Аксіома нескінченності

(Ел ;) [Лє х & (Vj) (у є х => (3z) (zex & (Vw) (w є z про «we /) vw = j /))].

Аксіома нескінченності стверджує існування принаймні одного нескінченної кількості, з якого можуть бути породжені інші нескінченні множини. Вона стверджує існування безлічі, якому належить 0, і такого, що якщо йому належить 0, йому належить і 0 і {0}. Оскільки 0 не має членів, 0 і {0} має тільки один член, а саме 0, і він, таким чином, тотожний {0}. Але тоді {0} і {{0}} = {0, {0}} також належить безлічі і т.д. Тому безліч, про існування якого йдеться в аксіомі, містить послідовність

{0, {0}, {0, {0}}}, {0, {0}, {0, {0} }}, ... .

0 12 3

Аксіома нескінченності не викликає зараз особливих хвилювань серед математиків. Наприклад, М. Тайлс каже, що викладені вище п'ять аксіом «не уявляють особливих проблем», а ось осталь-ні аксіоми менш ясни94. Інша точка зору висловлена в класичному огляді А. Френкеля та І. Бар-Хіллела «Підстави теорії множин» 95. Вони кажуть про ту частину теорії множин, яка виводиться з аксіоми екстенсіональності, аксіоми пари, аксіоми безлічі-суми, аксіоми безлічі-ступеня, аксіоми виділення, як про загальної теорії множин. Аксіома нескінченності у них займає особливе місце. При такому положенні справ має сенс звернутися до філософських міркувань Б. Рассела96. Як видно, з формулювання аксіоми, «аксіома нескінченності запевняє нас (істинним або хибним чином), що є класи, що мають п членів, і, таким чином, дозволяє нам стверджувати, що п не дорівнює п + 1. Без цієї аксіоми ми залишаємося з можливістю того, що обидва числа п і п + 1 можуть виявитися нуль-класом.

Давайте проілюструємо цю можливість на такому прімере97: припустимо, що в світі є тільки 9 індивідів. Тоді індуктивні кардинальні числа від 0 до 9 будуть такими, як ми і очікуємо, але 10 (певне як 9 +1) буде нуль-класом. Треба згадати, що п + 1 є сукупність всіх тих класів, які мають термін х такий, що коли х віднято, залишається клас п термінів. Застосовуючи це визначення, ми бачимо, що в передбачуваному нами випадку 9 + 1 є клас, який не перебуває з класів, тобто нуль-клас. Те ж саме буде істинним про 9 + 2, і взагалі про 9 + п, якщо п не їсти 0.

Як зазначає далі Рассел, для того щоб досягти будь-якого заданого індуктивного кардинального числа, нам не потрібно ак-СИОМА нескінченності. Вона потрібна, коли ми маємо справу з цілим рядом індуктивних кардинальних чисел, а клас всіх індуктивних кардинальних чисел потрібно для встановлення існування Х0.

Аксіома нескінченності надає нам прекрасний випадок переконатися в тому, що аксіоми дійсно є аксіомами, а не доказовими твердженнями, і разом з тим показати, що придбання аксіомами свого статусу впирається у вельми складні матерії філософського спрямування. Знову вдамося до обговорення цього питання Расселом. Якщо утворити повне безліч індивідів, класів, класів класів тощо, тоді взяті всі разом вони утворюють безліч

п + 2 "+ 2 в ступені 2" ... до нескінченності,

яке є N. Таким чином, беручи всі види об'єктів разом і не обмежуючи себе об'єктами якого одного з типів, ми безумовно отримаємо нескінченний клас, і в цьому випадку аксіома нескінченності нам не потрібна. Рассел зауважує, що «є тут відчуття якогось фокусу: це нагадує фокусника, що витягає з капелюха предмети. Людина, яка носив капелюх, повністю впевнений в тому, що там не було кроликів, але він не в силах пояснити, звідки вони там з'явилися. Так і наш читач, якщо у нього є здорове почуття реальності, буде переконаний, що неможливо провести нескінченну сукупність з кінцевої сукупності, хоча він, цілком можливо, не зможе знайти вад в аргументації ... І коли вищенаведений аргумент піддається перевірці, він виявляється, з моєї точки зору, помилковим »99. Рассел приписує помилку змішанням типів, апелюючи при цьому до своєї теорії типів. Нам немає потреби заглиблюватися в саму теорію типів, яка в певному сенсі являє собою конкурента аксіоматичної теорії множин в дозволі теоретико-множинних парадоксів. Ми просто показали, що аксіома нескінченності є аксіомою вже тому, що спроби довести її приводять до фундаментальних труднощів.

