Головна
Аксіологія / Аналітична філософія / Антична філософія / Антологія / Антропологія / Історія філософії / Історія філософії / Логіка / Метафізика / Світова філософія / Першоджерела з філософії / Проблеми філософії / Сучасна філософія / Соціальна філософія / Середньовічна філософія / Телеологія / Теорія еволюції / Філософія (підручник) / Філософія мистецтва / Філософія історії / Філософія кіно / Філософія науки / Філософія політики / Філософія різних країн і часів / Філософія самоорганізації / Філософи / Фундаментальна філософія / Хрестоматії з філософії / Езотерика
ГоловнаФілософіяФілософія науки → 
« Попередня Наступна »
Целищев В.В.. Філософія математики. 4.1. - Новосибірськ: Наука,. -212 С., 2002 - перейти до змісту підручника

4. Діалектика філософського спору

Слід зробити кілька методологічних коментарів до цього технічного усунення уявного протиріччя. Справа в тому, що протиріччя може усуватися, а може і уникатися. У разі релятивізму ми маємо класичний випадок уникнення протиріч. К. Райт пише, що як і у випадку морального релятивізму, коли суперечливі моральні судження виправдовуються різними моральними стандартами, так і у випадку релятивізму в теорії множин це є спосіб уникнути протиріччя шляхом постулирования неоднозначності термінов138.

Релятивіст вважає, що всередині системи Цермело - Френкеля не може бути визначено 1-1 відповідність між Z0 і PZQ, і в той же час така відповідність може бути визначене поза сис-теми, але вже такими методами , для яких формалізація системи Цермело - Френкеля не є адекватною. Однак, якщо неформалізуємим відображення Z0 в PZ0 в рамках системи Цермело - Френкеля є результат обмеженості формалізації, тоді потрібно дати вагомі аргументи на користь того, що таке відображення має бути доказовою на змістовному рівні. Але така спроба була б найвищою мірою дивною: адже теорема Кантора якраз і доведена на змістовному рівні, і в ній показана неможливість обговорюваного відображення. Протиріччя усувається, як видно, при більш ретельному аналізі двох понять - області інтерпретації та області квантифікації. Тому Бенацерраф робить висновок, що невимовність концепції множини в рамках теорії першого порядку залежить від цих двох понятій139.

Поняття інтерпретації, при всій своїй природності, несе в собі безліч тонких моментів. Розглянемо, наприклад, спробу характеристики чисел за допомогою неінтерпретірованних аксіом. Відомо, що для кожного натурального числа п може бути виписаний набір аксіом першого порядку, які можливо застосувати в області D, якщо і тільки якщо, D має в точності п членів. Однак за допомогою неінтерпретірованних аксіом не можна виразити відмінності між «рахункових» і «незліченною». Ясна в змістовної теорії, в аксіоматизована теорії подібне відмінність не проходить, так як хоча можна виписати аксіоми першого порядку, які здійснимі, але нездійсненні в будь-якої кінцевої області, не можна виписати безлічі аксіом першого порядку, які можливо застосувати в незліченну області, але не здійсненні в будь лічильної області. Таким чином, не вводячи інтерпретації аксіом, ми не можемо висловити змістовне відмінність величезної важливості. Мораль може бути і більш жорсткою: виразні можливості синтаксису первопорядковой теорії занадто мізерні для такого розходження.

Коль скоро поняття незліченну не є виразіми на рівні логіки першого порядку, можна вдатися до логіки другого порядку, запозичуючи з неї найскромніші (мінімальні) кошти. Типовим варіантом такого підходу буде введення спеціального предиката другого порядку, скажімо, U (x), який характеризує незліченну. Можна уявити собі таку ситуацію, при якій в деякій теорії першого порядку U (x) буде теоремою аксіоматичної теорії. Але хоча змістовно цей предикат виражає незліченну, це значення не "схоплюється» на формальному рівні. Па-радоксальность починається з того моменту, коли ми визнаємо, що теорія з U (x) допускає, згідно теоремі Левенгейма - Сколема, рахункові моделі. Як це може статися? Рахункова модель, яка гарантується теоремою Левенгейма - Сколема, складається з множин; в той же час у нас є «суботношеніе» приналежності «є» на деякій стандартної моделі, яка передбачається в якості вихідної при змістовному аналізі. При такому аналізі ми можемо говорити про незліченній безлічі, яке може бути перенумерували деякою функцією в одній системі, а в іншій системі, яка містить предикат незліченну U (x), ця функція не може бути визначена. Іншими словами, ця функція знаходиться поза області дії кванторів з предикатом U (x).

