| Головна |
| « Попередня | Наступна » | |
3. Онтологічне розуміння метатеорії |
||
|
Захист фінітізма в тій мірі, в якій вона можлива, справа практики та логічного аналізу. Власне філософське обговорення можливостей формалістского підходу має бути зосереджена на розумінні гносеологічного статусу метатеоріі і можливостей її розширення на основі поняття математичної істини. Гносеологічний аналіз метатеоріі важливий в тому відношенні, що він відкриває можливості її розширення, що виходять за межі фінітізма. Основна слабкість формалістской програми полягає в незавершеності її методологічного обгрунтування. Встановлюючи загальні принципи своєї програми, Гільберт пише: «Треба всюди встановити таку ж надійність логічних засобів, як і та, що мається на звичайної елементарної арифметики, де ніхто не відчуває ні найменших сумнівів і де протиріччя і парадокси виникають лише в результаті нашої неуважності» 60 . Але чим пояснити, що в елементарній арифметиці існує такий рівень надійності? Не маючи ясної відповіді на це питання, ми маємо мало шансів вказати межі надійної метатеоріі і надійного обгрунтування математики в цілому. Праксеологіческая теорія математичних ідеалізацій дає нам певну основу для відповіді на це питання. Ми з'ясували, що в основі математичного мислення лежить система категоріальних очевидностей, яка є абсолютною формою нашого мислення і що онтологічно істинні принципи математики володіють безумовною надійністю і обгрунтовуючих значимістю. Змістовна метатеорія з цієї точки зору не що інше, як система онтологічно істинних принципів, прийнятних для обговорення даної теорії. Ця природна гносеологічна кваліфікація суті метатеоріі вносить радикальні зміни в розуміння її складу. З цієї точки зору надійна метатеорія може включати в себе будь-які принципи онтологічно істинної математики, незалежно від їх ставлення до таких характеристик як фінітними і конструктивність. Ми розширюємо допустиму метатеорію за рахунок введення в неї онтоло'іче-скі істинних нефінітних суджень. Попередній аналіз логіки і загальних принципів математики дає нам достатню основу для виправдання такого роду нефінітних метатеоріі як володіє абсолютною обгрунтовуючих значимістю. Якщо вірно, що аксіома вибору входить до складу аподиктичні очевидних істин математики, то принцип трансфинитной індукції, що є її безпосереднім наслідком, повинен бути прийнятий в якості законного елементу будь-якого метатеоретіческого міркування. Якщо вірно, що закон виключеного третього не має тих дефектів, які приписує йому интуиционистская критика, то ми можемо відмовитися від вимоги конструктивності метатеоретических міркувань, яке є суттєвим для метатеоріі Гільберта. Ми можемо наполягати лише на вимогах змістовності і конкретності метамови, які представляються дійсно суттєвими. В даний час, коли забобон про деяку неповноцінності закону виключеного третього все ще вкорінений у свідомості більшості математиків і філософів, таке допущення виглядає не дуже переконливим. Однак ми повинні бути послідовними. Ми повинні запитати себе, чи маємо ми підставу вірити, що закон виключеного третього може бути причиною протиріч? Ні математична практика, ні теорія логіки не виправдовують сьогодні позитивної відповіді на це питання. Але це означає, що наше мета-теоретичне міркування може спиратися на цей закон без будь-яких обмежень, задовольняючи при цьому всім вимогам строгості і надійності. З аподиктической очевидності семантичних міркувань випливає, що вони відносяться до сфери онтологічної істинної математики і також повинні бути визнані в якості законного елемента обгрунтовуючих метатеоріі, незважаючи на те, що вони не можуть бути включені в метатеорію в її гильбертовськой розумінні. Як показує практика, гильбертовськой обмеження досі суттєво впливають на методологію обгрунтування. Е. Мендельсон пише про несуперечності прийнятого ним варіанта формалізованої арифметики (системи S): «Якщо ми визнаємо стандартну інтерпретацію моделлю теорії 5, тоді ми повинні визнати і факт несуперечності цієї системи, однак семантичні методи, що включають в себе, як правило, відому частку теоретико -множинних рассу-Аден, на думку некохррих математиків є занадто ненадійною основою для доказу несуперечності »61. Теорія онтологічної істинності обгрунтовує повну надійність семантичних засобів, принаймні тих з них, які не виходять за межі! аподиктической очевидності. Стандартна інтерпретація арифметики безумовно виправдовує її абсолютну несуперечливість. Усі докази несуперечності, що спираються на такого роду якісну-семантику, повинні бути визнані законними, що володіють абсолютною надійністю. Поділ доказів на семантичні та синтаксичні, байдуже