Аксіома нескінченності мотивується, звичайно ж, ідеями Кантора, які М. Халет назвав «канторовской фінітізмом»: «Множини трактуються як прості об'єкти, незалежно від того, чи є вони кінцевими або нескінченними. Визначення Кантора і Дедекинда дійсних чисел приводять до розгляду нескінченних сукупностей як єдиних об'єктів, тобто як індивідів. Незважаючи на те, що дійсні числа з точки зору їх визначень є надзвичайно складними конструкціями, після їх введення в теорію ми можемо розглядати їх як прості об'єкти - забудьте про складність. Кантор поширив цю доктрину на все сукупності, які є предметом математичного розгляду. Всі ці сукупності вважаються єдиними об'єктами »101.

Таким чином, аксіома нескінченності являє собою вираження радикальної ідеї Кантора про нескінченні совокупностях, ідеї, яка була і залишається настільки ж незвичайною, скільки і корисною. Вдаючись до термінології Медді, неясно, до яких міркувань віднести цю аксіому в нинішній час - до внутрішнім або зовнішнім. Її очевидна корисність, продекламував у всю міць Гильбертом, відноситься до зовнішніх міркувань. Однак коли незабаром ідеї Кантора стали неодмінною частиною сучасної математики, це свідчить швидше про внутрішній характер.

Інформація, релевантна " Аксіома нескінченності "

1. Математичні аксіоми
   аксіома повної індукції). Список наведених аксіом не суперечить, якщо з нього не виведена формула вигляду (А &-іл), де змінна А може позначати будь-яке, в тому числі і арифметичне, висловлювання. Припустимо, формула (A А) випливає з даних аксіом. Яка властивість набувають в цьому випадку аксіоми? Відповідь дає наступне міркування, в якому до аксіом приєднується як допущення
   
2. Аксіома заміщення
   аксіома призначена для того, щоб дозволити існування тих чисел, які з'являються в неформальній теорії множин . Досі наведені аксіоми (крім обговорюваної нами зараз аксіоми заміщення) гарантують існування таких ординальних чисел, як ft) + 1, зі + 2 і т.д., але не будь-якого безлічі, до якого вони належать. Іншими словами, немає гарантії існування ординальних чисел
   
3. Предметний покажчик
   аксіоматизована теорії 266 - формальної теорії 200 Нормативність 42, 95316 Предметний покажчик осяжному 246 Обгрунтування - евклідіанское 213 - онтологічне 147, 213 - системне 227 - емпіричне 61-65 Онтологія 303 Онтологическая спільність 161 Онтологічний бар'єр 225 Досвід - допредікатівний 88 - логіко-математичний 128 Очевидність - аподиктичні 14, 24
   
4. 2. Зміна завдання
   аксіоматичної теорії множин. Ми будемо виходити тут з того принципово важливого факту, що значна частина змісту математики зводиться до логіки і що незвідні затвердження являють собою абстрактні твердження, що відносяться до класу аподиктичні очевидних істин. Констатація цього факту відкриває можливість обгрунтування несуперечності аксіоматичних систем, які в
   
5. 5. Про підхід П.С. Новикова
   аксіомою нескінченності, тобто частина теорії множин, охоплювану теоретико-типовий аксіоматікой43. Підхід Новикова виглядає штучним, оскільки він навантажує нескінченністю логічні числення, які завжди мислилися як найбільш простий і кінцевої частини математичного знання. Д. Гільберт вважав нескінченні кон'юнкції і нескінченні диз'юнкції чисто гіпотетичними і
   