Таким чином, вимальовується фундаментальна відмінність між тими, хто допускає незліченні безлічі, яких природно можна назвати «канторіанцамі», і тими, хто висловлює сумніви з приводу їх існування, кого, настільки ж природно, можна назвати «сколемітамі». Як видно, відмінність це упирається у співвідношення змістовної теорії та можливостей її формалізації, мета якої полягає в тому, щоб «схопити» зміст неформальних понять. Проблема полягає в тому, наскільки їй це вдається в принципі. На рівні змістовних теорій існування незчисленних множин допускається заздалегідь. Але формалізація володіє деякого роду автономією, і якщо буде вирішено, що формалізація першого порядку достатня, тоді все, що виходить за її межі, все, що не «схоплюється» нею, не існує. Саме така позиція «сколемітов». Вони вважають, що «тягар докази» існування незчисленних множин лежить на «канторіанцах».

Коль скоро суперечка між «сколемітамі» і «канторіанцамі» є суперечка про співвідношення змістовного і формалізованого, цілком можливий суперечка про те, як виходить переконання в існуванні численної безлічі у світлі теореми Левенгейма - Сколема.

Суперечка йде в термінах пояснювальних схем, яку пропонує протилежна сторона для пояснення поведінки іншої.

Починаємо з того, як Сколема пояснює, чому його противник канторіанец не може перенумерувати своє «незліченну» безліч. (Так це представлено в роботі Бенацеррафа140). Канторіанец починає з того, що робить упор на те, що предикат незліченну U (x) є теорема, і якщо цей предикат правдивий для деякого безлічі я, тоді це безліч існує. Сколема парирує цей аргумент тим, що незліченну ця може бути уявної, оскільки полягає лише в тому, що у канторіанца немає в розпорядженні функції, яка встановлювала б одне-однозначне ставлення між цілими числами і безліччю я, оскільки ці функції знаходяться поза області дії кванторів. Таким чином, «насправді» п є рахунковим безліччю.

Все це міркування справедливо тільки за умови, що формалізація як така має деякого роду автономією, і все, що не «схоплюється» нею, оголошується неіснуючим. Звичайно, при цьому така формалізація повинна мати масу та інших заслуг. Формалізація першого порядку має стільки заслуг, що Куайн кинув свого часу гучний гасло «логіки першого порядку цілком достатньо» (в оригіналі це звучить набагато більш афористично - first-order logic is logic enough). Так що Сколема має свої резони в наведеному вище міркуванні.

Але питання полягає в тому, чи готовий канторіанец прийняти логіку першого порядку в якості такої логіки, яка «схоплює» інтуїтивне зміст математичних понять. Зокрема, чи зберігається значення, яке канторіанец надає концепції незліченну, при формалізації його в теорії першого порядку? Це піднімає більш загальне питання про те, як терміни змістовної математики набувають значення в формалізованої теорії. Буденне уявлення про співвідношення змістовної теорії та її формального аналога полягає в тому, що термінам змістовної теорії ставляться у відповідність формальні. Символи, так що при інтерпретації формальної теорії цим символам надається значення, ^ що збігається із змістовним. Але справа в тому, що введення формальної теорії увазі неінтерпретірованное числення; терміни цього неінтерпретірованного обчислення ми постачаємо значенням, і в разі збігу цього значення із змістовним ми отримуємо «навмисну» інтерпретацію. Приписування інтерпретації часто носить характер постулирования.

Оскільки постулирование в значній мірі довільне, з першого погляду, дія, сколеміти стверджують, що значення термінів інтерпретованого формальної мови зовсім не зобов'язане співпадати із значенням термінів змістовної теорії. Оскільки існування незчисленних множин затверджується кан-торовской змістовної теорією, існування незчисленних множин в формалізованої теорії зовсім не гарантується. Однак подібна аргументація не зовсім переконлива, оскільки значення обох мов, або теорій, все-таки збігаються, з огляду на те, що при конструюванні формального мови ми використовуємо метамова, який значною мірою запозичує значення з змістовної теорії.

