Головна
Аксіологія / Аналітична філософія / Антична філософія / Антологія / Антропологія / Історія філософії / Історія філософії / Логіка / Метафізика / Світова філософія / Першоджерела з філософії / Проблеми філософії / Сучасна філософія / Соціальна філософія / Середньовічна філософія / Телеологія / Теорія еволюції / Філософія (підручник) / Філософія мистецтва / Філософія історії / Філософія кіно / Філософія науки / Філософія політики / Філософія різних країн і часів / Філософія самоорганізації / Філософи / Фундаментальна філософія / Хрестоматії з філософії / Езотерика
ГоловнаФілософіяФілософія науки → 
« Попередня Наступна »
Пермінов В. Я. . Філософія і підстави математики - М.: Прогресс-Традиція. - 320с., 2001 - перейти до змісту підручника

2. Захист фінітізма

Метод абсолютного обгрунтування несуперечності формалізованої теорії реалізується для простих обчислень,-таких, як числення висловів, обчислення предикатів і абстрактна теорія груп, але він виявляється непридатним для основних теорій, з якими має справу математика. Нерозв'язною виявилася вже завдання обгрунтування несуперечності формалізму арифметики. Прийнято вважати, що причини цієї обмеженості повністю розкриваються теоремою К. Геделя про неповноту (1931), яка стверджує, що якщо обчислення несуперечливо і є достатнім для вираження аксіом арифметики, то його несуперечність не може бути доведена в метатеорії, що допускає арифметизации. Оскільки досить очевидно, що будь-яка метатеорія, що має справу тільки з синтаксисом теорії, аріфметізіруема, то ні арифметика, ні аналіз, ні теорія множин, взяті у вигляді формалізмів, всупереч очікуванням Гільберта не можуть розраховувати на обгрунтування несуперечності в финитной метатеоріі. Ми повинні говорити в цьому випадку про повний провал програми Гільберта.

Гільберт, як відомо, не погодився з таким трактуванням результату Геделя. «... Я хотів би підкреслити, - писав він, - що виникло на певний час думка, ніби з деяких недавніх результатів Геделя слід нездійсненність моєї теорії доказів, є помилкою. Цей результат насправді лише показує, що для більш глибоких доказів несуперечності финитная точка зору повинна бути використана деякими більш сильним чином, ніж це виявилося необхідним при розгляді елементарних формалізмів »51.

Під посиленням фінітного підходу Гільберт має тут на увазі використання методу ідеальних елементів.

Дослідження Гільберта і Бернайса показували, що метатеорія, необхідна для обгрунтування арифметики та аналізу, повинна містити такі аксіоми: 1.

Аксіоми числення висловів (1-6). 2.

Аксіоми рівності 7.

А = а; 8.

А = Ь (А (а) А (Ь)). 3.

Аксіоми числа 9.

А + 1 І0; 10.

8 (а + 1) = а. 4.

Трансфинитное аксіома 11.

А (ТА) - + А (а) 52.

Остання аксіома включає себе нефінітних, але як уже сказано, її передбачуване використання в доказах обумовлюється можливістю її елімінації з докази. Перша реакція Гільберта на теорему Геделя виходила з його впевненості в тому, що елімінація е-функції безсумнівно забезпечена, принаймні, в доказах несуперечності арифметики та математичного аналізу. Подальші дослідження, однак, виявили непереборні труднощі в реалізації цього плану. У «Підставах математики» Гільберт і Бернайс повинні були визнати, що поки не володіють засобами для суворого обгрунтування арифметики у відповідності з початковим замислом53.

Визнаючи важливість теореми Геделя про несуперечність як накладає істотні обмеження на програму Гільберта, ми повинні, однак, уникнути її надмірно радикального тлумачення, при якому вона мислиться як закриває шлях до фінітними обгрунтуванню математичних теорій взагалі. Насправді, фінітні обгрунтовуючих міркування, звичайно, мають місце. Таким безумовно фінітним і абсолютним обгрунтуванням для арифметики, як уже говорилося, є її інтуїціоністське уявлення.

Формалістской теорія відкриває тут нові можливості, про що свідчать дослідження самого Геделя. Якщо інтуїціоністське уявлення арифметики вважати її фінітним обгрунтуванням (у нас не може бути заперечень проти такої оцінки), то можливість занурення формалізму класичної арифметики в формалізм интуиционистской, обгрунтована Геделем, може розглядатися як абсолютне обгрунтування несуперечності формалізму класичної арифметики, проведене фінітними засобами. Гільберт і Бернайс визнали факт финитности геделевскогс обгрунтування, відхиливши його, проте, як прийнятне для формалістского підходу. Геделевское міркування, на їх думку, відходить від теорії докази, оскільки воно істотно спирається на змістовну інтерпретацію логічних операцій, які є елементом формалізованої теоріі54.

