Аксіологія / Аналітична філософія / Антична філософія / Антологія / Антропологія / Історія філософії / Історія філософії / Логіка / Метафізика / Світова філософія / Першоджерела з філософії / Проблеми філософії / Сучасна філософія / Соціальна філософія / Середньовічна філософія / Телеологія / Теорія еволюції / Філософія (підручник) / Філософія мистецтва / Філософія історії / Філософія кіно / Філософія науки / Філософія політики / Філософія різних країн і часів / Філософія самоорганізації / Філософи / Фундаментальна філософія / Хрестоматії з філософії / Езотерика
ГоловнаФілософіяФілософія науки → 
« Попередня Наступна »
Целищев В.В.. Філософія математики. 4.1. - Новосибірськ: Наука,. -212 с., 2002 - перейти до змісту підручника

Аксіома вибору

Якщо а є безліч, всі елементи якого не порожні множини, ні одне з яких не має спільних елементів один з одним, тоді є безліч с, яке має точно один загальний елемент з кожним елементом a

Vx [\ / y (ye x = »-i (y = 0)) & V7 Vz (ye x & ze x (y = z) = »=> -1 (3w {we у & we z))) => 3aVj (y6x = ^ 3z (ze і && ze у & Vw (we u & wey => w = z)))]. Аксіома вибору має відмінний від інших аксіом статус. Вона є найбільш спірною аксіомою теорії множин, і при доказі теорем теорії множин вказується, чи отримано цей результат за допомогою цієї аксіоми чи ні. Не дуже ясний і статус аксіоми; сам Цермело вважав її логічним принципом, і цієї точки зору дотримуються і багато сучасних дослідників (наприклад Я. Хінтікка) 106. Часткове виправдання цієї точки зору полягає в тому, що багато хто знаходить аксіому вибору інтуїтивно правдоподібною. Проблема полягає в тому, що ця невинна, з першого погляду, аксіома має несподівані і дуже сильні слідства, і багато їхніх цих наслідків вважаються такими, що суперечать інтуїції. З цієї причини, багато математики вважають, що слід уникати, якщо це можливо, використання цієї аксіоми.

У зв'язку з цим говорять про «обмеженої теорії множин» без аксіоми вибору, на противагу «стандартної теорії множин», яка містить цю аксіому. Правда, К. Гедель показав, що якщо обмежена теорія несуперечлива, тоді несуперечлива і стандартна теорія. Таким чином, аксіома вибору стає не більше небезпечною, ніж інші аксіоми.

У контексті аксіоматичної теорії множин Цермело - Френкеля аксіома виявляється еквівалентної твердженням, що для даної множини а мається відношення R, яке є впол-ні-упорядкуванням для а. Це відомий результат Е. Цермело, відомий під назвою теореми про цілком-впорядкування. За допомогою аксіоми вибору можливо довести, що кожне безліч може бути цілком-впорядковано, а також довести, що будь-які дві множини Л і В можна порівняти щодо їх кардинального числа.

Генетично аксіома вибору в значній мірі «відповідальна» за виникнення всієї програми аксиоматизации теорії множин. Дійсно, прагнення до аксиоматизации було викликано «законом мислення», як назвав Кантор наступне твердження: «Завжди можливо будь цілком-визначене безліч представити у формі цілком-упорядкованого безлічі.

.. Цей (закон думки) є фундаментальним, багатим за наслідками, і вражаючим у своїй значущості »107.

Математики не погодилися з цим твердженням Кантора, і сам він змушений був пізніше, в 1895 р., визнати їх правоту, погодившись з тим, що це твердження має бути теоремою. Саме при спробах довести цю теорему виникла, вже зусиллями Е. Цермело, аксіома вибору.

Надзвичайно цікавим розділом сучасної теорії множин є пошук нових аксіом, що розширюють універсум тео-рії множин. Зокрема, мова ідет.об аксіомах, які стверджують існування великих кардинальних чисел, які все ближче і ближче до Абсолюту - Q. Це так звані недосяжні кардинальні числа, гіпернедостіжімие, гіпергіпернедостіжімие, числа Мало і т.д. На природі цих аксіом ми зупинятися не можемо, тому що їх прийняття пов'язане з тонкими проблемами теорії множеств108.

