Аксіома екстенсіональності

Якщо дві множини мають одні і ті ж елементи, вони тотожні.

VJC У у VZ [(Z Є х О z є 7) => х = у].

Ця аксіома начебто не потребує коментарів чинності очевидності. Для початку зауважимо, що ця аксіома відокремлює безлічі від інших інтенсіональних сутностей типу властивостей; це означає, що спосіб компоновки елементів у сукупність, тобто спосіб визначення множини, несуттєвий для завдання його тотожності. Одне і те ж безліч може мати два визначення і більше. Іншими словами, безліч розуміється як сукупність елементів, ідентичність якої визначається її членами.

Простота і ясність аксіоми екстенсіональності підводить до думки, ця аксіома висловлює настільки фундаментальна властивість безлічі, що попросту є частиною визначення концепції множини. Це відчуття чудово висловив Дж. Булос. Він вважає, що аксіома екстенсіональності має спеціальний епістемологічний статус, якого не мають інші аксіоми.

Проте немає нічого суперечливого в інтенсіональні концепції множини. Тоді аксіома екстенсіональності НЕ БУДЕ ана-літичної. Дійсно, в системі Principia Mathematica як базисних сутностей виступають пропозіціональние функції, які є интенсиональное концепціями.

Інформація, релевантна " Аксіома екстенсіональності "

1. Математичні аксіоми
   Ад. а = а (кожне натуральне число рав але самому собі). Аю. a ~ bi> (. Аа z> Ab) (рівні натуральні числа про ладан рівними властивостями). Ац.а '* 0 (ні одне натуральне число, безпосередньо наступне за натуральним числом а, не дорівнює 0). А12. Л (0) & (x) (/ 4x zd Ах ') zd Аа (аксіома повної індукції). Список наведених аксіом не суперечить, якщо з нього не виведена формула
   
2. Аксіома безлічі-ступеня
   Якщо а є безліч, тоді є безліч Р (а), безліч-ступінь від а, чиї елементи - це все підмножини множини а \ / х Еу Vz [z є у Vw (we z => w є *)]. У певному сенсі ця аксіома «вибивається» з ряду попередніх аксіом, які призначені обмежити розмір одержуваних множин, щоб уникнути парадоксів. Саме це міркування, з нашої точки зору, було покладено в основу
   
3. Аксіома заміщення
   Якщо а є безліч і F (х, у) є цілком певне безліч в мові Цермело - Френкеля, яке асоціює з кожним елементом х безлічі а єдиний елемент х *, тоді є безліч а *, чиї елементи є якраз ті безлічі х *, які асоціюються формулою F (х, j>) з елементами а: Vx \ Уу [у є х => 3z (F (y, z) & Vw (F (y, w) w = z))] => = »Vv VM [u Є v 3t {t є x & F {t, і))]].
   
4. 2. «Прості» аксіоми
   Згодом аксіоми Цермело були доповнені і модифіковані А. Френкелем, і результуюча система аксіом, названа системою Цермело - Френкеля, стала стандартною. Вона настільки стандартна, що у ряду дослідників викликає протест, крайні форми якого можна бачити з заголовка глави Чудовисько Френкельштейна (каламбур, заснований на грі слів - Fraenkel і Frankenstein) недавньої книги Я.
   
5. Аксіома вибору
   Якщо а є безліч, всі елементи якого не порожні множини, жодне з яких не має спільних елементів один з одним, тоді є безліч с, яке має точно один загальний елемент з кожним елементом a Vx [\ / y (ye x = »-i (y = 0)) & V7 Vz (ye x & ze x (y = z) =» => -1 (3w {we у & we z))) => 3aVj (y6x = ^ 3z (ze і && ze у & Vw (we u & wey => w = z)))]. Аксіома вибору має відмінний від інших аксіом
   
6. Аксіома нескінченності
   Є безліч, яке має 0 в якості свого елемента, і таке, що якщо а є елемент цієї множини, тоді u {a, {а}} (або a і {а}) є також елемент цієї множини (Ел ;) [Лє х & (Vj) (у є х => (3z) (zex & (Vw) (w є z про «we /) vw = j /))]. Аксіома нескінченності стверджує існування принаймні одного нескінченної кількості, з якого можуть бути породжені інші
   
7. 2. Зміна завдання
   В даний час ідея зведення до логіці не розглядається як перспективна для обгрунтування математики. Існує думка, що на відміну від інтуїционізма і формалізму логіцизм не виробив продуктивних ідей і в даний час може розглядатися як має лише історичний інтерес. Така оцінка представляється не зовсім вірною. Вона виходить тільки з факту нереализуемости вихідних завдань
   
8. ПРЕЛЮДІЯ До ЧОЛІ 3
   На відміну від формалістів Гедель вірив, що математична істина є об'єктивна істина про що-то такому, що реально існує, і не є однією зі сторін творчої діяльності розуму. Але такі ідеї могли бути зустрінуті в 1930 році з презирством, так що цей філософський погляд не був згаданий явно в його викладі теорем про неповноту. Тут, як і у всіх аспектах свого життя, Гедель був
   
9. Аксіома виділення
   Наступною аксіомою є аксіома виділення (або аксіома підмножин - англійські терміни Axiom of Subsets, Axiom of Separation, і німецький термін Aussonderungsaxiom). Якщо a є безліч, і F (x) є деяке правильно побудоване вираження в мові Цермело - Френкеля з єдиною вільною змінною, тоді існує безліч Ь, чиї елементи є елементами а, для яких F (a)
   
10. Властивості бінарних відносин
    Рефлексивность є властивість, яке полягає в тому, що кожен елемент відносини знаходиться в тому ж відношенні до самого себе. Аксіома для рефлексивності: \ / x \ / y (xRy) з (xRx л yRy). Рефлексивними відносинами, наприклад, є відносини «рівності», «еквівалентності», «тотожності» і т. д. Ставлення, що не задовольняє даній властивості, називається антирефлексивне - коли жоден предмет даного
    
11. 3. «Просунуті» аксіоми
    Незважаючи на наведені вище розлогі коментарі до цих декільком аксіомам, практично всі згодні з тим, що аксіоми досить прості і не викликають яких-небудь заперечень. Проте в ході побудови теорії множин потрібні були і інші, «менш ясні» аксіоми. Першою з таких аксіом ми представляємо аксіому фундування (foundation - в англійській термінології), - в російській термінології
    
12. 5. Обгрунтування несуперечності на основі факту
    Особливістю зрілої математичної теорії, як уже сказано, є прямий зв'язок фактів і принципів, при якій факти однозначно визначають систему необхідних принципів. Оскільки істинність фактів в деяких випадках може бути визнана безпосередньо, без звернення до аксіом, то в цих випадках з'являється можливість безпосереднього висновку про несуперечності аксіом на основі їх
    
13. Аксіома пари
    Наступною аксіомою є аксіома пари. Якщо а і Ь безлічі, тоді існує безліч {а} з єдиним елементом а, а також існує безліч {а, Ь}, єдиними елементами якого є а і b (V *) (Vj) (3 z) (Vve) (we z «w = xv w ~ y) - Досі ми мали як існуючого тільки одне безліч, яке не має членів. Аксіома пари дозволяє нам сконструювати