Головна
Аксіологія / Аналітична філософія / Антична філософія / Антологія / Антропологія / Історія філософії / Історія філософії / Логіка / Метафізика / Світова філософія / Першоджерела з філософії / Проблеми філософії / Сучасна філософія / Соціальна філософія / Середньовічна філософія / Телеологія / Теорія еволюції / Філософія (підручник) / Філософія мистецтва / Філософія історії / Філософія кіно / Філософія науки / Філософія політики / Філософія різних країн і часів / Філософія самоорганізації / Філософи / Фундаментальна філософія / Хрестоматії з філософії / Езотерика
ГоловнаФілософіяФілософія науки → 
« Попередня Наступна »
Пермінов В. Я. . Філософія і підстави математики - М.: Прогресс-Традиція. - 320с., 2001 - перейти до змісту підручника

4. Несуперечливість змістовно аксіоматизована теорії

Становлення незруйновного центру теорії неминуче призводить до виявлення стабільної аксіоматики, яка визнається адекватною змісту теорії і стає, в кінцевому підсумку, найбільш суворим її визначенням. Аксіоматика набуває завершеність і нерухомість внаслідок завершеності визначального її фрагмента теорії.

Тут важливим для нас є та обставина, що будь-яка аксіоматика визначається кінцевим числом теорем, що утворюють визначальний фрагмент теорії. Розширення надійного центру теорії, захоплюючи її визначальний фрагмент, надає аксіоматиці остаточний характер, незалежний від подальшого розвитку теорії. Хоча добре аксіоматизована теорія продовжує свій розвиток, збагачуючи себе новими ідеями, вона розвивається вже в системі координат, встановлених на основі кінцевого фрагмента теорії, який не допускає змін у системі своїх внутрішніх зв'язків, а отже, і в складі системи аксіом.

Факт несуперечності системи аксіом сам по собі недостатній для висновку про несуперечності аксіоматизована теорії в цілому, оскільки в змістовної теорії залишається відкритим питання про коректність визначень, фактично використовуваних при її аксіоматичному поданні. Заплановане тут розуміння генезису визначень дозволяє усунути сумніви щодо цього. Що стає центр теорії фіксує не тільки систему аксіом, а й систему допустимих визначень. Невелике міркування показує, що факт приналежності визначення центру теорії виправдовує не тільки це конкретне визначення, але і його загальну схему, обгрунтовуючи, таким чином, всю систему пов'язаних з нею похідних визначень.

У розвитку математичної теорії, таким чином, має місце кінцева детермінація аксіом і визначень, необхідних для систематичного аксіоматичної побудови теорії в цілому. Встановлена ??система аксіом не може бійтеся в протиріччя з центральними положеннями теорії, оскільки вона перебуває з ними щодо ідеальної фактуальной істинності, вона не може увійти в суперечність і з твердженнями, що виходять за межі визначального фрагмента, оскільки ці твердження є судженнями про об'єкти, введених на основі правил, що визначають будову незруйновного центру теорії.

Несуперечність аксіоматизована теорії встановлюється, таким чином, в кінцевому полі перевіряються варіацій, на основі узгодження кінцевого безлічі центральних теорем теорії про дедуктивно визначальною їх системою аксіом. Як ми з'ясували вище, процес цього узгодження конечен в часі і завжди доводиться до стану повної завершеності.

Загальна логіка історичного самообоснованія математичної теорії виглядає наступним чином: на основі деякого первинного, достатньо розвиненого фрагмента теорії ми встановлюємо її логічні координати, що складаються з системи аксіом та правил введення нових об'єктів (ухвал), які сумісні З ВИХІДНИХ фрагментом теорії як фактуально істинні. При достатньому розвитку центрального ядра теорії ці координати встановлюються однозначним і не підлягає коригуванню чином. Тим самим виділяється аксіоматизована фрагмент теорії, що складається з нескінченного числа тверджень, який слід вважати абсолютно обгрунтованим, бо його розгортання в рамках прийнятих аксіом та правил введення об'єктів в принципі не може привести до протиріччя, разрушающему принципи теорії. Загальнозначущим критерієм несуперечності є тут стабільність системи аксіом.

Важливо відзначити, що затвердження несуперечності системи аксіом ні в якій мірі не спирається тут на поняття їх онтологічної істинності і будь-якої зовнішньої істинності взагалі. Якщо при онтологічному обгрунтуванні ми виводимо несуперечливість аксіоматики з онтологічної істинності і аподиктической очевидності аксіом, то тут ми мислимо у відповідності зі схемою: кінцева визначність математичних об'єктів -? розширення незруйновного центру -? фактуальная істинність системи аксіом -? несуперечливість аксіоматизована теорії. Основою цього міркування є подання про неминучий становленні незруйновного центру теорії, який визначає її закінчену аксіоматику, а також і коректність її внутрішніх визначень.

