4. Ідея геометричного обгрунтування

Ми повинні звернутися тут до історії розвитку математики, щоб зрозуміти причини цього настільки тривалого омани. Боротьба аналітиків XIX століття з геометричною очевидністю має свої витоки в подіях більш раннього часу. Математики XVIII століття, намагаючись встановити повну строгість в аналізі, скоро з'ясували, що однією з перешкод для цього є що йде від Ньютона з'єднання аналізу і механіки. З'явилася методологічна установка - ми ясно бачимо її у Лагранжа, Даламбера і Ейлера - обгрунтувати аналіз як первинну дисципліну, автономну від механіки, тобто без посилань на очевидності, пов'язані з рухом. Боротьба з механічними аналогіями в доказі теорем математичного аналізу, цілком виправдана з точки зору сучасного розуміння математичної строгості, перетворилася потім у боротьбу з геометричною очевидністю, у вимогу відмови від креслень і від геометричної наочності взагалі. Це досить зрозуміло, так як геометрія розглядалася тоді як наука про простір і, отже, як наука, споріднена механіці. Важливо відзначити, що прагнення до витіснення геометричній очевидності з аналізу в XVIII столітті не виникало з яких фактів ненадійності цієї очевидності, а виходило в основному з філософських уявлень про геометрію як частини механіки. Брауер висуває тут новий аргумент. Він вважає, що непорушність геометричній інтуїції відкинута фактом неевклідових геометрій. Цей аргумент, звичайно, не витримує критика Логічна можливість різних геометричних систем жодним чином не відкидає особливого статусу евклідової геометрії і пов'язаної з нею системи очевидностей. Формальну можливість різних геометрій визнавав і Кант, стверджуючи, однак, єдиність евклідовскіх уявлень про простір, як конститутивних для нашої свідомості. Міркуючи так, як це робить Брауер, ми повинні були б відмовитися і від арифметичної очевидності, оскільки можливі інші системи арифметики, що не узгоджуються з інтуїтивно ясною ідеєю величини, що лежить в основі натурального ряду. В'действітельності, нам важливо не те, можливі ш формальні альтернативи для евклідової геометрії, а те, чи є очевидність цієї геометрії аподиктической очевидністю, що гарантує несуперечність її вихідних принципів. Праксеологічний аналіз поняття апріорного дає нам підставу стверджувати, що геометрія і арифметика абсолютно рівнозначні за витоків своєї очевидності і, таким чином, є однаковою мірою базовими для математичного мислення як в генетичному, так і в логічному сенсі. З цієї точки зору Кант був абсолютно правий, поставивши ці дисципліни поруч один з одним, і виділивши їх як науки, засновані на очевидності особливої якості, пов'язаної з необхідними формами мислення взагалі.

І факти, і загальна теорія математичної очевидності дозволяють нам стверджувати, що двовікова боротьба математиків проти геометричній очевидності спочивала на помилках. Насправді, геометрична очевидність має нітрохи не менш високий статус, ніж очевидність арифметична, і вона з повною підставою може бути використана як вихідна база для обгрунтування математики. Але геометрична очевидність багатшими, ніж арифметична. Певною мірою це очевидність континууму. З цієї причини розширення интуиционистской точки зору за рахунок геометрії представляється найбільш важливим і перспективним.

Практика обгрунтування математики на основі геометричної очевидності, безсумнівно, зажадає більш точного визначення того, що ми можемо вважати тут безпосередньо даними і не потребують обгрунтуванні. Тут також може виникнути проблема похідних визначень і інші проблеми, які не можуть вирішуватися в рамках загального філософського розгляду. У нашому попередньому аналізі ми будемо виходити з тези про безумовну надійності й спільності елементарних геометричних побудов і будемо вважати абсолютно обгрунтованим всякий фрагмент математики, який може бути редукований до такого роду простим геометричним побудовам, тобто до самоочевидності простих геометричних операцій в евклідовому просторі.

