Головна
Аксіологія / Аналітична філософія / Антична філософія / Антологія / Антропологія / Історія філософії / Історія філософії / Логіка / Метафізика / Світова філософія / Першоджерела з філософії / Проблеми філософії / Сучасна філософія / Соціальна філософія / Середньовічна філософія / Телеологія / Теорія еволюції / Філософія (підручник) / Філософія мистецтва / Філософія історії / Філософія кіно / Філософія науки / Філософія політики / Філософія різних країн і часів / Філософія самоорганізації / Філософи / Фундаментальна філософія / Хрестоматії з філософії / Езотерика
ГоловнаФілософіяФілософія науки → 
« Попередня Наступна »
Пермінов В. Я. . Філософія і підстави математики - М.: Прогресс-Традиція. - 320с., 2001 - перейти до змісту підручника

3. Властивості завершеною аксіоматики

Наближаючись до стадії завершеності, система аксіом набуває ряд властивостей, які можуть служити ознаками цієї стадії і її більш детальним визначенням. Серед цих властивостей найбільш важливими є: повнота, мінімальність, кінцівку, елементарність і однозначність.

Під повнотою аксіоматики ми будемо розуміти тут достатність її для логічного представлення визнаного змісту теорії. Таке розуміння повноти, звичайно, не тотожне логічному або метатеоретіческіе визначенню цього поняття. У логічному визначенні повнота аксіоматики в більшості випадків принципово недосяжна і ми можемо говорити про повноту в цьому сенсі тільки щодо найелементарніших теорій типу числення висловів або числення предикатів першого порядку. У методологічному сенсі, навпаки, повнота завжди досяжна, бо кожна математична теорія в процесі свого визрівання досягає такого стану, коли аксіоматика визнається достатньою для відтворення всього значущого змісту теорії та адекватної їй в тому сенсі, що саме ця зміст ми починаємо визначати через вказівку на аксіоматику . Повнота в цьому сенсі не має точного логічного визначення, але проте вона абсолютно однозначно фіксується математичним співтовариством і є найважливішою ознакою завершеною аксіоматики.

Важливо зрозуміти, однак, що методологічна повнота - не продукт довільного встановлення. Хоча аксіоматика арифметики логічно неповна і допускає в принципі необмежене поповнення, ніхто з математиків не прагне доповнити її будь-якими новими аксіомами або групами аксіом. Причина цього факту полягає у вимогах внутрішньої детермінації математичних об'єктів, яка має об'єктивний характер. Якщо ми вводимо поняття кута і способи визначення його величини, то природно виникає питання про суму кутів трикутника, і ми потребуємо у введенні певних аксіом, достатніх для певної відповіді на це питання. Ми продовжуємо запроваджувати нові аксіоми доти, поки очевидні властивості і зв'язки об'єктів, дані з аподиктической очевидністю, не отримають повного пояснення. З кінцівки значущих властивостей первинних об'єктів виникає кінцівку змісту аксіом, яку ми відтворюємо у всіх аксіоматикою теорії.

Досяжність повної аксіоматики не може бути поставлена ??під сумнів деякими коливаннями щодо складу аксіом, які іноді виникають на практиці. Ті математики, які бажають зробити ряд ордіналов жорстко визначеним подібно натуральному ряду чисел, будуть схильні до прийняття аксіоми детермінованості як елемента системи аксіом теорії множин, оскільки ця аксіома знімає ряд таких невизначеностей, роблячи, зокрема, доказовою континуум-гіпотезу. Інші математики наполягатимуть на специфічності ряду ордіналов і на принциповій невизначеності деяких його властивостей, навіяних арифметичними аналогіями. Ідея методологічної повноти полягає, однак, не в тому, що аксіоматика завжди встановлюється з повною однозначністю, а в тому, ч ^ о в математичній теорії, на певній стадії її розвитку, не залишається змісту, що не зведеного до деяких явно вираженим принципам.

Система аксіом у своєму розвитку набуває також і інше важливе якість, а саме, логічну необхідність чи мінімальність. Купуючи повноту, аксіоматика разом з тим набуває і властивість мінімальності або необхідності. Обидві ці тенденції пов'язані в тому плані, що вони обумовлені одними і тими ж факторами вдосконалення структури математичної теорії: практичне використання аксіом однаковою мірою стимулює як розкриття ще відсутніх, так і усунення надлишкових припущень, які до певного часу можуть бути присутніми в аксіоматиці. Обидві ці тенденції споріднені і в тому сенсі, що вони в кінцевому підсумку досягають своєї повної фактичної реалізації. Ми маємо підстави думати, що аксіоматика, прийнята науковим співтовариством як достатня, є разом з тим і вільної від внутрішніх надмірностей, тобто абсолютно необхідною або мінімальної. Процес мінімізації аксіоматики також кінцевий і на певному етапі розвитку теорії ми строго доводимо необхідність кожної з аксіом для виведення теорем, складових визнане ядро ??теорії. Система аксіом геометрії, спочатку запропонована Гильбертом, як відомо, страждала рядом недоліків: вона містила зайву аксіому інцидентності, надлишкові припущення щодо КОНГРЕВ-ентності і мала явно недостатнє визначення непреривності2. В даний час виявлення такого роду дефектів в аксіоматиці геометрії, звичайно, виключено.