Теоретики емпіріцізма справедливо вказували на той факт, що сфера.самоочевідності в математиці обмежена і що аксіоми складних математичних теорій генетично настільки ж вторинні стосовно їх змісту, як і принципи фізики.

Ця обставина, звичайно, важливо: воно показує, що евклідіанская схема не характеризує логіки розвитку математичної теорії. Вони, однак, помиляються, намагаючись вивести з цього факту можливість коригування встановлених аксіом і релятивність підстави математичних теорій взагалі. Єдність схеми становлення математичних і фізичних принципів не означає тотожності їхнього статусу. Математичні аксіоми встановлюються на основі кінцевого фрагмента теорії і вони встановлюються як остаточні, що визначаються тільки незруйновним фрагментом теорії. Математичні теорії переживають період становлення основ, але вони не переживають революцій, що змінюють ці основи.

Аналіз логіки становлення аксіом приводить нас до більш ясного розуміння неспроможності ідеї глибоко прихованих суперечностей в визнаної математичної теорії. Аналіз логіки становлення аксіом показує, що суперечності в об'єктах за межами визначального фрагмента байдужі для аксіоматики і для аксіоматизована теорії в цілому. Схема логічного проходження Хітмккі, згідно з якою аксіоматика може містити суперечності, які виявляються тільки у віддалених наслідках теорії, є конструкцією, корисної для логіки, але не має відношення до реальних математичним теоріям. З системної точки зору стабільна аксіоматика визначається кінцевим фрагментом теорії та за умови своєї фактуальной істинності вона не може бути похитнулася-якими зв'язками за його межами.

Сказане означає, що розвиток будь-якої математичної теорії еквіфінальних в сенсі неминучості встановлення її твердих і непохитної основ. Розуміння цієї обставини усуває всякий релятивізм у розумінні математичного знання, привнесений поверхневими емпіричними аналогіями.