Визнаючи геометричну очевидність поряд з арифметичної і логічної, ми суттєво розсовуємо сферу інтуїционістського підходу до обгрунтування математики. Перш за все ми отримуємо можливість перевести деякі відносні доказу несуперечності в ранг абсолютних. Геометрична інтерпретація комплексних чисел, відкрита Гауссом, завжди розумілася і розуміється в даний час як доказ несуперечності теорії комплексних чисел по відношенню до евклідової геометрії і до арифметики дійсних чисел.

Аналогічні міркування, безсумнівно, застосовні і до відомих геометричним інтерпретаціям логіки. Кола Ейлера і діаграми Венна завжди розглядалися і розглядаються донині лише як геометричній ілюстрації логічних відносин, яка корисна з евристичної точки зору. У дійсності, оскільки ці схеми носять конструктивний і аподиктичні очевидний характер, вони мають абсолютну обгрунтовуючих значення і можуть розглядатися як один з підходів до доказу абсолютної несуперечності логічних числень. Елементарні логічні числення допускають повне обгрунтування своєї несуперечності в рамках гильбертовськой програми і, таким чином, не є проблематичними в цьому відношенні. Однак важливо розуміти, що поряд з логічним обгрунтуванням тут також можливо і геометричне, і що воно не менш надійно, ніж обгрунтування допомогою фінітного метамови або за допомогою інтерпретації на кінцевій множині об'єктів. Ми вправі з цієї точки зору говорити не тільки про геометричній інтерпретації логіки, а й про абсолютне геометричному обгрунтуванні логіки. Наскільки відомо, такого роду геометричне обгрунтування виявляється можливим не тільки для класичних, а й для деяких некласичних логічних сістем37.

Спроба зробити геометричну очевидність вихідним пунктом обгрунтування математики була зроблена Г. Фреге в останній період його життя. Якщо в період логістичних досліджень Фре-ге відсував геометричну очевидність убік як містить психологічний і емпіричний компонент, то поступово він приходить до висновку, що ця інтуїція не має відношення до досвіду, що вона є ширшою, ніж арифметична, бо містить у собі « найбільш повне і суворе визначення нескінченності », і що саме вона забезпечує надійність математичного мислення в цілому. «... Арифметика і геометрія, - пише Фреге, - виросли на одній і тій же грунті, а саме геометричній, так що вся математика є, власне кажучи, геометрія» 38. У нотатках, що відносяться до цього періоду, ми бачимо начерк нового підходу до обгрунтування математики, який зводиться до того, щоб підійти до обгрунтування арифметики та інших числових систем, виходячи з геометричної інтерпретації комплексних чисел. З несуперечності теорії комплексних чисел, виправданою на основі геометричної очевидності, повинна слідувати безумовна несуперечливість аксіоматики дійсних і натуральних чісел39. З гносеологічної точки зору цей план, безсумнівно, виправданий і є підстави думати, що він реалізуємо і в плані побудови необхідної послідовності визначень.

Хоча Фреге не зробив істотного просування в конкретній розробці свого нового плану обгрунтування математики, намічений ним методологічний зсув беззаперечний. Нам важливо, що Фреге приходить до ясного розуміння того, що геометрична очевидність не має ніякого відношення до емпіричної очевидності, і що вона не менш надійна, ніж очевидність арифметична або логічна. Фреге долає помилкове думка, яке у тому, що геометрична очевидність пов'язана з досвідом і вносить нестрогість в математичне міркування. Ми можемо розглядати останні роботи Фреге як принципово новий крок у вдосконаленні шляхів обгрунтування математики. Він може бути зрозумілий як введення особливої геометричної програми обгрунтування математики, яка протистоїть всім іншим програмам, або як розширення интуиционистской програми обгрунтування за рахунок введення геометричних уявлень в якості вихідних.

