Аксіологія / Аналітична філософія / Антична філософія / Антологія / Антропологія / Історія філософії / Історія філософії / Логіка / Метафізика / Світова філософія / Першоджерела з філософії / Проблеми філософії / Сучасна філософія / Соціальна філософія / Середньовічна філософія / Телеологія / Теорія еволюції / Філософія (підручник) / Філософія мистецтва / Філософія історії / Філософія кіно / Філософія науки / Філософія політики / Філософія різних країн і часів / Філософія самоорганізації / Філософи / Фундаментальна філософія / Хрестоматії з філософії / Езотерика
ГоловнаФілософіяФілософія науки → 
« Попередня Наступна »
Целищев В.В.. Філософія математики. 4.1. - Новосибірськ: Наука,. -212 С., 2002 - перейти до змісту підручника

3. Дозвіл парадоксу

До недавнього часу дискусіям навколо парадоксу Сколема була властива деяка нерішучість, пов'язана з майже повною прийняттям переконання, що релятивізм Сколема щодо поняття безлічі являє собою щось більше, ніж просто деякий теза філософії математики. «Сколемізація всього», проголошена X. Патнем, тільки посилила цю тенденцію, піднявши інтерпретацію математичної теореми до рівня значного епістемологічного тези про природу мови. Так що незрозуміло було, що власне обговорювати, - власне філософську інтерпретацію теореми Левенгейма - Сколема або ж загальний скептичний виклик теорії пізнання. Оскільки основною метою цього розділу є відділення інтерпретації технічних результатів від занадто загальних філософських тез, представляється бажаним дати таки окрему трактування власне парадоксу Сколема і теоремі Левенгейма - Сколема і «сколемізаціі всього» як скептичного виклику. Зокрема, бажано було б відокремити релятивізм, який мотивується багатьма зовнішніми факторами (і лише з першого погляду є наслідком теореми Левенгейма - Сколема) від аналізу власне парадоксу Сколема і теореми Левенгейма - Сколема. Розглянемо «дія» теореми Левенгейма - Сколема на прикладі аксіоми безлічі-ступеня. З першого погляду ця теорема суперечить теоремі Кантора, згідно з якою в даному випадку елементи множини-ступеня цілих чисел не можуть бути по-3. ДОЗВІЛ парадокси

ставлени в 1-1 відповідність з цілими числами. З теореми ж Левенгейма - Сколема випливає, що аксіоми Цермело - Френкеля мають справу щонайбільше з рахунковим числом об'єктів, і звідси, безліч-ступінь цілих чисел, як об'єкт теорії, само лічильно.

Бенацерраф підкреслює у зв'язку з цим, що таке формулювання наслідків теореми Левенгейма - Сколема є результатом простий плутанини; зокрема, ця теорема не тягне счетності числа тих об'єктів, з якими має справу система Цермело - Френкеля, ні счетності самих об'єктів. Мова в теоремі йде лише про те, що якщо система аксіом Цермело - Френкеля має модель взагалі, то ця теорія множин має і нестандартні моделі.

Для розуміння того, чому така плутанина виникає, Бенацерраф18 вводить нову версію теореми Левенгейма - Сколема, так звану транзитивною лічильну субмодельную версію (далі ПВМ). Модель транзитивна, якщо і тільки якщо, кожен елемент кожного безлічі в моделі належить області моделі. Як видно, навмисна інтерпретація системи Цермело - Френкеля включає транзитивною модель. Тоді, згідно ТСМ, якщо система Цермело - Френкеля має навмисну ??модель взагалі, ця система може мати інтерпретацію в лічильної подобласти множин, включених в навмисну ??інтерпретацію, таку, що «є» продовжує залишатися ставленням членства, і кожне безліч в області нової інтерпретації щонайбільше лічильно. Розглянемо, як з'являється протиріччя в цій версії теореми Левенгейма - Сколема. Аксіома безлічі-ступеня має наступний вигляд:

(Ух) (3 і) (Vf) [t є і = (Уу) (у є t dj є *)].