6. Аксіома пари
   аксіомою є аксіома пари. Якщо а і Ь безлічі, тоді існує безліч {а} з єдиним елементом а, а також існує безліч {а, Ь}, єдиними елементами якого є а і b (V *) (Vj) (3 z) (Vve) (we z «w = xv w ~ y) - Досі ми мали як існуючого тільки одне безліч, яке не має членів. Аксіома пари дозволяє нам сконструювати інші
   
7. 3. «Просунуті» аксіоми
   аксіомам, практично всі згодні з тим, що аксіоми досить прості і не викликають яких-небудь заперечень. Проте в ході побудови теорії множин потрібні були і інші, «менш ясні» аксіоми. Першою з таких аксіом ми представляємо аксіому фундування (foundation - в англійській термінології), - в російській термінології перекладу класичної книги Френкеля і Бар-Хіллела. Аксіома фундування
   
8. 2. «Прості» аксіоми
   аксіоми Цермело були доповнені і модифіковані А. Френкелем, і результуюча система аксіом, названа системою Цермело - Френкеля, стала стандартною. Вона настільки стандартна, що у ряду дослідників викликає протест, крайні форми якого можна бачити з заголовка глави Чудовисько Френкельштейна (каламбур, заснований на грі слів - Fraenkel і Frankenstein) недавньої книги Я. Хінтіккі Принципи
   
9. Глава VII ДЕЯКІ ВАЖЛИВІ АКСІОМИ, КОИ МОЖУТЬ СЛУЖИТИ відправних положень ДЛЯ ВИВЕДЕННЯ ВЕЛИКИХ ІСТИН
   аксіом і принципів, які, будучи ясними і безперечними, могли б служити нам основою для пізнання найпотаємніших речей. Однак ті, які зазвичай висувають, малозастосовні, і внаніе їх нічого не дає. Те, що називають першим принципом пізнання, - Неможливо, щоб одна і та ж річ існувала і не існувала - вельми ясно і вельми достовірно, по я не знаю випадку, коли цей принцип допоміг би
   
10. Аксіома вибору
    аксіом статус. Вона є найбільш спірною аксіомою теорії множин, і при доказі теорем теорії множин вказується, чи отримано цей результат за допомогою цієї аксіоми чи ні. Не дуже ясний і статус аксіоми; сам Цермело вважав її логічним принципом, і цієї точки зору дотримуються і багато сучасних дослідників (наприклад Я. Хінтікка) 106. Часткове виправдання цієї точки зору
    
11. Класи і парадокси
    аксіомою нескінченності ». Аксіома нескінченності представляє допущення, що якщо п - натуральне число, тоді в універсумі існує хоча б один клас з п + 1 елементами, Так як число п заздалегідь не фіксується, є довільним, то число об'єктів універсуму перевершує будь-яке число п. Головне наслідок прийняття аксіоми нескінченності - введення заборони для довільного числа об'єктів п
    
12. ПРЕЛЮДІЯ До ЧОЛІ 3
    аксіоматичний метод є дуже потужним ». Дж. Берроу. Пі на
    
13. 5. Обгрунтування несуперечності на основі факту
    аксіомам, то в цих випадках з'являється можливість безпосереднього висновку про несуперечності аксіом на основі їх логічного зв'язку з фактами. Як приклад ми можемо вказати на зв'язок аксіоматики евклідової планіметрії з теоремою Піфагора. Особливість теореми Піфагора полягає в тому, що її суворе доказ вимагає використання всіх планіметричних аксіом евклідової геометрії.
    
14. 4. Праксеологіческая виправдання аксіоми вибору
      аксіома розпадається на три положення, кожне з яких вимагає особливого обговорення. Вона припускає диз'юнктивний характер безлічі, тобто розчленованість його на елементи, відокремлювані від безлічі в цілому, здійснимість вибору для довільної сукупності множин і то допущення, що результат вибору буде безліччю, допустимим в якості об'єкта суворого математичного міркування, на відміну