Остання трактування має деяку перевагу. У статті «Інтуіціонізм і формалізм» Брауер приєднує до вихідної інтуїції числа і додавання одиниці також і загальну ідею контінуума40. У подальшому розвитку интуиционистской програми, однак, ця думка Брауера була загублена і континуум перетворився на похідний об'єкт, конструюються на основі арифметичних операцій. У цьому сенсі ідеї Фреге можна витлумачити як повернення до первісної і багатшою формі интуиционистской програми, яка висувалася свого часу самим Брауером.

Як показують існуючі дослідження, геометричний інтуіціонізм містить в собі можливості обгрунтування, що виходять за межі власне арифметичного інтуїционізма. Тут можна вказати на роботи Ю.А. Гастева, який ще на початку 60-х років XX століття показав, що основна частина математичного аналізу може бути обгрунтована, виходячи з постулатів, що відносяться до геометрії прямой41.

Відмінність геометричного обгрунтування аналізу від арифметичного обгрунтування Вейля полягає в розумінні статусу геометричній очевидності. Вейль бачив відмінність між Дедекиндом і Евдоксом в розумінні континууму в тому, що якщо Дедекінд будує континуум і строго доводить наявність нижньої межі і безлічі позитивних дійсних чисел, то Евдокс бере це як простий геометричний факт42. Метод Евдокса Вейль вважає несумісним з розумінням математичної строгості. З праксеологічною точки зору арифметичний ригоризм невиправданий. Зрештою і сам Вейль змушений спиратися на аксіому безперервності, яка має коріння в геометричних уявленнях. Ми повинні піти від ідеалу арифметизации і зрозуміти безумовну значимість геометричній очевидності для підстав математики.

Принципово важливо, що в рамках геометрії з самого початку може бути введено поняття завершеного нескінченної кількості, еквівалентного безлічі точок на прямій, і, таким чином, задана база для обгрунтування основних принципів теорії множин. Геометрична інтерпретація аналізу, запропонована Гастєвим, неповна в тому сенсі, що вона з цілком зрозумілих причин не захвати-кість аксіому вибору і пов'язані з нею затвердження аналізу. Намічена тут теорія онтологічної істини дозволяє виправдати цю аксіому в геометричному контексті, виходячи з припущення повної спільності всіх онтологічно зазначених принципів математики. При допущенні безперервності прямий як вихідного інтуїтивно виправданого тези, геометрія може бути побудована конструктивно, а це дає можливість в деякому істотному сенсі відновити конструктивний характер наміченого геометричного обгрунтування аналізу.

 Зі сказаного ясно, що відсутність серед програм обгрунтування математики особливої програми, заснованої на геометрії, є тільки наслідком забобону щодо природи геометричній очевидності, що панував в умах математиків протягом двох століть. Усунення цього забобону істотно розширює межі інтуїционістського обгрунтування математики і обгрунтовуючих мислення в математиці в цілому. Без спеціального аналізу важко говорити про реальні перспективи і кордони геометричного обгрунтування математики, але вже загальні міркування показують, що геометричний підхід суттєво розсовує сферу обгрунтування, заснованого на арифметиці. 

 Загальний висновок, до якого ми приходимо, досить ясний. Хоча початковий інтуіціонізм гранично обмежений у своїх обоснова-них можливостях, при більш зрілих методологічних установках він може бути трансформований в досить ефективну програму обгрунтування несуперечності математичних теорій. Це може бути досягнуто на основі реабілітації класичної логіки, а також і через затвердження обгрунтовуючих статусу геометричній очевидності. Є підстави припускати, що розширення інтуїционістського підходи по цих двох напрямках дає достатню основу для повного логічного обгрунтування математичного аналізу ряду інших теорій сучасної математики. 

 Питання про те, якою мірою таким чином реформований інтуіціонізм можна буде називати інтуїционізма, не має великого відношення до справи. Нам важливо усвідомити ту обставину, що керуючись ідеєю змістовної математичної інтуїції, ми можемо досягти абсолютного обгрунтування досить широкої сфери математичного знання, не вдаючись до ідеї формалізації теорій або до ідеї їх редукції до системи загальнозначущих принципів логіки. Такий чисто змістовний шлях обгрунтування безсумнівно існує, і це дає підставу вважати, що в усіченому і нерозвиненому вигляді інтуіціонізм містить в собі істину принципово важливу для розуміння шляхів обгрунтування математики. Завдання сучасної філософії математики полягає в тому, щоб виявити цю істину в більш точних поняттях і пов'язати її з реальною методологією математики. 