Таким чином, при розгляді питання про співвідношення змістовної і формальної теорій, який є вирішальним при обговоренні питання про реальне існування незчисленних множин, ми обмежилися поки обговоренням того, яким чином отримують значення терміни формальної теорії. Проте справжнє відмінність, як підкреслює Бенацерраф, між сколемітамі і канторіанцамі полягає в тому, що перші воліють обмежитися саме таким обговоренням. Іншими словами, регламентація буденної мови формальним мовою першого порядку вважається ними достатньою кроком для «схоплювання», часто зводиться до постулированию, значення змістовних концепцій. Але от з точки зору канторіанцев потрібно ще одне важливе доповнення, а саме, визначення області квантифікації, а також значення нелогічних термінів словника. Так, «є» може означати ставлення членства серед множин, а V буде універсальним квантором. Якщо ж ми обмежуємося, як сколеміти, тільки регламентацією змістовного мови логікою першого порядку, всяка подальша специфікація значення буде зайвою, наприклад, для тих же символів «є» і «V». Однак така стратегія навряд чи може бути виправдана, оскільки мова першого порядку не має всіх тих переваг, які готові пересилити всі незручності відсутності явної процедури приписування значення. Тепер виникає питання, чи є ці кроки достатніми для регламентації змістовної теорії первопорядковой логікою, або ж потрібно щось ще. І тут ми підходимо до вирішального відмінності між канторіанцем і сколемітом. З точки зору кан-торіанца важлива ще й область квантифікації, а також те, які підмножини картезіанських творів цієї області приписані термінам нелогічного словника. Наприклад, «є» може означати ставлення членства серед множин.

З точки зору Сколема-та останні кроки, пов'язані із завданням області квантифікації, не потрібні, і попередніх кроків цілком достатньо для того, щоб зробити неефективною будь-яку подальшу специфікацію значення, наприклад, для «є» або «V». Але справа в тому, що у Сколема-та немає ніяких аргументів для того, щоб виправдати відмову від додання значення цих термінів, і обмежити інтерпретацію первопорядковой теоретико-модельної структурою об'єкт-мови. Іншими словами, така структура виступає як сурогату зна-чення термінів змістовної математики. Тим часом А. Тарський виступив проти розуміння символу «є» як неінтерпретірован-ного символу, оскільки саме таке розуміння призводить до ненавмисним рахунковим моделям141. Він вважає, що якщо трактувати «є» як логічну константу, рахункові моделі не можуть з'явитися взагалі. Отже, значення «є» має бути фіксовано при всіх інтерпретаціях.

Отже, один з аспектів обговорення філософських наслідків теореми Левенгейма - Сколема полягає в проблемі того, схоплюється чи значення термінів змістовної математики формалізмами. Цей аспект може бути розвинений у світлі загальної теорії значення, в рамках філософії мови. З технічної точки зору змістовна сторона відображена тим фактом, що в аксіоматиці Цермело - Френкеля неможливо побудувати одно-однозначну функцію, яка відображає безліч дійсних чисел в безліч натуральних чисел. Оскільки доказова в мові першого порядку теорема Левенгейма - Сколема стверджує протилежне, ясно, що інтуїтивне зміст теорії Кантора не зберігається в такій обмеженою теорії, або не охоплюється нею.