« Попередня Наступна »
= Перейти до змісту підручника =
Інформація, релевантна " Аксіома вибору "
  1. Математичні аксіоми
    аксіома повної індукції). Список наведених аксіом не суперечить, якщо з нього не виведена формула вигляду (А &-іл), де змінна А може позначати будь-яке, в тому числі і арифметичне, висловлювання. Припустимо, формула (A А) випливає з даних аксіом. Яка властивість набувають в цьому випадку аксіоми? Відповідь дає наступне міркування, в якому до аксіом приєднується як допущення
  2. 2. Зміна завдання
    аксіоматичної теорії множин. Ми будемо виходити тут з того принципово важливого факту, що значна частина змісту математики зводиться до логіки і що незвідні затвердження являють собою абстрактні твердження, що відносяться до класу аподиктичні очевидних істин. Констатація цього факту відкриває можливість обгрунтування несуперечності аксіоматичних систем, які в
  3. 4. Праксеологіческая виправдання аксіоми вибору
    аксіома розпадається на три положення, кожне з яких вимагає особливого обговорення. Вона припускає диз'юнктивний характер безлічі, тобто розчленованість його на елементи, відокремлювані від безлічі в цілому, здійснимість вибору для довільної сукупності множин і то допущення, що результат вибору буде безліччю, допустимим в якості об'єкта суворого математичного міркування, на відміну
  4. Предметний покажчик
    аксіоматизована теорії 266 - формальної теорії 200 Нормативність 42, 95316 Предметний покажчик осяжному 246 Обгрунтування - евклідіанское 213 - онтологічне 147, 213 - системне 227 - емпіричне 61-65 Онтологія 303 Онтологическая спільність 161 Онтологічний бар'єр 225 Досвід - допредікатівний 88 - логіко-математичний 128 Очевидність - аподиктичні 14, 24
  5. 5. Обгрунтування несуперечності на основі факту
    аксіомам, то в цих випадках з'являється можливість безпосереднього висновку про несуперечності аксіом на основі їх логічного зв'язку з фактами. Як приклад ми можемо вказати на зв'язок аксіоматики евклідової планіметрії з теоремою Піфагора. Особливість теореми Піфагора полягає в тому, що її суворе доказ вимагає використання всіх планіметричних аксіом евклідової геометрії.
  6. Властивості бінарних відносин
    Рефлексивность є властивість, яке полягає в тому, що кожен елемент відносини знаходиться в тому ж відношенні до самого себе. Аксіома для рефлексивності: \ / x \ / y (xRy) з (xRx л yRy). Рефлексивними відносинами, наприклад, є відносини «рівності», «еквівалентності», «тотожності» і т. д. Ставлення, що не задовольняє даній властивості, називається антирефлексивне - коли жоден предмет даного
  7. 5. Про підхід П.С. Новикова
    аксіомою нескінченності, тобто частина теорії множин, охоплювану теоретико-типовий аксіоматікой43. Підхід Новикова виглядає штучним, оскільки він навантажує нескінченністю логічні числення, які завжди мислилися як найбільш простий і кінцевої частини математичного знання. Д. Гільберт вважав нескінченні кон'юнкції і нескінченні диз'юнкції чисто гіпотетичними і
  8. 5. Логіцістское обгрунтування несуперечності теорії множин
    аксіоми нескінченності і аксіоми вибору відкриває певний шлях включення логіцістского аналізу в обгрунтування теорії множин. Початковий (сильний) теза логіцізма полягав у тому, що вся математика зводиться до загальнозначущих судженням логіки. Після з'ясування незвідність аксіоми нескінченності і аксіоми вибору претензії логіцізма були зведені до становища (можна назвати його помірним тезою
  9. Аксіома пари
    аксіомою є аксіома пари. Якщо а і Ь безлічі , тоді існує безліч {а} з єдиним елементом а, а також існує безліч {а, Ь}, єдиними елементами якого є а і b (V *) (Vj) (3 z) (Vve) (we z «w = xv w ~ y) - Досі ми мали як існуючого тільки одне безліч, яке не має членів. Аксіома пари дозволяє нам сконструювати інші
  10. 2. переборні доступних для огляду протиріч
    аксіом може міститися в одній з наступних форм: 1. Явна суперечність, представимое у формі «А і не-А». 2. Слабо приховане протиріччя виду А і В, де з В і з аксіом (виключаючи А) виводиться не-А . 3. Істотно приховане протиріччя, що припускає для деякої аксіоми А існування теореми в межах визначального фрагмента, яка вимагає допущення не-а 4. Глибоко
  11. Несуперечність завершеною аксіоматики
    аксіоматики безсумнівно слід факт її несуперечності. Рух математичної теорії до стадії завершеності представляє одночасно і повне очищення її від внутрішніх протиріч. Історичне вдосконалення математичної теорії може бути розглянуто у двох різних планах: у плані еволюції її тверджень (аксіом і теорем) і в плані становлення системи її внутрішніх
  12. § 2. Шлюбний вибір
    вибір - вибір шлюбного партнера в рамках даного шлюбного кола. Результат шлюбного вибору визначається порівняльною оцінкою вигод і витрат шлюбу. Як правило, шлюбного партнера вибирає самка. Деякі закономірності такого вибору описав А.
  13. 6. Загальні зауваження і висновки
    аксіом) - не тимчасова конвенція, обумовлена ??рівнем аналізу строгості докази або якими- або іншими факторами, а остаточна стадія формування цієї системи, наступаюча в результаті повного узгодження аксіом теорії з фактами, лежащімі1 в її основі. Система аксіом, що досягла стабільності, не може бути усунена або скоригована в змісті своїх принципів і в своєму
  14. ГЛАВА ТРЕТЯ
    аксіомами, з іншого - сутністю. Цілком очевидно, що і такі аксіоми повинна розглядати одна наука, а саме та, якою займається філософ, бо аксіоми ці мають силу для всього існуючого, а не для якогось особливого роду окремо від усіх інших. І застосовують їх все, тому що вони істинні для сущого як такого, а кожен рід є суще; але їх застосовують настільки, 26 наскільки це
  15. 3.3. Опосередковані умовиводи. Простий категоричний силогізм
    Структура простого категоричного силогізму Категоричний силогізм - це таке опосередковане дедуктивний умовивід, посилками і укладанням якого є категоричні судження. Наприклад: Всі риби дихають зябрами Карась - риба Карась дихає зябрами Поняття, що є суб'єктом укладення, називається меншим терміном і позначається символічно «S». У наведеному вище прикладі йому