закономірностей здійснюваного в них цивільно-правового регулювання суспільних відносин. Цивільно-правова система, як поняття, похідна від правової системи в широкому сенсі цього слова.
  10.  Глава четвер-тая. ХАРАКТЕРИСТИКА І ПОНЯТТЯ ДЕРЖАВИ
      меж і пояснити основні характеристики держави, тобто вказати його головні ознаки і, тим самим, розкрити природу держави, сформувати його розуміння (поняття), - одна з основних задач теорії дер-жави. Пізнати природу держави - означає виявити головне і визначальне в його функціонуванні та розвитку, в його соціальній цінності і призначення. Це означає зрозуміти держава в
  11.  Глава сьома. ДЕРЖАВА У ПОЛІТИЧНІЙ СИСТЕМІ СУСПІЛЬСТВА
      пределеніе предмета теорії держави і права, яке було обо-значилися в самій першому розділі: предметом вивчення та пояснення є не тільки держава і право, а й органічно пов'язані з ними політичні та інші явища і процеси. Крім того, порівняння, зіставлення держави та інших соціальних інститутів суспільства також дозволяє краще пізнати державу як політичну організацію
  12.  Глава восьма. ТЕОРЕТИЧНІ ПИТАННЯ РОСІЙСЬКОЇ ДЕРЖАВНОСТІ
      пределенія увагу своєрідності Російської держави в XX столітті. Занадто багато чого - і позитивне, і негативне - пов'язано в історії Росії XX століття саме з радянською формою правління, радянським політико-правовим режимом, радянської територіальною організацією суспільства, і в цілому з так званим «радянським будівництвом». Таким чином, теоретичний розгляд державно-правової
  13.  Глава дев'ята. ТЕОРІЯ ПРАВА ЯК ЮРИДИЧНА НАУКА
      пределенія основу і добротні наукові перспективи. Насамперед це означало б методологічний розрив з попередніми догматичними уявленнями, в тому числі з гіперболізацією примусової ролі держави до появі та функціонуванні права. У сучасній юридичній літературі з'явилися новаторські і цікаві роботи, що прокладають шлях у цьому новому напрямку, розчищають запали
  14.  Глава тринадцята. НОРМА ПРАВА
      пределенія норм формує певний правовий інститут, підгалузь, галузь права, право в цілому. У свою чергу норма має складну структуру, перш за все ядро ??- правило поведінки, навколо якого «обертаються» її елементи, з'являються її ознаки. Норма права може видозмінюватися, ділитися, укрупнюються, і її не так-то просто «витягти» з тієї словесної оболонки, в яку вона оповита в
  15.  Глава шістнадцята. ПРАВОТВОРЧЕСТВО
      пределяется теорією права як правотворчість. Отже, правотворчість - це організаційно оформлена, встановлена ??процедурна діяльність державних органів щодо створення правових норм, або за визнанням правовими сформованих, діючих у суспільстві правил поведінки. Зрозуміло, що правотворчий процес є об'єктивно зумовленим. Динаміка суспільного життя, практика формування
  16.  Глава дев'ятнадцята. Правомірної поведінки, ПРАВОПОРУШЕННЯ І ЮРИДИЧНА ВІДПОВІДАЛЬНІСТЬ
      Межа останні як об'єктивні чи суб'єктивні потреби і життєдіяльності суб'єктів права. Розрізняють особисті, громадські, державні, національні й інші інтереси. У фізичних осіб інтерес завжди формує ті чи інші особистісні установки схильності, штампи, ціннісні орієнтири, цілі, способи їх досягнення та інші свідомі і емоційні сторони поведінки, знати і