Аксіома безлічі-суми (аксіома об'єднання)

(\ / х) (Зу) (Vz) [z є у о (3 w) (w є а & w є w)] .

Аксіома стверджує існування множин, що містять будь-яке число елементів. Наприклад, об'єднання пар множин, що не мають спільних елементів, - одне безліч містить два елементи, а друге - один елемент - дає безліч з трьох елементів

і {{0, {0}}, {{ 0, {0}}}} = {0, {0}, {0, {0}}}.

Повторення операції об'єднання дає великі безлічі, але знову-таки кінцеве їх число. Цим самим досягається все та ж політика отримання «невеликих» множин з «невеликих» множин, а саме, сукупність, що представляє об'едііеніе "не-великих» множин, сама повинна бути «невеликий».

Але навіть у такій «нешкідливою» аксіомі нас можуть підстерігати небезпеки. Справа в тому, що об'єднання безлічі а може мати більше членів, ніж саме а, що може призвести до створення дуже великих множин. Але більша частина математиків вважає, що ця аксіома не виведе безлічі за розумні межі. Висловлені побоювання не є дуже вже актуальними з тієї причини, що обидві аксіоми - пари та об'єднання - виражають ідеологію итеративной концепції безлічі, яка гарантує розумні розміри множин. Дійсно, нехай є множини А і В, які сформовані на деякій стадії а. Тоді об'єднання А і В можна буде зробити на стадії а + 1, що і гарантує аксіома пари.

Аксіома пари і аксіома безлічі-суми, як видно, не дають досить великих множин. Навіть якщо допустити існування нескінченних рахункових множин, ці аксіоми не дадуть нам континууму. Тому необхідна більш «сильна» аксіома, і вже Кантор використовував для отримання досить великих множин операцію зведення в ступінь. Отримані таким чином безлічі виправдовуються аксіомою безлічі-ступеня. Але до того нам потрібно розглянути аксіому нескінченності, яка гарантує існування нескінченних множин.

Інформація, релевантна " Аксіома безлічі-суми (аксіома об'єднання) "

1. Аксіома безлічі-ступеня
   аксіома« вибивається »з ряду попередніх аксіом, які призначені обмежити розмір одержуваних множин, щоб уникнути парадоксів . Саме це міркування, з нашої точки зору, було покладено в основу класифікації аксіом Френкелем і Бар-Хиллел на «конструктивні аксіоми загальної теорії множин», куди входить аксіома ступеня-множини, і «обмеження», куди входять аксіома нескінченності, аксіома
   
2. Математичні аксіоми
   аксіома повної індукції). Список наведених аксіом не суперечить, якщо з нього не виведена формула вигляду (А &-іл), де змінна А може позначати будь-яке, в тому числі і арифметичне, висловлювання. Припустимо, формула (A А) випливає з даних аксіом. Яка властивість набувають в цьому випадку аксіоми? Відповідь дає наступне міркування, в якому до аксіом приєднується як допущення
   
3. Аксіома заміщення
   аксіома призначена для того, щоб дозволити існування тих чисел, які з'являються в неформальній теорії множин . Досі наведені аксіоми (крім обговорюваної нами зараз аксіоми заміщення) гарантують існування таких ординальних чисел, як ft) + 1, зі + 2 і т.д., але не будь-якого безлічі, до якого вони належать. Іншими словами, немає гарантії існування ординальних чисел
   
4. Аксіома екстенсіональності
   аксіома - аксіома екстенсіональності. Якщо дві множини мають одні і ті ж елементи, вони тотожні. VJC У у VZ [(Z Є х О z є 7) => х = у]. Ця аксіома начебто не потребує коментарів чинності очевидності. Для початку зауважимо, що ця аксіома відокремлює безлічі від інших інтенсіональних сутностей типу властивостей; це означає, що спосіб компоновки елементів у сукупність, тобто спосіб
   
5. Аксіома вибору
   аксіом статус. Вона є найбільш спірною аксіомою теорії множин, і при доказі теорем теорії множин вказується, чи отримано цей результат за допомогою цієї аксіоми чи ні. Не дуже ясний і статус аксіоми; сам Цермело вважав її логічним принципом, і цієї точки зору дотримуються і багато сучасних дослідників (наприклад Я. Хінтікка) 106. Часткове виправдання цієї точки зору
   
6. 2. «Прості» аксіоми
   аксіоми Цермело були доповнені і модифіковані А. Френкелем, і результуюча система аксіом, названа системою Цермело - Френкеля, стала стандартною. Вона настільки стандартна, що у ряду дослідників викликає протест, крайні форми якого можна бачити з заголовка глави Чудовисько Френкельштейна (каламбур, заснований на грі слів - Fraenkel і Frankenstein) недавньої книги Я. Хінтіккі Принципи
   
7. 5. Теорія множин і реальність
   аксіом теорії множин (на противагу, наприклад, доказу трансцендентності числа пі) жодним чином не є вирішенням проблеми. ... Теоретико-множинні концепції і теореми описують цілком-визначену реальність, в якій здогадка Кантора повинна бути або істинною, або хибною. Звідси випливає, що нерозв'язність континуум-гіпотези в рамках системи аксіом означає, що ці
   