Природно, що відповідальність за такий стан справ з аксіоматичної теорією покладається на аксіоми. У даному випадку доводиться визнати, що не кожна модель аксіом є допустимою інтерпретацією. Це положення піднімає багато питань як в отнощении поняття аксіоми, так і поняття інтерпретації. Дійсно, якщо аксіома має дещо інтерпретацій, незрозуміло, за якими критеріями вважати деякі з них допустимими, а інші - ні. Тут Бенацерраф вводить надзвичайно важливе припущення про те, що стосовно допустимих інтерпретацій слід розрізняти два типи неінтерпретірованних мов. В одному випадку мається неінтерпретірованний мова, для якої немає явної інтерпретації, а в іншому випадку неінтерпретірованний мова допускає спочатку допустимі інтерпретації. Оскільки постановка проблеми про допустимі інтерпретаціях виникає у зв'язку з теоремою Левенгейма - Сколема, цілком природно припущення, що мова без явно позначеної інтерпретації не підлягає впливу цієї теореми. Це означає, що сколемовская релятивізація застосовна толь-ко до певного класу неінтерпретірованних мов, і що більш важливо, цей релятивізм не є універсальним. Якщо ж цю неясність усунути твердої передумовою, що формалізована версія зберігає зв'язок з інтуїтивною математикою, тоді клас допустимих інтерпретацій повинен бути обмежений значенням «є» і областю квантифікації, тобто формалізації підлягає теорія множин, а не теорія якихось інших об'єктів.

 Але тоді постає питання, чи може значення затвердження (яке може бути надане йому в неінтерпретірованном мовою), бути більш точним, ніж інтерпретації твердження, що розуміються в тео-Ретик-модельному сенсі. Якщо разом зі Сколема вважати, що твердження теорії множин можуть бути ототожнені з тим, що инвариантно при всіх класичних моделях теорії, тоді ми будемо вважати, що «є» є просто ставлення, яке задовольняє аксіомам. Якщо ж ми будемо вважати це відношення логічної константою, воно буде ставленням членства для множин, а квантори пробігають при цьому над множинами. 

 Для виправдання вищезгаданого твердження ми повинні визнати, що поняття навмисної інтерпретації є недостатнім. Навмисна інтерпретація представляє наш намір «схопити» змістовний аспект шляхом формалізації логіки та основних понять математики. Саме поняття безлічі включає в себе більше, ніж така навмисна інтерпретація. Йдеться про справедливість аксіом теорії множин, і ця справедливість повинна бути показана не тільки навмисної інтерпретацією, а й деякого роду поясненнями про можливості формалізації взагалі. Ця проблема впирається в теорію значення і вказівки в мові, і по суті своїй впирається в проблему розуміння мови. Як постійно вказує Я. Хінтікка, мова може розумітися двома фундаментально різними способами - як числення і як універсальний медіум для коммунікаціі142. Прийняття однієї з точок зору має величезні наслідки для того чи іншого розуміння представленої в даній роботі проблеми. 

 5. «СКОЛЕМІЗАЦІЯВСЕГО» ... 