Нехай х буде Zfl-безліч позитивних чисел, D - область навмисної інтерпретації та D '- область подмодели. Так як за припущенням аргументу ZQ є елемент обох областей і так як аксіома безлічі-ступеня справедлива при навмисній інтерпретації для DuD '(слід врахувати, що «є» має в подмодели ту ж інтерпретацію, що і в моделі, і є єдиною нелогічних константою в аксіомі), безліч-ступінь безлічі ZQ - позначимо його через PZQ, - яке позначається в аксіомі через і, має бути елементом як D, так і D '.

І ось тут ми маємо протиріччя. Канторовской теорема, доказова в системи Цермело-Френкеля, тягне, що не існує 1-1 відповідних між Z0 і PZQ, але якщо PZ0 є елемент транзитивної, лічильної подмодели системи Цермело - Френкеля, воно має бути також рахунковим, і стало бути, повинно матися 1-1 відповідність.

Це протиріччя усувається після експлікації наступного неявного припущення. Воно полягає в тому, що якщо Z0 є елемент як D, так і D ', тоді той факт, що аксіома безлічі-ступеня справедлива для обох областей, без переінтерпретації її єдиною нелогічних зв'язки, є гарантія, що PZQ також елемент обох областей. Але, як зауважує К. Райт, це припущення попросту неверно137. Аксіома лише гарантує нам, що кожна область буде містити для ZQ безліч і, яке містить кожен t в цій області, який задовольняє умові у правій частині еквівалентності наодинці з ZQ. Але немає ніякої необхідності вважати їх одним і тим же безліччю, оскільки це залежить від відповідних універсумів квантификации t у двох областях. Якщо ці області не одні й ті ж, не можна припускати, що PZ0, яка є елемент D ', є справді PZ0 - повноцінне безліч-ступінь цілих чисел. Оскільки припущення про тотожність цих двох множин безпідставно, транзитивна счетность D 'жодним чином не знаходиться в протиріччі з незліченною PZ ".