Властивість мінімальності завершеною аксіоматики, звичайно, також є епістемологічних, бо у нас в загальному випадку немає коштів чисто логічного обгрунтування того факту, що всі аксіоми незалежні і що жодна з них не містить аспекту, який можна було б з неї виключити при більш акуратною формулюванні всієї системи. На практиці, однак, мінімальність визнаних аксіоматикою ні у кого не викликає сумнівів, бо будь-який математик знає, що такого роду надмірності в системі аксіом, якби вони дійсно мали місце, не могли б не виявити себе в процесі простих доказів.

Завершена аксіоматика має деяким властивістю, яке можна назвати структурної кінцівкою. З логічної точки зорі * переважна кількість аксіоматикою при точному розумінні аксіоми \ л при поділі аксіом і схем аксіом є нескінченними, бо поряд з аксіомами вони містять в собі також і схеми аксіом. При змістовному розумінні аксіоматики розрізнення між аксіомою і схемою аксіом, однак, не є скільки істотні-м, бо під аксіоматикою ми розуміємо тут не систему формул в певному логічному мовою, а систему змістовних тверджень про елементарні об'єктах теорії. Аксіома індукції з цієї точки зору є елементарним твердженням про деяке досить очевидному властивості натурального ряду, яке має той же статус, що й інші його властивості. При змістовному розумінні аксіом як осмислених висловлювань про елементарні об'єктах, що визначають їх прості властивості і відносини, всі системи аксіом безумовно кінцеві і в принципі не можуть бути іншими.

Завершена система аксіом має також якістю, яке можна назвати елементарністю. Аксіома є елементарною, коли вона формулюється виключно в первинних поняттях і не вимагає для свого формулювання ніяких похідних визначень. Аксіоматика арифметики є елементарною в цьому сенсі. При формулюванні геометричних аксіом нам доводиться вдаватися до понять трикутника і прямого кута, які не відносяться до первинних понять аксіоматики. Загальна логіка побудови математичної теорії вимагає відомості системи аксіом до максимальної елементарності, до максимального виключенню з системи тверджень (аксіом), сформульованих через похідні поняття. Самоочевидність і елементарність це ті фундаментальні характеристики аксіом, за які математики не виходять, якщо вони не побуждаются до цього істотної неповнотою теорії. Можна висловити це так, що систему аксіом слід вважати завершеною, якщо виявлені всі незалежні елементарні аксіоми і якщо вона виходить за ці межі лише в межах того мінімуму, який необхідний для досягнення її практичної повноти щодо змісту теорії.

Ми будемо називати аксіоматику завершеною, якщо вона має властивості практичної повноти, мінімальності і однозначності у роз'ясненні вище сенсі цих епістемологічних характеристик. Теорію, що досягла рівня завершеною аксіоматики, будемо називати добре аксіоматизована теорією або зрілої теорією. Загальнозначущим критерієм завершеності системи аксіом, як це вже очевидно зі сказаного вище, є її історична стабільність, що виражається у фактичному припиненні процесу змін в її складі, що впливають на її дедуктивну силу, і в прийнятті її математичним співтовариством як адекватної змістом теорії. Аксіоматика арифметики, евклідової геометрії, теорії множин, теорії ймовірностей є згідно із зазначеним критерієм повністю завершеною, а самі ці теорії є безсумнівно зрілими або добре аксіоматизована теоріями. Загальні міркування про логіку розвитку математичної теорії та історія математики дозволяють стверджувати, що всяка система аксіом досягає в кінцевому підсумку стадії абсолютної завершеності, тобто повної визначеності у складі своїх вимог до вихідних об'єктів та до процедурі введення похідних об'єктів. У завершеною аксіоматиці математична теорія вперше досягає точного визначення свого змісту, бо під теорією в цьому випадку ми починаємо розуміти саме той зміст, ту сукупність тверджень, яка досяжна в рамках прийнятої аксіоматики.