 Інформація, релевантна "4. Ідея геометричного обгрунтування"

1. ГЛОСАРІЙ
     ідея проекту, в ході збору інформації та обмірковування «обростає» подробицями, що стосуються її реалізації. Фіксація в органайзері задуму проекту і поступове нарощування обсягів і якості відноситься до нього і думок - найбільш простий і природний спосіб депроблематізаціі в особистій роботі, поступового органічного самопревращении проблеми в завдання (проект). Наявність в органайзері
   
2. ТРАНСФОРМАЦІЇ концептуальне знання
     ідея фігури належить до іншого онтологическому світу, ніж геометрична фігура, і їх пізнання відповідають різні рівні мислення. У Новий час математичні сутності втратили онтологічний статус і стали розумітися не як існують самі по собі, а як конструюються людською свідомістю. В аналітичній геометрії Декарта ідея фігури збігається з її зримим виглядом, а число
   
3. Методологія математики: проблеми інтелектуального розвитку
     ідея методології математики полягає в тому, що математика в цілому є загальнонаукових методом пізнання. Тому науково-технічний прогрес суспільства супроводжується інтенсивної математизацією знань, тобто проникненням математичних методів в інші науки. Можна виділити два типи математизації: перший, при якому наука використовує математику для опису і дослідження своїх об'єктів,
   
4. 2.1. «НОВА ФІЛОСОФІЯ» В КОНТЕКСТІ постмодернізму
     ідея прогресу, подолання традицій. Розвивається європейська цивілізація звільнила людину від примусової колективності і тим самим «запустила» процес рефлексії. Рефлектуючий людина - це людина, що поставила себе в критично відсторонене ставлення до колективних нормам і віруванням, традиції. Звідси витікала і орієнтація на новизну. Просвітителі вітали всі зміни,
   
5. Філософія математики Готтлоба Фреге
     ідея, знак, ціле, що складається з подібних один одному частин, або результат абстрагування від безлічі речей, то слід просто запитати про застосовність подібних визначень при конструюванні математики як цілісної науки. Якщо їх не можна застосувати буквально або їх використання не призводить до доказу законів арифметики, такі визначення слід визнати марними.
   
6. Логічне визначення числа
     ідея. Отже, існує щось, що не є суб'єктивним знанням. У кожній ідеї існує те, що пов'язує її саме з цим, а не іншим суб'єктом, робить її суб'єктивною, і те, що пов'язує її з більш ніж одним суб'єктом. Саме ця друга компонента якої ідеї, звана думкою, представляє первинний логічний об'єкт. Поняття об'єкта Фреге визначає протилежним
   
7. Філософія математики Лейтзена Егберта Яна Брауера
     ідея потенційної нескінченності натурального ряду чисел. Вона дає апріорне обгрунтування принципу математичної індукції і стверджує конструктивний характер математичного знання. Відповідно до цієї інтуїції знати який-або об'єкт, знати, що він існує, означає знати, як його побудувати. Апріорний характер первісної інтуїції принципово відрізняє створені на її основі
   
8. Жозеф де Местр І ВИТОКИ ФАШИЗМУ
     ідея трактату, який він присвятив спростуванню філософії Бекона, - думка про те, що Бекон не володів метафізичної силою, що дозволяє зрозуміти неемпіричні елементи наук, їм проповідує, і був щонайбільше барометром кліматичних змін, а не їх творцем, не так «пристрасним коханцем науки », скільки« закоханим у неї євнухом »(VI, 533 - .534). Можливо, це частково справедливо, хоча де
   