« Попередня Наступна »
= Перейти до змісту підручника =
Інформація, релевантна " 3. Дозвіл парадоксу "
  1. Запитання для повторення
    парадокс.
  2. ПАРАДОКС ВІРИ
    парадокс. Людина, яка пародіює іншого, не винаходить нічого, а тільки копіює «навпаки». Чим сильніше пристрасть, тим яскравіше видно парадоксальність. Віра - це особливий вимір мислення, яке «нормальному» розуму представляється божевіллям. Саме парадокс веде до розриву буття. Віра відкривається людині, що дійшов до краю, коли не залишається ніякої іншої можливості. Відмовитися від віри
  3. софізм І ПАРАДОКСИ
    парадокс ще називають антиномією, тобто це два протилежні твердження, для обгрунтування кожного з яких існують переконливі аргументи. Якщо раніше парадокси вважалися прикрим непорозумінням, то сьогодні стрімко розвивається наука вважає парадоксальність однією з характерних рис. Парадоксальність допомагає виявити проблему в процесі пізнання і освоєння дійсності. Як
  4. ЛОГІКА І Божественне видіння
    парадокс - парадокс Брехуна. Замість розгляду судження «Всі крітяни - брехуни» (висловленого критянином) 114 сучасний аналіз починається з висловлення типу: (1) Висловлення (I) помилково. Припускаю, що хто-небудь може подумати, що не є законним використовувати «(I)» для позначення висловлювання, яке містить як свою власну частину саме «(І)», проте багато форми
  5. § XXIII Як йде справа з проведеної мною паралеллю між ідолопоклонством і атеїзмом?
    Парадокс деякі обмеження як щодо суб'єкта, так і щодо предиката. Вам достатньо було лише впоратися про це в творі, опублікованому мною в 1694 р. Ви знайшли б там, що моя думка зводиться до наступного 295: «Ідолопоклонство стародавніх язичників не більше страшне зло, ніж незнання бога, в яке впадають або через тупість , або через брак уваги, без умисної
  6. 2.6. Проблематичність користі
    парадоксу Арроу про принципову неможливість загального вибору. Існує цілий масив економічної та філософської літератури, в якій описані різні версії парадоксу. У нашу мету не входить її аналіз. Нас цікавить тільки та версія, яка протистоїть утилітаризму і егалітаризму одновременно13. Постулат Арроу говорить: будь загальний метод встановлення соціального порядку порушує
  7. Парадокси матеріальної імплікації.
    Парадокс матеріальної імплікації: з помилкового висловлювання слід будь-яке висловлювання, все що завгодно і справжнє висловлювання випливає з будь-якого висловлювання. Для того щоб розуміти специфіку формального зв'язку / Із / І. слід розкрити поняття необхідної і достатньої умови. Дане поняття застосовується для адекватного конструювання понять і для істинності суджень. Умова необхідно
  8. 7.3. Софізми і логічні парадокси.Некорректние аргументи
    парадоксами. Але ці поняття слід розрізняти. Парадокс - це міркування, що доводить як істинність, так і хибність деякого пропозиції, тобто доводить як його твердження, так і його заперечення. Деякі парадокси були відомі вже в давнину. Наприклад, парадокс «Брехун», який викладають таким чином: Розглянемо питання про істинність висловлювання «Я брешу». Якщо, сказавши: «Я брешу», я
  9. 1. Загальні положення
    дозволу на використання як постановок, виконань та передач, так і охоронюваних авторським правом виконуючого-екпортувати (записуваних, переданих) творів. Виробник фонограми, організація ефірного або кабельного мовлення здійснюють свої суміжні права лише в межах прав, отриманих за договором з виконавцем і автором твору, записаного на фонограмі чи переданого в ефір або
  10. Німецька класична філософія
    парадоксу демократії по Руссо: свобода відкриває шлях тиранії, причому тиранії принципово нової, жорстокої, досі невідомої людству. Народ-суверен виявився найвищою мірою схильним небезпеки відторгнення його суверенітету. Знищивши політичні інститути, засновані на спадкової передачі влади й освітлені Богом, народ взяв на себе всю повноту влади, але ця влада, так добре
  11. Програма конференції
    5 жовтня 2001 Третє засідання: Методологія гуманітарних наук В. А. Курінний (Москва) Філософські основи описової психології A. П. Огурцов (Москва) Філософія педагогіки [Дільтей, Нуль, Больнов) B. В. Калініченко (Вятка) Деякі проблеми сприйняття герменевтики Дільтея В.І.Молчанов (Москва) Дільтей і Гуссерль. Суперечка про проблему общезначимости пізнанні Четверте засідання:
  12. Парадокс брехуна
    парадоксу такий. Припустимо, хтось каже, що він бреше. Що він стверджує насправді - істину або брехня? Якщо допустити, що він говорить істину, тоді те, що він стверджує, істинно, і отже, він бреше. Якщо ж він бреше, то, що він стверджує, ложно, і тим самим він стверджує істину. Парадокс вбачають у тому, що неможливо однозначно визначити значення істинності висловлювання «Я брешу».
  13. Що слід розуміти під колективними трудовими спорами та який порядок їх дозволу?
    Вирішення виникаючих конфліктів вимагають законодавчого врегулювання колективних трудових спорів. Міжнародне співтовариство приділяє велику увагу здійсненню взаємодії сторін соціально-трудової відносин у процесі врегулювання колективних трудових спорів, що виникли між ними. Так, в 1949 р. МОП прийняла Конвенцію № 98 ИО право на організацію та на ведення колективних
  14. 3. «Просунуті» аксіоми
    парадоксів, зокрема парадоксу Рассела. Наведена аксіома виключає членство безлічі в самому собі, а також петлі типу А є В і В є А. Однак така прямота значною мірою є ілюзією, тому що основні результати теорії множин можна довести і без цієї аксіоми. Аксіоми представляють собою простий перелік теоретичних тверджень, які дозволяють вивести всі найважливіші
енциклопедія  бабка  баранина  биточки  по-угорськи