Головна
Аксіологія / Аналітична філософія / Антична філософія / Антологія / Антропологія / Історія філософії / Історія філософії / Логіка / Метафізика / Світова філософія / Першоджерела з філософії / Проблеми філософії / Сучасна філософія / Соціальна філософія / Середньовічна філософія / Телеологія / Теорія еволюції / Філософія (підручник) / Філософія мистецтва / Філософія історії / Філософія кіно / Філософія науки / Філософія політики / Філософія різних країн і часів / Філософія самоорганізації / Філософи / Фундаментальна філософія / Хрестоматії з філософії / Езотерика
ГоловнаФілософіяФілософія науки → 
« Попередня Наступна »
Пермінов В. Я. . Філософія і підстави математики - М.: Прогресс-Традиція. - 320с., 2001 - перейти до змісту підручника

1. Проблема прихованих суперечностей

Факт ретротрансляціі істинності, розглянутий вище, приводить нас до важливого поняттю визначального фрагмента математичної теорії. Назвемо визначальним фрагментом математичної теорії сукупність її тверджень (теорем), достатню для виведення її повної аксіоматики. Першим і природним визначальним фрагментом математичної теорії є сукупність її найбільш простих і відомих теорем, з якими ми пов'язуємо саме її існування. Набір цих теорем для конкретної теорії, як показує практика, не особливо великий: перші два десятка теорем, як відомо, вимагають використання всієї системи аксіом планіметрії і, таким чином, у відповідності зі схемою modus tollens, в свою чергу, достатні для висновку повної аксіоматики цій частині геометрії. В якості визначального фрагмента можуть бути взяті й інші сукупності тверджень теорії, дедуктивно еквівалентні повній системі аксіом. Теорема Піфагора в евклідової геометрії сама по собі може вважатися визначальним фрагментом для планіметрії, бо визнання її істинності рівнозначно визнанню справедливості всієї аксіоматики евклідової планіметрії. Ясно, що будь-яка математична теорія містить нескінченну кількість фрагментів, дедуктивно еквівалентних повної аксіоматиці теорії. З системної точки зору найбільш важливим є уявлення про природному визначальному фрагменті теорії як про сукупність її центральних теорем, які задають логічний остов теорії і визначальних систему її принципів. Логіка системного аналізу заснована на розгляді цього фрагмента як генетично первинного і визначального структуру теорії в цілому. Нам важливо тут розглянути взаємодію цього фрагмента теорії з системою аксіом, прийнятих як його загального логічного виправдання.

Будемо вважати фрагмент математичної теорії приховано суперечливим, якщо в ньому не міститься явного протиріччя виду «А і не-А», але використання ув'язнених у ньому тверджень дозволяє довести два несумісних один з одним твердження, т. е. отримати в рамках суворої дедукції твердження виду «А і не-^ 4». В системі аксіом з логічної точки зору може існувати декілька істотно різних типів прихованого протиріччя, будемо називати приховане протиріччя слабо прихованим, якщо воно може бути переведено в явне допомогою простого переходу від аксіоми до її тривіального аналогу. Так, якщо хтось висловлює аксіому паралельності і одночасно твердження про те, що існують три точки, через які не можна провести коло, то ясно, що він суперечить самому собі і це протиріччя легко розкривається доказом того твердження, що теза: «Існують три точки, через які не можна провести коло »вимагає відмови від аксіоми паралельності. Ми назвемо протиріччя в аксіоматиці істотно прихованим, якщо воно не розкривається через виявлення тривіальних аналогів аксіом, а вимагає розгляду деяких похідних об'єктів в рамках визначального фрагмента теорії. Ми будемо називати протиріччя в аксіоматиці глибоко прихованим, якщо воно не може бути розкрито в межах її елементарного визначального фрагмента. Продовжуючи цей ряд, можна говорити також про недосяжних протиріччях, які виявлюваністю в кінцевому розгортанні теорії, однак практично не можуть бути виявлені внаслідок несумірності цієї кінцівки з людськими ВОЗМОЖНОСТЯМІ3.

В історичному розвитку математичної теорії ми, починаючи з деякої системи тверджень середньої складності, рухаємося у двох напрямках: у бік обгрунтування нових, складніших тверджень і в сторону редукції даних тверджень до простішим. Можна позначити ці напрямки відповідно як напрямок ускладнення і напрямок тривіалізації. І в тому, і в іншому випадку ми можемо натрапити на протиріччя. Логічна теорія показує, що в розвивається теорії не може існувати вічно прихованих суперечностей, і що кожне протиріччя, закладене в деякій системі вихідних тверджень, набуває форму явного протиріччя на деякому кінцевому етапі ускладнення понятій4. Однак питання про можливість прояву протиріччя при русі у зворотний бік логічна теорія залишає відкритим.