Цей момент принципово важливий, бо він показує можливість змістовного фінітного міркування, що забезпечує абсолютне обгрунтування математичної теорії, але не володіє властивістю аріфметізіруемості. Радикальна інтерпретація теореми Геделя, яка забороняє можливість фінітного обгрунтування математичної теорії взагалі, невиправдано ототожнює вимога финитности метатеоріі з її аріфі ^ зтізіруемостью, обмежуючи тим самим можливості суворого обгрунтування можливостями обгрунтування в аріфметізіруемой метатеоріі.

Радикальна критика формалістской програми, яка виходить із теорем Геделя, є, як показує аналіз, помилковою також в тому сенсі, що вона приписує цим теоремам значно більшу спільність, ніж та, якою вони володіють за логікою докази. Загальний висновок теореми Геделя про несуперечність засноване на формулі:

Consis Т G,

де Consis Т твердження про несуперечності арифметики, а G - формула, завідомо невиводимість в арифметиці. Так як формула Consis Т -> G виведена в арифметиці, то доказ в метатеорії несуперечності арифметики вело б до визнання виводимості формули G, невиводимість якої доведена. С. Фе-ферман показав, що в принципі можливо побудова більш слабких формул, відповідних змістовному змістом Consis Т, для яких недовідна імплікація Consis Т -? G і виведення яких в метатеорії, таким чином, не входить в протиріччя з теоремою Геделя55. Радикальне тлумачення теореми Геделя помилково, оскільки воно виходить з припущення, що теорема Геделя істинна не тільки для форми Consis Т, використовуваної в доказі Геделя, але для всіх формальних виразів, які можуть бути витлумачені як твердження про несуперечності теорії.

Питання про те, чи можуть ідеї Феферман надати впливом на реальну практику обгрунтування, може бути з'ясовано тільки в сфері логічного аналізу. Ясно, однак, що обгрунтування можливості альтернативних Consis Т, навіть чисто теоретичне, відхиляє радикальну оцінку програми Гільберта, як обмежену лише сферою тривіальних теорій, більш слабких, ніж арифметика.

Ми бачимо, таким чином, дві можливості розширення фін-тизма і фінітного обгрунтування несуперечності математики без протиріччя з теоремою Геделя. Це, по-перше, розширення метатеоріі за рахунок змістовних припущень, що відносяться до теорії, а, по-друге, її розширення через, виведення нестандартних (слабших) Consis Т в аріфметізірованіой метатеоріі.

З'ясування цих можливостей важливо для оцінки сучасних підходів до обгрунтування математики, що претендують на фінітними. У цьому зв'язку слід відзначити дослідження А.С. Єсеніна-Вольпіна по ультраїнтуїционістськой обгрунтуванню математики. Автор запропонував концепцію арифметики, побудовану на допущенні практичної нескінченності кінцевих чисел натурального ряду і спробував обгрунтувати на цьому припущенні несуперечливість системи аксіом теорії множин у формі ZF56. Ця теорія відмовляється не тільки від актуальної, але і від потенційної нескінченності, замінюючи її поняттям практично нескінченного, яке, по суті, є іншим найменуванням для невизначеного кінцевого.

А.С. Кузічев розвиває підхід до обгрунтування несуперечності аксіоматики ZF, заснований на зануренні усього безлічі її висновків в особливий тип секвенційного обчислення, щодо якого вдається побудувати фінітного доказ непротіворечівості57.

Ю.Л. Єршов і К.С. Самохвалов вважають, що програма фінітного обгрунтування, не будучи застосовної до таких теорій, як теорія множин, може бути реалізована для класу теорій, пов'язаних з вирішенням завдань. На думку авторів, обмеження Геделя не мають сили для цього класу теорій, і, таким чином, залишається відкритою можливість їх фінітного і абсолютного обоснованія58.

Ідея невикористаних можливостей фінітного підходу лежить в основі досліджень Я. Маціельского з обгрунтування аналізу. «Кінцева математика» Маціельского заснована на можливості формального виключення актуальною і потенційної нескінченності їх математичних формул за допомогою запису їх з використанням обмежених кванторів. Передбачається, що ми можемо переформулювати всі твердження формалізованої математичної теорії як твердження, що відносяться до кінцевої, хоча і невизначеною області предметів. Наприклад твердження УхЗу (у = х + 1) може бути записано у вигляді (Vz <і?) (3у Загальна теорія финитности не дозволяє вважати ці підходи завідомо помилковими, бо, в принципі, вони можуть знайти виправдання в рамках деякої змістовної финитной метатеоріі. Теореми Геделя тут не мають сили, оскільки вони не відносяться до змістовного фінітними міркуванню, яке явно не піддається поданням в аріфметізірованной метатеоріі. Тут ми повинні виходити з того положення, що кордони змістовного фінітного міркування не визначені в логічних поняттях і можуть бути виявлені тільки на основі аналізу конкретних підходів.