8. Аксіома виділення
   аксіомою є аксіома виділення (або аксіома підмножин - англійські терміни Axiom of Subsets , Axiom of Separation, і німецький термін Aussonderungsaxiom). Якщо a є безліч, і F (x) є деяке правильно побудоване вираження в мові Цермело - Френкеля з єдиною вільною змінною, тоді існує безліч Ь, чиї елементи є елементами а, для яких F (a) істинно
   
9. 3. «Просунуті» аксіоми
   аксіомам, практично всі згодні з тим, що аксіоми досить прості і не викликають яких-небудь заперечень. Проте в ході побудови теорії множин потрібні були і інші, «менш ясні» аксіоми. Першою з таких аксіом ми представляємо аксіому фундування (foundation - в англійській термінології), - в російській термінології перекладу класичної книги Френкеля і Бар-Хіллела. Аксіома фундування
   
10. 2. Зміна завдання
    аксіоматичної теорії множин. Ми будемо виходити тут з того принципово важливого факту, що значна частина змісту математики зводиться до логіки і що незвідні затвердження являють собою абстрактні твердження, що відносяться до класу аподиктичні очевидних істин. Констатація цього факту відкриває можливість обгрунтування несуперечності аксіоматичних систем, які в
    
11. Аксіома пари
    аксіомою є аксіома пари. Якщо а і Ь безлічі, тоді існує безліч {а} з єдиним елементом а, а також існує безліч {а, Ь}, єдиними елементами якого є а і b (V *) (Vj) (3 z) (Vve) (we z «w = xv w ~ y) - Досі ми мали як існуючого тільки одне безліч, яке не має членів. Аксіома пари дозволяє нам сконструювати інші
    
12. Аксіома нескінченності
    аксіомі, містить послідовність {0, {0}, {0, {0}}}, {0, { 0}, {0, {0}}}, ... . 0 12 березня Аксіома нескінченності не викликає зараз особливих хвилювань серед математиків. Наприклад, М. Тайлс каже, що викладені вище п'ять аксіом «не уявляють особливих проблем», а ось осталь-ні аксіоми менш ясни94. Інша точка зору висловлена в класичному огляді А. Френкеля та І. Бар-Хіллела
    
13. 5. Обгрунтування несуперечності на основі факту
    аксіомам, то в цих випадках з'являється можливість безпосереднього висновку про несуперечності аксіом на основі їх логічного зв'язку з фактами. Як приклад ми можемо вказати на зв'язок аксіоматики евклідової планіметрії з теоремою Піфагора. Особливість теореми Піфагора полягає в тому, що її суворе доказ вимагає використання всіх планіметричних аксіом евклідової геометрії.
    
14. ПРЕЛЮДІЯ До ЧОЛІ 3
    аксіоматичний метод є дуже потужним ». Дж. Берроу. Пі на
    
15. Властивості бінарних відносин
    Рефлексивность є властивість, яке полягає в тому, що кожен елемент відносини знаходиться в тому ж відношенні до самого себе. Аксіома для рефлексивності: \ / x \ / y (xRy) з (xRx л yRy). Рефлексивними відносинами, наприклад, є відносини «рівності», «еквівалентності», «тотожності» і т. д. Ставлення, що не задовольняє даній властивості, називається антирефлексивне - коли жоден предмет даного
    
16. 3. Дозвіл парадоксу
    аксіоми безлічі-ступеня. З першого погляду ця теорема суперечить теоремі Кантора, згідно з якою в даному випадку елементи множини-ступеня цілих чисел не можуть бути по-3. ДОЗВІЛ парадоксів ставлени в 1-1 відповідність з цілими числами. З теореми ж Левенгейма - Сколема випливає, що аксіоми Цермело - Френкеля мають справу щонайбільше з рахунковим числом об'єктів, і звідси,
    
17. 4. Праксеологіческая виправдання аксіоми вибору
    аксіома розпадається на три положення, кожне з яких вимагає особливого обговорення. Вона припускає диз'юнктивний характер безлічі, тобто розчленованість його на елементи, відокремлювані від безлічі в цілому, здійснимість вибору для довільної сукупності множин і то допущення, що результат вибору буде безліччю, допустимим в якості об'єкта суворого математичного міркування, на відміну
    
18. 7. Операціональні визначення
    аксіома X щодо так званих операціональних визначень. Якщо застосовувати її до випадку електричного поля, що характеризується напруженістю Е, то ця аксіома стверджує, що Е 'набуває фізичне значення тільки тоді, коли наказується процедура для вимірювання величини Е. Але це невірно: вимірювання дозволяють нам визначити тільки кінцеве число значень функції, більше того , вони
    
19. 6. Загальні зауваження і висновки
    аксіом) - не тимчасова конвенція, обумовлена рівнем аналізу строгості докази або якими-небудь іншими факторами, а остаточна стадія формування цієї системи, наступаюча в результаті повного узгодження аксіом теорії з фактами, лежащімі1 в її основі. Система аксіом, що досягла стабільності, не може бути усунена або скоригована в змісті своїх принципів і в своєму