для звичайної математичної практики, має бути визнано байдужим і для сфери обгрунтовуючих міркувань. Онтологічне розуміння метатеорії робить акцент не на логічній простоті (финитности, разрешимости і пр.) метатеоріі, а тільки на її істинності. З цієї точки зору абсолютно байдуже проста або складна метатеорія в порівнянні з теорією за складом своїх понять. Ми можемо уявити собі обгрунтування деякої некласичної логіки як финитной теорії на основі фрагмента теорії множин. Вирішальний питання полягає тут у тому, чи можемо ми розглядати цей фрагмент як онтологічно істинного. Якщо ми розуміємо справжнє підставу надійної метатеоріі як відноситься до сфери онтологічно істинної математики, то ми повинні відмовитися майже від всіх її ознак, висунутих Гильбертом в якості істотних. Гносеологічно обгрунтована метатеорія, насправді, не зобов'язана бути ні финитной, ні конструктивної, ні націленої в обов'язковому порядку на синтаксис теорії. З праксеологічною точки зору всі ці вимоги ДО / ІІЖНЬІ бути замінені однією вимогою, а саме, вимогою онтологічної істинності. У конкретних випадках, зрозуміло, ми можемо вдаватися до понять финитности, конструктивності, видимості й до інших понять, що характеризує обгрунтовуючих шар, розуміючи при цьому їх вторинність і відносну значимість по відношенню до поняття онтологічної істинності. Онтологічне розуміння метатеорії вимагає також відмови від принципу відділення підстав від філософії, під яким Гільберт розумів необхідність визначення метатеоріі тільки на основі математичних критеріїв. Цей момент важливо прояснити, бо відмовляючись від деяких моментів гильбертовськой розуміння метатеорії, сучасні логіки наголошують на необхідності збереження принципу її внутрішньої визначеності. Прояснюючи свій підхід до проблеми обгрунтування Г. Крайзель пише: «На противагу« грубому формалізму »... розглянута точка зору погоджується з тим, що за формальними системами стоять інтуїтивні принципи докази і переконливість, яку вони додають. Критерій онтологічної істинності усуває необхідність цієї вимоги. Є помилковим, насамперед, то допущення, що тільки математичні критерії можуть строго задати межі метатеоріі і усунути небажаний свавілля. Хоча ми не можемо виділити сферу апріорної математики допомогою математичних ознак, ми можемо з повною визначеністю стверджувати апріорний характер логіки, аксіом арифметики, аксіоми вибору і т. п. Це означає, що не маючи математичного визначення принципів метатеоріі, ми маємо способи їх змістовного виділення, які забезпечують не менш суворе визначення складу метатеоріі, ніж її визначення на основі математичних понять. Немає необхідності говорити про те, що онтологічні критерії не мають ніякого відношення до психологічної очевидності. Інше допущення, яке присутнє у вимозі повної внутрішньої визначеності метатеоріі, полягає в тому, що перехід від інтуїтивних критеріїв до критеріїв математичним завжди можливий і завжди корисний для програми в сенсі посилення її ефективності. Аналіз критерію финитности показує, що це не так. Поняття финитности в певній мірі визначає сферу апріорного, але це визначення є настільки неадекватним, що його ефективність зводиться до нуля. У нас немає підстав думати, що поняття онтологічної істинності може бути замінено будь-яким математичним аналогом. Насправді, можна обгрунтувати неможливість будь-якої адекватної експлікації цього поняття, а отже, і неминучість безпосереднього визначення і виправдання принципів метатеоріі в гносеологічних поняттях. Ясно, що метатеорія, розширена таким чином, ні в якому сенсі не є финитной, хоча вона може повністю відповідати формалістской підходу в сенсі чисто синтаксичного аналізу теорії. Прийняття закону виключеного третього або принципу трансфинитной індукції відноситься тільки до розширення метатеоріі і не руйнує загальної логіки формалістского обгрунтування. Загальний висновок, який випливає зі сказаного, полягає в тому, що ми повинні зняти невиправдані обмеження на метатеоретическое міркування, що мають місце в первісної програмі Гільберта. Ми повинні відмовитися від вимоги його финитности, від обмежень на логіку і нарешті від самого характеру визначення метатеоріі. Адекватна метатеорія повинна бути безпосередньо визначена на основі поняття онтологічної істинності, яке не може бути замінено небудь системою власне математичних критеріїв. Теорія онтологічної істинності дає нам достатні аргументи для обгрунтування того положення, що зняття цих обмежень не є відмовою від вимоги абсолютної надійності метате-оретіческого міркування.
|
||
| « Попередня | Наступна » | |
|
|
||
Інформація, релевантна " 3. Онтологічне розуміння метатеорії " |
||
|
||