Очевидно, що й тут протиріччя не може зникнути. Якщо правильно побудований (відповідно до вимог аксіоматичного методу) фрагмент математичної теорії виявляється тим не менше суперечливим, то це. може бути тільки результатом логічного дефекту в самому формулюванні аксіом. Хоча принцип зворотної передачі хибності діє і в емпіричних теоріях, в математичних теоріях він діє безумовно в тому сенсі, що наявність суперечності в системі теорем не може обійтися без коригування принципів. Суперечливість висновків у фізичній теорії може бути усунена зміною деяких приватних припущень, використаних у процесі виведення, без коригування загальних принципів. У добре аксіоматизована математичної теорії, де всі об'єкти, суттєві для доказу, введені відповідно до аксіомами, це виключено: будь-яке протиріччя в теоремах означає наявність протиріччя в аксіомах, тобто в системі елементарних тверджень про вихідні об'єктах.

Суперечливість фрагмента аксіоматизована математичної теорії припускає, таким чином, як суперечливість (явну) у деяких віддалених наслідках теорії, так і суперечливість (може бути, приховану) у системі аксіом. Питання, яке для нас тут принципово важливий, полягає в тому, в якій формі система аксіом може бути суперечливою при наявності протиріччя в теорії. Більш конкретно, нас цікавить, чи може аксіоматика в цьому випадку містити глибоко приховані протиріччя? Якщо протиріччя у віддалених наслідках теорії може редукувати до глибоко приховане протиріччя в аксіомах, то воно може залишатися невловимим для нас як завгодно довго, і ми повинні будемо погодитися з позицією скептиків, які вважають, що у нас немає підстав наполягати на повній несуперечності жодної з існуючих математичних теорій. Абстрактна логіка недостатня для вирішення цієї проблеми. З чисто логічної точки зору цілком допустимо положення, що протиріччя щодо похідного об'єкта, що міститься в теорії, при редукції його до системи аксіом перетворюється на приховане протиріччя цієї системи. У цьому випадку треба визнати, що тривіалізація теорії сама по собі не виявляє містяться в ній суперечностей і, загалом разі, не просуває нас до її логічному обгрунтуванню.

