4. Праксеологіческая виправдання аксіоми вибору

Звичайна критика аксіоми вибору полягає у вказівці на неконструктивний характер процедури вибору, який вона допускає, і на приложимость цієї процедури до довільної сукупності множин.

Особливістю аксіоми вибору є її очевидність, безпосередня даність свідомості в якості безперечною істини. К. Гедедоь допускав, що самоочевидність цієї аксіоми може бути використана для безпосереднього обгрунтування її істинності. Його думка йшла в тому напрямку, що ця аксіома є аналітичною при деякому більш широкому розумінні аналітичності, ніж тривіальна тавтологічность22. Праксеологічний аналіз, однак, показує, що тут ми маємо справу з синтетичним становищем, яке може бути виправдане на основі поняття онтологічної істинності.

Ми з'ясували, що математика використовує поняття істини в особливому значенні, радикально відмінному від того сенсу, в якому це поняття використовується в дослідних науках і навіть у логіці. Математичне твердження слід вважати безпосередньо істинним, якщо воно відповідає універсальної предметної онтології. Неважко бачити, що аксіома вибору повністю відповідає поняттю онтологічно істинного судження. Перша частина цієї аксіоми, а саме постулат про можливість вибору елемента з будь-якого безлічі, стверджує не що інше, як дискретний і адитивний характер розглянутих множин, що виражає собою найбільш істотний аспект предметної онтології. Не всі мислимі безлічі володіють зазначеним якістю. Виділяючи окрему думку з сукупності думок, що містяться в нашій свідомості, ми ніколи не можемо бути впевнені, що виділили лише одну думку, а також і в тому, що виділили цілу думка, не залишивши її частини або еквівалента серед залишилися думок. Відоме канторовской визначення безлічі як будь-якої мислимої сукупності занадто широко, бо воно включає і розпливчасті безлічі, що не задовольняють вимогам ідеальної предметності23.

Другий змістовний момент аксіоми вибору пов'язаний з ідеєю нескінченності: чи вправі ми, виходячи з можливості вибору елемента з безлічі в кожному окремому випадку, укладати про можливість такого вибору для довільної сукупності множин? Утруднення полягає тут, очевидно, в розумінні сфери застосований-ня схеми повної індукції, можливості застосування її до нескінченної сукупності множин. При правильному розумінні специфіки математичних суджень критика аксіоми вибору в цьому пункті також повинна бути відхилена. Перехід від реалізованості вибору в кожному окремому випадку до одночасної реалізованості в нескінченному випадку є проблемою, якщо мова йде про деяку фактичної реалізованості. Онтологія, визначальна математичне мислення, не пов'язана з ідеєю часу і, таким чином, вільна від тимчасових і просторових обмежень. Якщо нам відомо, що вибір реалізуємо для кожного безлічі окремо, то з математичної точки зору він реалізуємо одночасно для всіх множин: міркування часу, простору і кількості, істотні для фізичного розгляду, не мають тут ніякого значення. Ця обставина ясно також і з точки зору загальної філософії логіки. Як вже було зазначено, логіка розглядає класи виключно з точки зору їх зв'язку за обсягом і повністю абстрагується від їх структури, потужності або порядку. З допущення «існує для кожного» вона незмінно виводить «існує для всіх», безвідносно до складу розглянутих сукупностей. Коректність аксіоми вибору в цьому моменті також не може викликати будь-яких сомненій24.

Коректність аксіоми вибору в останньому з її аспектів не потребує обгрунтуванні: вона безпосередньо випливає з аксіоми підмножин, яка визнає існуючими все підмножини даної множини.

Звичайна критика аксіоми вибору з точки зору конструктивності неприйнятна насамперед у силу неприйнятність самого вимоги конструктивності як універсального критерію строгості.

Аксіома вибору на відміну від аксіоми нескінченності непроблематично для сучасної теорії множин, бо доведено її спільність з системою аксіом ZF, і, отже, - несуперечливість системи ZFC за умови несуперечності ZF. Онтологічне обгрунтування, однак, важливо для прояснення питання про реальний статус теорії множин. Якщо ми вправі розглядати аксіому нескінченності і аксіому вибору в якості онтологічно істинних суджень, то система аксіом ZFC отримує привілейоване становище серед аксіоматичних систем теорії множин, подібне становищу евклідової геометрії серед існуючих і можливих геометричних систем. Ми вправі в цьому випадку говорити про ZFC як про реальну теорії множин, відповідної онтологическому основи поняття множини. Бажаючи, наприклад, довести гіпотезу континууму, нерозв'язну в ZFC, ми можемо перебудувати аксіоматику, замінивши аксіому вибору аксіомою детермінованості. Ми можемо отримати в цьому випадку в якихось відносинах більш ефективну систему, але це буде все-таки штучна система, відступаюча від онтологічного підстави математичного знання.

У «Principia Mathematica» Уайтхед і Рассел висловлюють думку, що невиводимість аксіоми вибору з принципів логіки робить дуже сумнівною значну частину теорії трансфінітних ордіналов. З праксеологічною точки зору цей висновок не може бути прийнятий. Аксіома вибору являє собою частину онтологічно істинної математики і, таким чином, гранично надійну основу математичної теорії, побудованої на онтологічно істинних аксіомах. У методологічному плані це означає, що аксіома, незважаючи на свою внелогіческіе природу, не може бути джерелом ненадійності для логіцістской теорії множин.