« Попередня Наступна »
= Перейти до змісту підручника =
Інформація, релевантна " 2. Захист фінітізма "
  1. 2. Основні права і обов'язки громадян у сфері виконавчої влади закріплені в Конституції РФ.
    Захист прав і свобод людини і громадянина в РФ гарантується. 2. Кожен має право захищати свої права і свободи всіма способу-ми, не забороненими законом. Ст. 46 1. Кожному гарантується судовий захист його прав і свобод. 2. Рішення і дії (або бездіяльність) органів державної влади, органів місцевого самоврядування, громадських об'єднань і посадових осіб можуть бути оскаржені в
  2. Підприємства, установи як суб'єкти адміністративного права
    захист майна пр-ку від незаконного вилучення г) не допускається монопольне становище на ринку окремих пр-тий і не добросовісної
  3. Держ. управління у соціально-культурній сфері
    захисту населення. 1. Державне керівництво системою освіти осуществля-ється федеральними органами виконавчої влади та органами виконавчої влади суб'єктів федерації загальної та спеціальної компетенції: 1) Уряд РФ, ст. 114 Конституції РФ (п. в, к) 2) Міністерство освіти РФ Функції: а) розробляє і затверджує загальнодержавні стандарти, приблизні плани і
  4. Москва.
    Захист їх продовження з високою оцінкою значення результатів робіт виступали в центральній пресі директор Інституту археології В.П. Алексєєв та керівник Новгородської експедиції В. Л. Янін. Стала очевид - ною необхідність розширення археологічних робіт у зв'язку з реконструкцією історичного центру Москви. Виходячи з цих завдань. Інститут археології АН СРСР створив у своєму складі сектор
  5. Микола I
    захисту селян від свавілля поміщиків, ніж усі його попередники. У спробах допомогти селянам Микола I бачив можливість хоч якось зберегти статус-кво, що не скасовуючи кріпосне право. Але вони були приречені, як і спроби зберегти колишню Росію. Слід погодитися з К.С. Аксаковим: «Уряд не може при всій своїй необмеженості домогтися правди і чесності: без свободи громадського
  6. Олександр Ш
    захист інтересів російського промислового і торгового капіталу. Та й вихователем № 1 при Олександрі Олександровичу був К. П. Побєдоносцев, який почав свою кар'єру юриста і державного діяча при Миколі I. Як і Микола I, Олександр III був зразковим сім'янином, він не відрізнявся прихильністю амурних справах, віддаючи перевагу застілля з хорошою випивкою. Після того, як Олександр став
  7. 3. ПРО6 помилках, прогалинах й викривлення у висвітленні історії Вітчизняної війни 1812 року
    захистити і не допустити французів до Москви. Але ж і Наполеон не досяг головного-розгрому російської армії. Заняття ж Москви не призвело до бажаної для Наполеона мети - укласти мир з Росією. Серед аргументів, наведених деякими істориками до користь того, що Бородіно виявилося перемогою Росії, є і те, що французькі війська залишили завойовані на Бородінському полі позиції. Це не зовсім
  8. 7. З історії російського лібералізму
      захист особи, індивідуума, в наділенні цієї особистості правами і свободами, що забезпечують її економічну, громадянську, політичну незалежність і самостійність. Для ліберала індивідуалізм не тотожний егоїзму. Захищаючи свої права і свободи, він настільки ж поважає права і свободи інших, відстоюючи рівні права всіх перед законом. Для ліберала свобода не тотожна й анархізму, бо він
  9.  8. Російський консерватизм другої половини X IX в.
      захистити свої багатства і положення окремими соціальними верствами, і тип політики з відповідними йому ідеологічними та організаційними структурами, і філософське, куль - турологіческое ставлення до світу, суспільству. Основне завдання кон - серватізма - врівноважити радикальні тенденції, спрямовані на стрімкі, революційні зміни суспільства і людини, тому він органічний, необхідний,
  10.  9. Реформи і контрреформи в X IX столітті
      захист інтересів дворянства. Селянську реформу не можна ізолювати від усіх інших реформ - земської, міської, судової, військової і т. д. Всі вони замислювалися, готувалися одночасно. Здійснення кожної з них було взаємообумовлено здійсненням інших. І тільки проведені в комплексі, вони забезпечили, незважаючи на серйозні недоліки, дійсне перетворення Росії. У світлі нових
  11.  2. Революція 1905-1907 рр..
