|
Якщо а є безліч і F (х, у) є цілком певне безліч в мові Цермело - Френкеля, яке асоціює з кожним елементом х безлічі а єдиний елемент х *, тоді є безліч а *, чиї елементи є якраз ті безлічі х *, які асоціюються формулою F (х, j>) з елементами а: Vx \ Уу [у є х => 3z (F (y, z) & Vw (F (y, w) w = z))] => = »Vv VM [u Є v <=> 3t {t є x & F {t, і))]]. Всяка нова аксіома призначена для того, щоб дозволити існування тих чисел, які з'являються в неформальній теорії множин. Досі наведені аксіоми (крім обговорюваної нами зараз аксіоми заміщення) гарантують існування таких ординальних чисел, як ft) + 1, зі + 2 і т.д., але не будь-якого безлічі, до якого вони належать. Іншими словами, немає гарантії існування ординальних чисел за межами зі + п для кінцевого п. Аксіома заміщення дозволяє визначити функцію / (і) = зі + п над зі, так що гарантується існування Множини значень функції. Об'єднання цієї множини із зі тоді дає уявлення зі + зі, і всіх ординальних чисел другого числового класу.
Аксіома заміщення є сильнішою аксіомою, ніж аксіома виділення, оскільки з її допомогою можна розвинути загальну теорію ординальних чисел. Разом з тим у цій аксіомі присутній обмеження, що має місце в аксіомі виділення, а саме, безліч утворюється з області значень функції, визначеної над вже заданим безліччю.Як і у випадку інших «непростих» аксіом, аксіома заміщення приймається не тільки заради побудови більш потужних множин. Дж. фон Нейман показав, що ця аксіома потрібна для встановлення фундаментальних результатів теорії множин, наприклад, для доведення твердження Кантора, що «кожне множе-ство може бути поставлено в одно-однозначна відповідність з деяким ордіналов». Крім того, за допомогою цієї аксіоми Нейман довів фундаментальний принцип трансфинитное рекурсією. Відносно недавно Мартін довів теорему, яка демонструє центральну роль аксіоми заміщення в теорії множин дійсних чисел (а саме, властивість регулярності деяких визначених множин дійсних чисел).
Ця ситуація демонструє загальну тенденцію у прийнятті аксіом теорії множин; за висловом Булос, «причини для прийняття аксіоми заміщення дуже прості: вона має бажані слідства, і не має небажаних». Це типово зовнішнє виправдання введення аксіоми, оскільки її корисність не мотивує виключно міркуваннями власне теорії множин.Набагато більші безлічі можуть бути утворені за допомогою аксіоми безлічі-ступеня. Дійсно, як стверджує Коен, однією з причин прийняття аксіоми нескінченності є відчуття того, що процес додавання одного безлічі за іншим не вичерпує весь універсум. Але аксіоми нескінченності є найбільш простий, спеціальний, спосіб породження великих кардинальних чисел. А от за допомогою аксіоми безлічі-ступеня, новим і більш потужним принципом, виходить контінуум105.
|
- Математичні аксіоми
аксіома повної індукції). Список наведених аксіом не суперечить, якщо з нього не виведена формула вигляду (А &-іл), де змінна А може позначати будь-яке, в тому числі і арифметичне, висловлювання. Припустимо, формула (A А) випливає з даних аксіом. Яка властивість набувають в цьому випадку аксіоми? Відповідь дає наступне міркування, в якому до аксіом приєднується як допущення
- 2. «Прості» аксіоми
аксіоми Цермело були доповнені і модифіковані А. Френкелем, і результуюча система аксіом, названа системою Цермело - Френкеля, стала стандартною. Вона настільки стандартна, що у ряду дослідників викликає протест, крайні форми якого можна бачити з заголовка глави Чудовисько Френкельштейна (каламбур, заснований на грі слів - Fraenkel і Frankenstein) недавньої книги Я. Хінтіккі Принципи
- Аксіома вибору
аксіом статус. Вона є найбільш спірною аксіомою теорії множин, і при доказі теорем теорії множин вказується, чи отримано цей результат за допомогою цієї аксіоми чи ні. Не дуже ясний і статус аксіоми; сам Цермело вважав її логічним принципом, і цієї точки зору дотримуються і багато сучасних дослідників (наприклад Я. Хінтікка) 106. Часткове виправдання цієї точки зору
- Організація конкурсів фахівців
заміщення вакантних посад. На основі проведення конкурсів можуть заміщатися посади спеціалістів і керівників. Керівник підприємства приймає рішення про те, які вакантні посади заміщуються за конкурсом. Для проведення конкурсу рішенням керівника підприємства (структурної одиниці об'єднання) створюються конкурсні комісії. В окремих випадках за рішенням керівника підприємства
- 2. Зміна завдання
аксіоматичної теорії множин. Ми будемо виходити тут з того принципово важливого факту, що значна частина змісту математики зводиться до логіки і що незвідні затвердження являють собою абстрактні твердження, що відносяться до класу аподиктичні очевидних істин. Констатація цього факту відкриває можливість обгрунтування несуперечності аксіоматичних систем, які в
- ПРЕЛЮДІЯ До ЧОЛІ 3
аксіоматичний метод є дуже потужним ». Дж. Берроу. Пі на
- Аксіома виділення
аксіомою є аксіома виділення (або аксіома підмножин - англійські терміни Axiom of Subsets, Axiom of Separation, і німецький термін Aussonderungsaxiom). Якщо a є безліч, і F (x) є деяке правильно побудоване вираження в мові Цермело - Френкеля з єдиною вільною змінною, тоді існує безліч Ь, чиї елементи є елементами а, для яких F (a) істинно
- Властивості бінарних відносин
Рефлексивность є властивість, яке полягає в тому, що кожен елемент відносини знаходиться в тому ж відношенні до самого себе. Аксіома для рефлексивності: \ / x \ / y (xRy) з (xRx л yRy). Рефлексивними відносинами, наприклад, є відносини «рівності», «еквівалентності», «тотожності» і т. д. Ставлення, що не задовольняє даній властивості, називається антирефлексивне - коли жоден предмет даного
- 5. Обгрунтування несуперечності на основі факту
аксіомам, то в цих випадках з'являється можливість безпосереднього висновку про несуперечності аксіом на основі їх логічного зв'язку з фактами. Як приклад ми можемо вказати на зв'язок аксіоматики евклідової планіметрії з теоремою Піфагора. Особливість теореми Піфагора полягає в тому, що її суворе доказ вимагає використання всіх планіметричних аксіом евклідової геометрії.
- Аксіома пари
аксіомою є аксіома пари. Якщо а і Ь безлічі, тоді існує безліч {а} з єдиним елементом а, а також існує безліч {а, Ь}, єдиними елементами якого є а і b (V *) (Vj) (3 z) (Vve) (we z «w = xv w ~ y) - Досі ми мали як існуючого тільки одне безліч, яке не має членів. Аксіома пари дозволяє нам сконструювати інші
|