9. ЛИСТ ЧЕТВЕРТЕ. Про НАЦІЇ
     ідея, що людство є конкретна реальність, як би якась особистість в космічній ієрархії. У вашому негативному абстрактному єдності людства все ієрархічні щаблі буття людства скасовуються, від них відбувається відволікання. У конкретному всеединстве не може бути протиставлення між нацією і людством: під всеедіном людстві затверджуються всі нації, в ньому вони досягають
   
10. Введення
      ідея була, однак, доповнена згодом хибним тезою, згідно з яким всі математичні твердження, в тому числі і самі елементарні, не більше ніж конвенції, в принципі допускають заміну і утримувані в обігу виключно внаслідок їх простоти і зручності для деяких конкретних цілей. Це було помилковим кроком, що викривляє сутність математичного знання. Стверджуючи прийнятність
    
11. Висновок
      ідея обгрунтування математичної строгості, методами, що не володіють повною строгістю, видається абсурдною. Сучасний стан філософії математики істотно визначено цією скептичною ідеєю, породженої провалом спроб обгрунтування математики методами самої математики. Завдання строгого обгрунтування оголошується тепер ілюзією і пережитком априоризма. Висувається положення про
    
12. Література і примітки
      ідея знаходить вираз у розумінні математичних теорій як ідеальних форм («зразків») реальності. (Див.: Michel Resnik. Mathematics as a Science of Patterns. Oxford: Oxford University Press, 1997.) З праксеологічною точки зору така трактовка математики є односторонньою: вона випускає з уваги внеемпірічеськой характер її первинних уявлень. 20. Див: Лейбніц Г.В. Твори в 4-х
    
13. 6. Сфера абсолютної надійності
      геометричною формою кожної цеглини і за ідеальною рівномірністю шару цементного розчину, що скріплює ці шари. Це важка стратегія, але, в принципі, вона може забезпечити вертикальність вежі до досить пристойною її висоти. Інша, більш реальна стратегія полягає в тому, щоб піклуючись наскільки це можливо про горизонтальності фундаменту і про форму цеглин, одночасно коригувати
    
14. 3. Про кітчеровской критиці априоризма
      ідея психологічної теорії пізнання є неспроможною. Будь-яка теорія пізнання насамперед повинна виявити принципи, що мають інтерсуб'єктивності значення, і з цієї причини вона не може виходити з фактів психології та їх узагальнень. Ці факти набувають гносеологічний статус тільки тоді, коли вони санкціонуються цільовими установками пізнання, тобто тоді, коли вони набувають
    
15. 3. Властивості завершеною аксіоматики
      геометричних аксіом нам доводиться вдаватися до понять трикутника і прямого кута, які не відносяться до первинних понять аксіоматики. Загальна логіка побудови математичної теорії вимагає відомості системи аксіом до максимальної елементарності, до максимального виключенню з системи тверджень (аксіом), сформульованих через похідні поняття. Самоочевидність і елементарність це ті
    
16. 5. Вічний інтерес, вічні суперечки Іван Грозний і Петро Великий
      ідея про те, що ні бояри, ні навіть православна церква не можуть робити замах на права монарха, даровані самим Богом. Тільки самодержавство, на думку Івана Грозного, може врятувати країну від внутрішніх чвар. «Якщо цареві не коряться підвладні, - пише він, - то ніколи междуусобіци не припиняться». Як доказ Іван IV наводить безліч прикладів з всесвітньої історії від Стародавнього
    
17. 6.Крестьянскій або пролетарський соціалізм? (Ідеї, організації, діячі)
      ідея заміни державних чиновників виборними особами і ряд інших, по суті своїй ліберальних, пропозицій. Н.Г. Чернишевський, Н.А. Некрасов, М.Є. Салтиков-Щедрін розраховували саме на вплив словом, на пропаганду, на громадську думку, а не на революцію. Н. Г. Чернишевський був заарештований нема за заклик селян «до сокири», а як журналіст-просвітитель, обличавший існуючий лад і