Інформація, релевантна " 4. праксеологіческая виправдання аксіоми вибору "

1. Висновок
   виправдання своїх установок. Хоча Фреге і Рассел багато говорили про логіку як про необхідну основі мислення, про її зв'язки з універсалами і т. п., вони не дали гносеологічного аналізу логіки, що дозволяє підтримати їх основна теза про сводимости математики до логіки. Ця теза, що йде від Лейбніца, вони розробляли виключно в математичному плані, намагаючись продемонструвати переконливі
   
2. Література і примітки
   праксеологічною точки зору необхідно розділити онтологію на систему ідеалізацій, пов'язаних з пізнавальною діяльністю взагалі, і формальні структури, що базуються на онтологічних уявленнях. Арифметика - НЕ онтологія і не частина він тологии, а формальна система, заснована на ідеалізації, що відносяться до онтології. 17. Див: Кутюра Л. Кантовська філософія математики / / В кн.
   
3. 6. Слабкість сучасної філософії логіки
   праксеологічною точки зору повинні бути визнані помилковими. Це насамперед холістична ідея, яка полягає в тому, що всі знання утворює єдину систему, похідну від досвіду і що коригування досвідченого знання неминуче веде до перебудови всіх інших типів знання. Ця ідея спотворює дійсний характер взаємодії рівнів знання. Твердження, пов'язані з формою мислення, не змінюються
   
4. 4. Ідея геометричного обгрунтування
   праксеологічною точки зору арифметичний ригоризм невиправданий. Зрештою і сам Вейль змушений спиратися на аксіому безперервності, яка має коріння в геометричних уявленнях. Ми повинні піти від ідеалу арифметизации і зрозуміти безумовну значимість геометричній очевидності для підстав математики. Принципово важливо, що в рамках геометрії з самого початку може бути
   
5. 3. Онтологічне розуміння метатеорії
   праксеологічною точки зору всі ці вимоги ДО / ІІЖНЬІ бути замінені однією вимогою, а саме, вимогою онтологічної істинності. У конкретних випадках, зрозуміло, ми можемо вдаватися до понять финитности, конструктивності, видимості й до інших понять, що характеризує обгрунтовуючих шар, розуміючи при цьому їх вторинність і відносну значимість по відношенню до поняття
   
6. ПРИРОДНА ЧИ НАУКА ІСТОРІЯ ?
   Виправдання, причина (фр.). 71 провідних логіків сучасності. Причини цього прості і зрозумілі. Але все ж дивно, що філософи присвячують більшу частину свого часу роздумів над такими науками, як математична фізика, про предмет якої лише небагато з них мають скільки детальне уявлення, і цілком ігнорують історію та інші гуманітарні науки, з якими вони
   
7. ГЛАВА VI. Бог, людина і Боголюдина
   виправданню насильства і примусу у справі порятунку. Але є інше розуміння сенсу світового життя. Бог чекає від людини вільного відповіді на своє поклик, чекає відповідної любові і творчого співучасті у подолання темряви небуття. Людина повинна проявити найбільшу активність свого духу, найбільше напруга своєї свободи, щоб виконати те, чого Бог від нього чекає. Це розуміння дає релігійне виправдання
   
8. Введення
   праксеологічною. Що стосується питання про місце математики в системі наук, то найбільш прийнятною є тут формалістской концепція, згідно з якою математика являє собою не вчення про світ, що має свій предмет, а лише сукупність логічних структур, призначених для опису різного роду реальних зв'язків, що відкриваються досвідченими науками. З цієї точки зору до
   
9. Предметний покажчик
   праксеологічний 58, 78 Нескінченність 157 - актуальна 157, 173, 174, 186 - математична 173, 215 - потенційна 174 - практична 205 Граматика - основа логіки 92 - основа теорії значень 92, 93 Діяльність - мета мислення 42, 43 - основа універсальних норм 43 Доказ 219 - завершене 28 - достовірне 28 - конструктивне 183, 184 - змістовне 283 -
   
10. . Проблема поділу
    виправданих на основі аподиктической очевидності. Проведене розгляд показує, що ці межі мають істотно різний характер. Якщо перша з них встановлюється тільки на основі критерію аподиктической очевидності, то друга, як видається, може бути визначена на основі раціональних ознак, що випливають із загального розуміння реальної логіки. Є підстави думати, що в
    
11. 7. Шляхи обгрунтування логіки
    праксеологічною концепції логіки полягає в тому, чтс, вона намічає певний зсув у зазначеному відношенні. Виявляючи онтологічну природу логічних принципів, вона вказує ка деякі підходи до їх обгрунтуванню. Перший теоретично обгрунтований шлях може складатися тут в праксеологічною дедукції принципів. Такі закони, як закон несуперечливий, закон виключеного третього і закон
    
12. 2. Неминучість стабілізації
    виправдання принципів. Завершеність аксіоматики і завершеність докази тотожні в тому сенсі, що обидва цих яеленія виникають з принципової кінцівки математичного мислення. Доказ досягає повної стабілізації, общезначимости і абсолютної надійності внаслідок того, що воно складається з кінцевого числа переходів, прийнятність кожного з яких встановлюється в