      захист агітаторів, вигнання з села поліції і варти, насильницька зміна сільських і волосних влади, створення селянських і страйкових комітетів, Всеросійського селянського союзу, «Трудової групи» (в Думі), бойових дружин, народних судів, збройні сутички з військами, поліцією та адміністрацією , спільні з робочими бойові дії, партизанські дії, повстання. У селян був
  12.  5. Громадянська війна. Політика «воєнного комунізму» (1917-1921 рр..)
      захисту Установчих зборів всередині самого революційного табору. Чи не підкорившись декретом Раднаркому про розпуск, право-есерівська частина Установчих зборів («учреділовцев») спробували створити свій уряд в Самарі - Комітет Установчих зборів («Комуч») і помірятися силами з радянською владою. Але ця спроба виявилася для них невдалою. Пізніше колчаківцями розстріляли частина
  13.  Драма «розселянення»
      захисту - розстріл із заміною за пом'якшуючих обставин позбавленням свободи на термін не нижче 10 років з конфіскацією всього майна ». Наприкінці 1930-х рр.. за підписом Сталіна та Молото ва було прийнято постанову «Про заходи охорони громадських земель колгоспів і радгоспів від розбазарювання», яким заборонялася заготівля кормів для особистого худоби, вилучалися надлишки з присадибних земель, ліквідувалися
  14.  4. Становлення адміністративно-командної системи і режиму особистої влади І В. Сталіна
      захист сильної влади. Уявлення про соціалізм у цих нових шарів робітників були найпримітивніші, багато в чому утопічні, що збігалося з тодішньої практикою социалисти-чеського будівництва Не випадково пошуки класових ворогів, розправи над «ворогами народу» зустрічали бурхливе схвалення на багатолюдних демонстраціях і мітингах. Не слід забувати і про те, що властиві народу царистские риси
  15.  1. Велика Вітчизняна війна
      захисників фортеці, багато з яких пройшли через німецькі концтабори і радянський ГУЛАГ. Автор повідав нам, як ішов пошук цих людей, де йому вдалося з ними зустрічатися, як ці люди боялися розповідати про ті страшні дні, не вірили в можливість реабілітації. Ця книга справила величезний вплив на формування громадської думки. Ста-ло неможливо замовчувати правду про трагедію Брестської
  16.  Оборонні операції
      захисту і полегшення страждань. Прийнято вважати, що в тилу було легше, ніж на фронті. Але документи свідчать про те, що це було не так. У тилу йшла виснажлива робота щодо забезпечення армії хлібом і зброєю. Особливо складно було колгоспникам, у яких забирали все, що вони виробляли. Тому єдиним джерелом існування залишався присадибна ділянка, з якого також платили
  17.  2. Проблеми науки і культури
      захист тих, кого цькували. Головний ідеолог країни А. А. Жданов був задоволений, він писав: «Моральна тягота розрядилася. Стовпи підрубані, паркани самі поваляться ... ». Дійсно, на певний термін «порядок» був наведений, мистецтво стало керованим, головним змістом творів стало вихваляння Сталіна, показ переваг соціалізму, переваги радянської людини. Починає формуватися
  18.  Леонід Ілліч Брежнєв (1906-1982 рр..)
      захисниками, борця ми за свободу особистості. Значну роль в настрої Брежнєва проти інакомислячих грав голова КДБ Андропов. Для боротьби з цим «чужим радянському ладу явищем» приймалися численні постанови. Наприклад, «Про заходи щодо посилення боротьби з незаконним використанням радіопередавачів» (1971 р.) або «Про заходи подальшого підвищення пильності радянських людей» (1977 г).
  19.  ГЛАВА 1. З історії арбітражного судоустрою та судочинства
      захист будь-яких форм власності. Практика застосування АПК РФ 1995 з часом виявила прогалини в законодавстві та проблеми в практиці його застосування, у зв'язку з чим виникла необхідність у прийнятті нового АПК РФ. В АПК РФ, прийнятому в 2002 році, були враховані багато раніше недостатньо детально або зовсім не врегульовані питання, зокрема, детально визначена компетенція арбітражних судів,
  20.  Поняття арбітражного процесу, арбітражна процесуальна форма
      захист оспорюваного чи порушеного права організацій та громадян-підприємців, а в деяких випадках - і інших осіб. Цілком можливо також охарактеризувати арбітражний процес як визначається нормами арбітражного процесуального права постадійне рух справи по яке з'явилося в процесі підприємницької діяльності спорів, що випливають з цивільних правовідносин (економічні суперечки) або