« Попередня Наступна »
= Перейти до змісту підручника =
 Інформація, релевантна "4. Діалектика філософського спору"
  1. Методи і внутрішній зміст філософії.
      Структура та основні напрямки філософського знання. Методи побудови філософських систем. Поняття «метод». Проблема загальності філософських методів. Діалектико-матеріалістичний метод. Основні принципи діалектики. Діалектика і світогляд. Діалектика і філософія. Принципи діалектико-матеріалістичної філософії. Категорії діалектики. Одиничне, особливе, загальне. Явище і сутність.
  2. Список основних праць (тільки книг) Г.А. Югая і про нього
      Проблема цілісності організму. (Філософський аналіз). М., 1962. Діалектика частини і цілого. Алма-Ата, 1965. Проблема цілісності в сучасній біології (відп. ред. Югай). М., 1968. Філософські проблеми теоретичної біології. М., 1976. Людина і медицина (у співавторстві). Софія, 1982. Антропосоціогенезу: філософські та соціально-психологічні аспекти. М., 1983. Загальна теорія життя. (Діалектика
  3. Рекомендована література 1.
      Спиркин А.Г. Свідомість і самосвідомість. -М. 1972. 2. Коршунов A.M., Мантатов В.В. Діалектика соціального пізнання. -М., 1988. 3. Мантатов В.В. Образ, знак, умовність. -М., 1980. 4. Питання філософії. -1988. № 11. -С.2-30. 5. Гадамер Г. Філософія і література / / Філософські науки. -1990. - № 2. 6. Мамардашвілі М.К. Проблема свідомості і філософське покликання / / Питання філософії. -1968. - № 8. 7.
  4. 1.4. Третій період. Між діалектикою і матеріалізмом
      Цей завершальний період філософем) го творчості належить в основному Енгельсу. Підкреслюючи «в основному» тому, що в роботі над «Анти-Дюрінгом» взяв деяку участь і Маркс: не тільки в справі спільного обговорення з Енгельсом цього твору, а й у тому, що десята глава другого відділу його написана особисто Марксом. Період цей знаменний тим, що діалектика «Капіталу» отримала тут
  5. ВСТУП. ІСТОРИЧНІ ВІХИ РОЗВИТКУ ФІЛОСОФІЇ
      Філософія як специфічний спосіб осягнення і осмислення людиною дійсності. Соціальні, економічні, політичні, духовні передумови генезису філософії. Основні напрямки, школи філософії та етапи її історичного розвитку: фактологічний і хронологічний матеріали. Основні персоналії в філософії. Причина плюралізму філософських систем. Антична філософія. Філософія середніх
  6. Філософська методологія: діалектична логіка.
      "У формальній логіці суперечність є сигналом лиха, але в розвитку реального знання воно означає перший крок у напрямку до успіху" Алфред Норт Уайтхед У пізньому середньовіччі філософ Н.Кузанскій зауважує, що реальний процес пізнання не може бути теоретично зображений у поняттях класичної (арістотелівської) логіки. Ф. Бекон в XVII в. прямо ставить завдання створення "нового
  7. Які строки розрахунку при звільненні? '
      При звільненні працівника виплата всіх сум, що належать йому від підприємства, установи, орга * нізації, провадиться в день звільнення. Якщо працівник в день звільнення не працював, то зазначені суми мають бути виплачені не пізніше наступного дня після пред'явлення звільненим працівником вимоги про розрахунок. У разі спору про розміри сум, належних працівникові при звільненні, власник йди
  8. Висновок
      Більш, ніж за півстоліття, що пройшов після смерті Леніна, КПРС та іншими марксистсько-ленінськими партіями, їх теоретичними кадрами виконана величезна робота з розвитку матеріалістичної діалектики. Розвиток діалектики йшло насамперед у напрямі творчого її застосування в процесі побудови соціалістичного суспільства в СРСР до аналізу і вирішення актуальних проблем сучасної дійсності,
  9. Філософське розуміння свідомості
      Проблема духу як ядра філософської рефлексії. Генезис духовного. Форми духовного. Філософія про природу духовної діяльності. Душа як космічне начало. Тема «духу» в дофілософській традиції. Орфико-піфагорейської вчення про душу. Концепція розуму (Нуса) Анаксагора. Відособленість буття «самого по собі» від буття сприйманого почуттями. Буття «саме по собі» як душа речей. Філософська
  10. МЕТОДИ І ВНУТРІШНЄ ЗМІСТ ФІЛОСОФІЇ.
      Корпус філософського знання величезний, але має свою структуру та основні напрямки. Серед них виділяють: онтологію як вчення про буття, гносеологію - вчення про пізнання. Логіку. Методологію пізнання, філософську антропологію, етику, естетику, історію філософії та ін Різним філософським течіям і напрямів були властиві різні методи побудови своїх філософських систем, а, отже,
  11. Який порядок розгляду л, колективного трудового спору | в трудовому арбітражі?
      | Трудовий арбітраж З орган, що з залу-. | Чинних сторонами фахівців, експертів та інших осіб! і приймає рішення по суті трудового спору (кон-\ фликта). Завдання, функції та порядок формування і діяльності трудового арбітражу визначаються Зако-і ном України ИО порядок вирішення колективних трудових спорів (конфліктів) и, а також Положенням | про трудовий арбітраж від 4 травня
  12. Пінг-понг, який називається діалектикою
      Давньогрецький філософ Сократ став знаменитий за свою здатність знаходити слабкі сторони у філософських поглядах інших людей. Але вірив у те, що якщо ми зрозуміємо, наскільки мало насправді знаємо, то це відкриє нам шлях до справжнього знання. Сократ задавав своїм співрозмовникам питання, які були спрямовані на демонстрацію обмеженості їхніх знань. Поступово він приводив їх до висновку,
© 2014-2020  ibib.ltd.ua