« Попередня Наступна »
= Перейти до змісту підручника =
Інформація, релевантна " 4. Несуперечність змістовно аксіоматизована теорії "
  1. Теоретичні методи.
    Несуперечності математичних теорій, незалежності аксіом та ін Питання такого роду вирішуються шляхом використання спеціальної символіки, що дозволяє оперувати нема з твердженнями теорії в їх змістовному вигляді, а з набором символів, формул різного роду і ін Друге - в широкому сенсі - під формалізацією розуміється метод вивчення різноманітних проблем шляхом відображення їх змісту,
  2. Предметний покажчик
    змістовне 283 - формальне 18 Достовірність 40 Індукція - повна 177 - трансфинитное 207 Інтуіціонізм 186 Істина - гносеологічна 98 - онтологічна 179 - семантична 150 - формальна (логічна) 150 - фактуальная 150 - емпірична 150 Конвенціоналізм 216 Конструктивізм 157 Логіка - математична 78 - предметна 113 - реальна 78, 115, 117-121, 124, 145
  3. 4. Про визначеності критерію стабільності
    несуперечності змістовно аксіоматизована математичної теорії. На відміну від конструктивного або логічного критеріїв цей критерій представляється неоднозначним і мало прийнятним для суворого вирішення питання в конкретних випадках. Ми розглянули вище два критерії, що визначають коректність математичного міркування. Це аподиктичні очевидність кроків докази як
  4. 3. Надійність змістовного міркування
    несуперечності, наприклад, аксіоматизована теорії множин, але ми потребуємо такого міркуванні, в якому вбачалася б гарантія того, що суперечності фактично не можуть з'явитися в теоріях, що задовольняє нашим критеріям, філософське обговорення проблеми несуперечності, що претендує на встановлення суворих критеріїв, представляється в цьому відношенні деяким протиріччям,
  5. Несуперечність змістовної теорії
    несуперечності змістовної аксіоматики ми повинні перейти тепер до несуперечності змістовної теорії в цілому . Так як змістовно аксіоматизована теорія залишає відкритим питання про прийнятну логіці, то тут виникають проблеми, які стосуються прийнятності деяких типів визначень, що мають суто логічну природу. Такі, наприклад, непредикативні (самопріменімості)
  6. 5. Практична несуперечливість математичної теорії
    несуперечності. Дослідження цієї щаблі є важливим для розуміння рівня надійності звичайних математичних міркувань, з якими математик має справу в книгах, статтях і підручниках. Будемо називати математичну теорію зрілої або практично несуперечливої, якщо вона має неразрушими фрагмент, достатній для виправдання повної системи аксіом, а отже, і для обгрунтування
  7. Глава чотирнадцята. СИСТЕМА І СТРУКТУРА ПРАВА
    несуперечливої ??системи права. Однак це майже ніколи не вдавалося: суперечливість законів була швидше правилом, ніж винятком. Причин цьому було і залишається багато. Одна з них полягає у позаправових факторах, коли систему права зламують економічні, соціальні зміни, наприклад, перехід від соціалістичного ладу до соціально-регульованої ринкової економіки. Інший фактор -
  8. 9.1. Народовладдя в контексті духовного досвіду російського зарубіжжя
    несуперечливість радянської системи була наслідком того, що радянська влада була організована за «принципом матрьошки», так як замість принципу спеціалізації функцій в основі радянської системи лежав принцип заміщення. Іншими словами, Рад усіх рівнів володіли ідентичними повноваженнями відповідно до радянської різновидом принципу субсидіарності. Це означало, що «кожен
  9. 1. Позитивна метафізика не має в межах теоретичного розуму предметної області
    несуперечності власного сенсу одиничного описового імені, власного сенсу описового загального імені, а також умова несуперечності змісту поняття, щоб визнати існування відповідних їм сутностей (предметів)? Сучасна теорія поняття, викладена в книзі Войшвилло, як видається, під фактичною порожнечею поняття має на увазі неіснування предметів,
  10. 3. У позитивній теоретичної метафізиці існує ефективна процедура обгрунтування a priori необхідної істинності її суджень, що розширюють пізнання.
    Несуперечливо мислиме, і вибір А-постулатів (постулатів аналітичності або постулатів значень) можна обмежити вимогою несуперечності явних визначень слів природної мови, що виконують функцію А-постулатів. У свою чергу вибір (прийняття) А-постулатів a priori на основі критерію несуперечності їх сенсу означає, що ми автоматично виділили з безлічі мислимих
  11. 4. Проблема способу викладу позитивної теоретичної метафізики як науки
    несуперечливого викладу в певній послідовної, доказової формі. У цьому відношенні еталон для метафизиков і філософів, що будують філософські системи, - геометрія Евкліда, побудована на основі змістовного аксіоматичного методу ще в IV столітті до нашої ери в його знаменитих "Засадах" 78. У ній наочно продемонстрована досяжність необхідно істинного знання. Тому багато
  12. 5. Реальні норми науковості для позитивної теоретичної метафізики. Знання і віра. Місце віри в системі знання
    несуперечності елементарної арифметики, математика не перестала бути наукою. За аналогією зі станом науковості в математиці, ми можемо укласти, що обмеженість застосовності геометричного методу в філософії, неможливість повної її формалізації як деякої єдиної теорії не може служити підставою для позбавлення філософії, і зокрема, позитив-ної теоретичної метафізики статусу
  13. Когнітивне напрямок в дослідженнях аттитюда
    несуперечливі, послідовні і взаємозалежні знання. Найімовірніше, теорію когнітивного дисонансу краще було б назвати общепсихологической теорією (див.: Андреева, Богомолова, Петровська, 1978). 48 А.А. Девяткин Як вже зазначалося, в основі теорії когнітивного дисонансу лежить взаємодія структур. Терміни «дисонанс», «консонанс» і «іррелевантние відносини» використовуються для
  14. «Механізм» вибору можливостей навколишнього світу і екологічний компонент соціальної установки
    несуперечливу інтерпретацію. Інша інформація буде або ігноруватися, або вести до безглуздих результатами »(Найссер, 1981, С.74). Тут якраз і полягає то головне для нас, що визначає цінність поняття «схема», - її особливий пристрій дозволяє здійснювати антиципацію, передбачення. Повертаючись тепер до розуміння інформації у Гібсона, ми приходимо до висновку, що через
  15.  Форми наукового пізнання.
      змістовних теоріях начебто фізики - законів) і наслідків, а також приложе-ний в практику. Разом з тим нікому ще не вдалося вибудувати теорію на одному-єдиному принципі: як правило, їх завжди декілька. Ми вже говорили про те, в яких стосунках повинні знаходитися аксіоми або принципи теорії. В цілому, в підставах не буває суперечать один одному принципів і зайвих принципів, хоча
  16.  Програма формалізму: математика як конструювання формальних систем
      несуперечлива. Крім Гільберта, в розробці програми в різний час при-нітрохи активну участь такі логіки і математики, як В. Аккер-ман, П. Бернайс, Г. Генцен, Дж. фон Нейман і Ж. Ербран. Програма Гільберта включає наступні тези: - Ні класична, ні логіцістская, ні интуиционистская програми обгрунтування математики не запропонували критерію, що обгрунтовує всю математику. Таким
  17.  Філософія метаматематики Гільберта
      несуперечності. Гільберт не міг прийняти перших можливість, тому що надзвичайно високо цінував теорію Кантора, назвавши її «заслуговуючим подиву квіткою математичного духу». Проте головною причиною було те, що вона служила підставою провідних розділів математики. Відмова від теорії множин означав би фактично руйнування з таким великим трудом побудованого будинку всієї математики. Гільберт