3. «Просунуті» аксіоми

Аксіома фундування

Якщо a - непорожнє безліч, тоді є елемент Комерсант безлічі а такий, що немає множин, які належать обом множинам а і b

(Vx) [-, (* = Л) => (Еу) (уе x & (Vz) (ze * => -, (zey))].

Основна ідея цієї аксіоми відноситься до обмеження способу утворення множин з інших множин. Число операцій за освітою множин не повинно бути нескінченним, щоб уникнути створення занадто великих множин. Система Цермело - Френкеля використовує тільки кінцеве число ітерацій при збиранні разом всіх продуктів кінцевих ітерацій. При цьому аксіома не дозволяє утворити безліч, що належить самому собі. У технічному відношенні вміст аксіоми таке: вона стверджує, що в будь-якій безлічі є елементи, мінімальні при відношенні членства. Тобто навіть коли ми маємо нескінченну безліч S, S не може містити нескінченної послідовності Х = { х.: і є N &-і (х. = Л)} членів таких, що ... є х2 є xl є ХІУ Тому що X було б безліччю, який має елемент, спільний з кожним з його елементів, оскільки для кожного х., jt належить х.

Як видно, крім обмеження розміру множин, є більш прямі шляхи уникнення парадоксів, зокрема парадоксу Рассела. Наведена аксіома виключає членство безлічі в самому собі, а також петлі типу А є В і В є А. Однак така прямота значною мірою є ілюзією, тому що основні результати теорії множин можна довести і без цієї аксіоми. Аксіоми представляють собою простий перелік теоретичних тверджень, які дозволяють вивести всі найважливіші результати неформальної теорії множин, і при цьому уникнути парадоксів. Крім блокування парадоксу Рассела ця аксіома цікава в іншому відношенні. Світ множин може бути структурований за стадіями конструювання множин: VQ - безліч всіх не-мно-дружність, тобто безліч звичайних об'єктів, Vy - всі об'єкти і безлічі всіх об'єктів і т.д. Так от, аксіома фундування в присутності інших аксіом рівносильна твердженням, що кожне безліч є член деякого Va, тобто не виходить за рамки вже отриманих конструкцій. Ця ідея Цермело ув'язується їм з поняттям «базису» - безліччю індивідів області (аксіома фундування також має англійську назву Grounding), і V0 збігається з базисом. Саме тому не існує низхідній епсилон-ланцюга. Це важлива ідея в розумінні природи безлічі, і багато хто вважає, що ця ідея вбудована в концепцію стадійного побудови множин.

Але саме останнє твердження викликає у багатьох дослідників сумніви в істинності аксіоми фундування, оскільки залишається відкритим питання про те, чи є всі безлічі «цілком-обгрунтованими». Приймати чи не приймати в якості «законних» множин не цілком обгрунтовані безлічі, питання складне. Якщо ми хочемо отримати максимальну спільність у трактуванні поняття безлічі, ми не повинні виключати не цілком обгрунтовані безлічі, але так як в математичній практиці такі множини не зустрічаються, їх можна назвати «монстрами» або «патологіями».

У кожному разі, недавно П. Ежель запропонував таку теорію множин, в якій аксіома фундування НЕ справедліва103. Стверджується, що в застосуванні до деяких проблем така теорія (AFA - Anti-Foundation Axiom) працює набагато краще, ніж система Цермело - Френкеля. Проте в рамках цієї теорії множин не вдається отримати правдоподібні інтуїтивні моделі. Так що аксіома фундування, будучи менш зрозумілою, ніж попередні аксіоми, таки належить до «класичного» набору аксіом.

Інформація, релевантна" 3. «Просунуті» аксіоми "

1. Математичні аксіоми
   аксіома повної індукції). Список наведених аксіом не суперечить, якщо з нього не виведена формула вигляду (А &-іл), де змінна А може позначати будь-яке, в тому числі і арифметичне, висловлювання. Припустимо, формула (A А) випливає з даних аксіом. Яка властивість набувають в цьому випадку аксіоми? Відповідь дає наступне міркування, в якому до аксіом приєднується як допущення
   
2. Аксіома заміщення
   аксіома призначена для того, щоб дозволити існування тих чисел, які з'являються в неформальній теорії множин . Досі наведені аксіоми (крім обговорюваної нами зараз аксіоми заміщення) гарантують існування таких ординальних чисел, як ft) + 1, зі + 2 і т.д., але не будь-якого безлічі, до якого вони належать. Іншими словами, немає гарантії існування ординальних чисел
   
3. 2. «Прості» аксіоми
   аксіоми Цермело були доповнені і модифіковані А. Френкелем, і результуюча система аксіом, названа системою Цермело - Френкеля, стала стандартною. Вона настільки стандартна, що у ряду дослідників викликає протест, крайні форми якого можна бачити з заголовка глави Чудовисько Френкельштейна (каламбур, заснований на грі слів - Fraenkel і Frankenstein) недавньої книги Я. Хінтіккі Принципи
   
4. Аксіома вибору
   аксіом статус. Вона є найбільш спірною аксіомою теорії множин, і при доказі теорем теорії множин вказується, чи отримано цей результат за допомогою цієї аксіоми чи ні. Не дуже ясний і статус аксіоми; сам Цермело вважав її логічним принципом, і цієї точки зору дотримуються і багато сучасних дослідників (наприклад Я. Хінтікка) 106. Часткове виправдання цієї точки зору
   
5. 2. Зміна завдання
   аксіоматичної теорії множин. Ми будемо виходити тут з того принципово важливого факту, що значна частина змісту математики зводиться до логіки і що незвідні затвердження являють собою абстрактні твердження, що відносяться до класу аподиктичні очевидних істин. Констатація цього факту відкриває можливість обгрунтування несуперечності аксіоматичних систем, які в
   