« Попередня Наступна »
= Перейти до змісту підручника =
Інформація, релевантна " 1. Проблема прихованих суперечностей "
  1. 1.Економіка і соціальна структура
    Розвиток капіталізму в Росії та інших країнах породило проблему його типології. Сучасна методологія розгорнула цю проблему в концепцію трьох ешелонів. Відповідно до цієї концепції можна говорити про три моделі (ешелонах) розвитку світового капіталізму: - ешелон розвиненого, класичного капіталізму - Англія, Франція, США, Канада, Австралія; - ешелон становлення буржуазних відносин в переплетенні з
  2. Драма «розселянення»
    Дослідження історії колективізації - цього драматичного повороту в житті села - протягом довгого часу грунтувалося на установках, закріплених в партійно-державних документах 30-х рр.., потім у «Короткому курсі історії ВКП (б) », а на початку 50-х рр.., доповнених роботою І.В. Сталіна «Економічні проблеми соціалізму в СРСР». Тому тематика робіт спочатку зводилася в основному до
  3. Глава пя-тая. ПРИСТРІЙ ДЕРЖАВИ
    Поняття пристрої государ-ства. Форма правління. Поділ та об'єднання влади, функцій і праці з державного управління. Законодавча, виконавча, судова влади. «Четверта» влада - засоби масової інформації. Влада голови держави. Національно-державне та адміністративно-територіальний устрій. Політичний режим. Види політичних режимів. Після того як
  4. Глава шоста. ФУНКЦІЇ І забезпечує їх СТРУКТУРНА ОРГАНІЗАЦІЯ ДЕРЖАВИ
    Поняття, зміст і ознаки функції держави. Общесоциальное, класове і національне у функціях держави. «Вічні питання» життя суспільства і функції держави. Еволюція функцій держави. Класифікація функцій. Структура держави, що забезпечує виконання функцій. Система органів держави. Державний апарат. Бюрократія і функції держави. Функції держави,
  5. Глава дев'ята. ТЕОРІЯ ПРАВА ЯК ЮРИДИЧНА НАУКА
    Теорія права і теорія держави. Предмет і методологія теорії права. Теорія права в системі суспільних наук. Загальна теорія права. Спеціальні теорії права. Теорія права і галузеві юридичні науки. Функції теорії права. У другій частині, присвяченій теорії права, розглядаються з урахуванням сучасного рівня юридичного знання функціонування та розвиток такого яскравого і складного соціального
  6. Глава сімнадцята. РЕАЛІЗАЦІЯ ПРАВА
    Поняття, форми, методи реалізації права. Застосування права: суб'єкти та стадії застосування права. Прогалини в праві. Аналогія закону і аналогія права. Пряма дія Конституції. У попередній темі про правовідносинах підкреслювалося, що мова йде про юридичній формі втілення права в життя. Наділення учасників суспільних відносин правами, обов'язками, перетворення їх на суб'єктів правовідносин,
  7. ГЛОСАРІЙ
    Адамецкі Кароль (1866 - 1933) - закінчив Технологічний інститут у Петербурзі; в лютому 1903 року, на місяць раніше Ф. Тейлора, виступив з публічною доповіддю застосування наукового методу у виробництві (в Південно-російському центрі гірничометалургійної промисловості). Адаптація працівника (в управлінні персоналом) - процес пристосування працівника до нового місця роботи (при переході в нову фірму, на
  8. § 1. Розвиток науки і культури в першій половині ХХ в.
    На початку XX в. значно прискорюються культурні процеси. Виникають нові наукові теорії, художні напрями. Стрімко змінюється повсякденне життя людей. На зорі нового століття всі колишні істини в області людських знань і практичної діяльності піддалися перегляду. У сфері науки значно розширилася здатність людини розуміти і контролювати навколишній світ. На рубежі
  9. ЛЕКЦІЯ 5ПОЛІТІКО-ПРАВОВА ДУМКА ВІДРОДЖЕННЯ ТА НОВОГО ЧАСУ
    Н. Макіавеллі і Ж. Боден. Т. Гоббс. Дж . Локк. 1. У період формування національних держав перед політичною теорією стали цілком нові завдання. У культурно-історичному плані нові проблеми були зумовлені Відродженням і Реформацією. Гуманістичний ідеал самодостатньої особистості в галузі політичної думки виражається в ре-шітелиюм розриві з середньовічною традицією, в пошуку нових
  10. 2.1.1. Причини створення служб зайнятості
    Протягом багатьох десятиліть економічна наука не визнавала наявності у нас в країні ринку праці. Зі сфери товарних відносин виключалася робоча сила, що аргументувалось відсутністю в країні безробіття і наявністю соціалістичної (загальнонародної) власності як економічної основи держави. Вважалося, що в умовах соціалізму людина не відділений від засобів виробництва, і саме
  11. О. Т. ЕрмішінВ. С. Соловйов і С. Н. Трубецького - ІСТОРИКИ давньогрецький філософ
    В. С. Соловйов проявив себе не тільки оригінальним філософом, а й видатним істориком філософії. Давньогрецькі мислителі, особливо Платон, мали для нього дуже велике значення. Саме давньогрецьке філософський світогляд, що знайшло оформлення в платонівської картині світу, використовувалося російським філософом в якості основи для побудови власної системи. Про це можна судити, в
  12. 1.Економіка і соціальна структура
    Розвиток капіталізму в Росії та інших країнах породило проблему його типології. Сучасна методологія розгорнула цю проблему в концепцію трьох ешелонів. Відповідно до цієї концепції можна говорити про три моделі (ешелонах) розвитку світового капіталізму: - ешелон розвиненого, класичного капіталізму - Англія, Франція, США, Канада, Австралія; - ешелон становлення буржуазних відносин в переплетенні з
  13. 3.Драма «розселянення»
    Дослідження історії колективізації - цього драматичного повороту у житті села - протягом довгого часу грунтувалося на установках, закріплених в партійно-державних документах 30-х рр.., потім в «Короткому курсі історії ВКП (б)», а на початку 50-х рр.., доповнених роботою І . В. Сталіна «Економічні проблеми соціалізму в СРСР». Тому тематика робіт спочатку зводилася в основному
  14. 8.3. Реалізація основних принципів правової держави в Російській Федерації
    Всі вищеназвані принципи правової держави закріплені в Конституції РФ в ст. 1, яка проголошує Росію демократичною правовою державою. Необхідно підкреслити, що в ній говориться не про прагнення до правової держави, а про наявність його в РФ вже нині, точніше, з моменту прийняття Конституції в 1993 м. Однак принципи правової держави в РФ реалізуються з настільки
  15.  17.1. Основні проблеми екологічного права
      Основне призначення екологічного права - забезпечення конституційного права кожного на сприятливе навколишнє середовище (ст. 42). За рахунок природи людство активно задовольняє свої численні потреби в продуктах харчування, енергії, середовища проживання. При цьому людство активно використовує природні ресурси, вільно чи мимоволі завдаючи їм шкоди своєю діяльністю. З метою обмеження