6. ПРЕЛЮДІЯ До ЧОЛІ 3
   аксіоматичний метод є дуже потужним ». Дж. Берроу. Пі на
   
7. Аксіома виділення
   аксіомою є аксіома виділення (або аксіома підмножин - англійські терміни Axiom of Subsets, Axiom of Separation, і німецький термін Aussonderungsaxiom). Якщо a є безліч, і F (x) є деяке правильно побудоване вираження в мові Цермело - Френкеля з єдиною вільною змінною, тоді існує безліч Ь, чиї елементи є елементами а, для яких F (a) істинно
   
8. Властивості бінарних відносин
   Рефлексивность є властивість, яке полягає в тому, що кожен елемент відносини знаходиться в тому ж відношенні до самого себе. Аксіома для рефлексивності: \ / x \ / y (xRy) з (xRx л yRy). Рефлексивними відносинами, наприклад, є відносини «рівності», «еквівалентності», «тотожності» і т. д. Ставлення, що не задовольняє даній властивості, називається антирефлексивне - коли жоден предмет даного
   
9. 5. Обгрунтування несуперечності на основі факту
   аксіомам, то в цих випадках з'являється можливість безпосереднього висновку про несуперечності аксіом на основі їх логічного зв'язку з фактами. Як приклад ми можемо вказати на зв'язок аксіоматики евклідової планіметрії з теоремою Піфагора. Особливість теореми Піфагора полягає в тому, що її суворе доказ вимагає використання всіх планіметричних аксіом евклідової геометрії.
   
10. Аксіома пари
    аксіомою є аксіома пари. Якщо а і Ь безлічі, тоді існує безліч {а} з єдиним елементом а, а також існує безліч {а, Ь}, єдиними елементами якого є а і b (V *) (Vj) (3 z) (Vve) (we z «w = xv w ~ y) - Досі ми мали як існуючого тільки одне безліч, яке не має членів. Аксіома пари дозволяє нам сконструювати інші
    
11. 2. Переборні доступних для огляду протиріч
    аксіом може міститися в одній з наступних форм: 1. Явна суперечність, представимое у формі «А і не-А». 2. Слабо приховане протиріччя виду А і В, де з В і з аксіом (виключаючи А) виводиться не-А. 3. Істотно приховане протиріччя, що припускає для деякої аксіоми А існування теореми в межах визначального фрагмента, яка вимагає допущення не-а 4. Глибоко
    
12. Несуперечність завершеною аксіоматики
    аксіоматики безсумнівно слід факт її несуперечності. Рух математичної теорії до стадії завершеності представляє одночасно і повне очищення її від внутрішніх протиріч. Історичне вдосконалення математичної теорії може бути розглянуто у двох різних планах: у плані еволюції її тверджень (аксіом і теорем) і в плані становлення системи її внутрішніх
    
13. Предметний покажчик
    аксіоматизована теорії 266 - формальної теорії 200 Нормативність 42, 95316 Предметний покажчик осяжному 246 Обгрунтування - евклідіанское 213 - онтологічне 147, 213 - системне 227 - емпіричне 61-65 Онтологія 303 Онтологическая спільність 161 Онтологічний бар'єр 225 Досвід - допредікатівний 88 - логіко-математичний 128 Очевидність - аподиктичні 14, 24
    
14. 6. Загальні зауваження і висновки
    аксіом) - не тимчасова конвенція, обумовлена рівнем аналізу строгості докази або якими-небудь іншими факторами, а остаточна стадія формування цієї системи, наступаюча в результаті повного узгодження аксіом теорії з фактами, лежащімі1 в її основі. Система аксіом, що досягла стабільності, не може бути усунена або скоригована в змісті своїх принципів і в своєму
    
15. ГЛАВА ТРЕТЯ
    аксіомами, з іншого - сутністю. Цілком очевидно, що і такі аксіоми повинна розглядати одна наука, а саме та, якою займається філософ, бо аксіоми ці мають силу для всього існуючого, а не для якогось особливого роду окремо від усіх інших. І застосовують їх все, тому що вони істинні для сущого як такого, а кожен рід є суще; але їх застосовують настільки, 26 наскільки це
    
16. 3.3. Опосередковані умовиводи. Простий категоричний силогізм
    Структура простого категоричного силогізму Категоричний силогізм - це таке опосередковане дедуктивний умовивід, посилками і укладанням якого є категоричні судження. Наприклад: Всі риби дихають зябрами Карась - риба Карась дихає зябрами Поняття, що є суб'єктом укладення, називається меншим терміном і позначається символічно «S». У наведеному вище прикладі йому
    
17. 4. Несуперечливість змістовно аксіоматизована теорії
    аксіоматики, яка визнається адекватною змісту теорії і стає, в кінцевому підсумку, найбільш суворим її визначенням. Аксіоматика набуває завершеність і нерухомість внаслідок завершеності визначального її фрагмента теорії. Тут важливим для нас є та обставина, що будь-яка аксіоматика визначається кінцевим числом теорем, що утворюють визначальний фрагмент теорії.
    
18. Глава XI МЕТОД НАУК, зведення до восьми основних ПРАВИЛАМИ
    аксіом і можуть бути віднесені до другої частини. 5-е і 6-е стосуються умовиводів, і їх можна віднести до третьої частини. Нарешті, два останніх стосуються порядку і відносяться до четвертої частини. Два правила відносно визначень 1. Не залишати без визначення жодного скільки-небудь неясного або неоднозначного терміну. 2. Використовувати у визначеннях тільки добре відомі або