« Попередня Наступна »
= Перейти до змісту підручника =
Інформація, релевантна " 3. Властивості завершеною аксіоматики "
  1. 5. Ідея системного аналізу несуперечності
    У класичних дослідженнях з підстав математики система аксіом характеризується низкою властивостей, найбільш важливими з яких є несуперечність, незалежність і повнота. Це логічні характеристики, що визначаються в логічних термінах і розглядаються в рамках суворої метаматематики. Поняття завершеною аксіоматики, яке ми вводимо тут, є методологічним, оскільки воно
  2. 4. Фактуальная істинність аксіом
    Властивості повноти, мінімальності і елементарності аксіоматики дозволяють зрозуміти основну якість завершеною аксіоматики, яке полягає в її ідеальною істинності щодо фактологічної основи теорії. Характеризуючи аксіоматичний метод, ми зазвичай підкреслюємо можливість використання різних аксіоматикою для подання змісту однієї і тієї ж теорії. У етрм твердженні є
  3. 6. Загальні зауваження і висновки
    У загальній схемі розвитку наукової теорії, заснованої на досвіді, яку деякі філософи вважають що має силу і для математики, всяка стабілізація принципів має тимчасовий характер і означає лише деяка перерва в процесі поглиблення основ. Доводи, викладені тут, показують, що ця схема »неп відображає логіки становлення математичної теорії. Стабільність математичних принципів (аксіом)
  4. 1. Абстрактність системного підходу
    Системне обгрунтування математичної теорії незрівнянно більш абстрактно, ніж логічне. Всі програми логічного обгрунтування математики базуються на здійсненні тієї чи іншої редукції: або це редукція змісту математики до змісту арифметики, або це редукція математики до логіки, або, нарешті, редукція проблеми несуперечності теорії до несуперечності змістовної
  5. ГЛАВА 1. З історії арбітражного судоустрою та судочинства
    Дозвіл торгових та інших господарських спорів упорядочивалось у міру створення та розвитку системи судових установ. Їх специфіка визначалася історичними умовами і національними традиціями в становленні правових систем різних держав. Особливі торгові суди були ще в Стародавньому Римі. У договорах між римлянами і латинами встановлювалися правила, за якими позови в ярмаркових
  6. Тема 1. З ІСТОРІЇ АРБІТРАЖНОГО судоустрою і судочинства
    Література Арбітражне судочинство: з'явилися нові правила / / Економіка і життя. 1995. № 28. Арбітражний суд Росії: досвід та проблеми реалізації нового законодавства: круглий стіл / / Держава і право. 1995. № 10. Бойков Д. Нове законодавство про арбітражних судах / / Відомості Верховної Ради. 1995. № 8. Короткий огляд історії судоустрою і судочинства в Росії. М., 1955.
  7. Явище організованої злочинності.
    Організована злочинність - найскладніша та найбільш небезпечна форма злочинності, яка зазіхає на політичні, економічні, соціальні та правові сфери будь-якого суспільства. Проблема організованої злочинності, як зазначалося на VIII Конгресі ООН з попередження злочинності, є другою за ступенем важливості транснаціональної проблемою після екології. Аналізуючи проблему організованої
  8. § 8. Поняття помилки та її правове значення
    Здійснюючи злочин, винний не завжди може точно уявити собі розвиток події злочину, причинний зв'язок між діянням і наслідком, а також інші обставини злочину. Не завжди він знає про караності злочину, кваліфікації і терміни покарання. Принцип відповідальності за провину (суб'єктивне поставлення) вимагає оцінки не тільки істинних, але і помилкових уявлень особи про
  9. § 4. Замах на злочин
    Замахом на злочин визнаються дії (бездіяльність) особи, безпосередньо спрямовані на вчинення злочину, якщо при цьому злочин не було доведено до кінця з не залежних від цієї особи обставинам. Коротко можна сказати, що замах - це розпочате, але незакінчений злочин. Однак на увазі схожості його з іншими стадіями: приготуванням і закінченим злочином -
  10.  § 1. Поняття та юридична класифікація речей
      Поняття речей. Як зазначалося в розділі 5, об'єктами цивільних прав є матеріальні і духовні блага, з приводу яких суб'єкти цивільного права вступають між собою у правові відносини. Крут цих благ (об'єктів) надзвичайно широкий і різноманітний. Відповідно до ст. 128 ЦК до об'єктів цивільних прав належать речі, включаючи гроші та цінні папери; інше майно; роботи і послуги;
  11.  § 2. Гроші та цінні папери. Поняття майна
      Гроші. Головна особливість грошей як об'єкта цивільних прав полягає в тому, що вони, будучи загальним еквівалентом, можуть замінити собою в принципі майже будь-який інший об'єкт майнових відносин, які мають БЕЗОПЛАТНО характер. Іншими словами, грошима можна погасити практично будь майновий борг, якщо тільки на це немає заборони в законі або якщо проти цього не заперечує кредитор. За
  12.  § 2. Строки здійснення цивільних прав і виконання цивільних обов'язків
      Строки здійснення цивільних прав. Під термінами здійснення цивільних прав розуміються терміни, протягом яких володар суб'єктивного права може реалізувати ті можливості, які закладені у суб'єктивному праві. Найчастіше вони встановлюються законом або іншими нормативними актами, але можуть передбачатися і угодою сторін. Зазначені терміни, в свою чергу, можуть бути поділені на
  13.  § 1. Поняття та юридична класифікація речей як об'єктів цивільних прав
      З філософської точки зору, річ - предмет матеріальної дійсності, що володіє відносною незалежністю і стійкістю існування. Наведене визначення необхідно враховувати при характеристиці правового поняття речі, оскільки кожне цивільне правовідношення, об'єктом якого виступає річ, проходить кілька стадій - виникнення, розвиток, припинення, що, в свою чергу,
  14.  2. Сторони та зміст договору підряду
      Сторонами договору підряду є замовник і підрядник. ЦК не встановлює будь-яких обмежень для окремих суб'єктів цивільного права на участь у підрядних відносинах як з боку підрядника, так і з боку замовника, орієнтуючись на загальні правила про участь громадян та юридичних осіб у цивільному обороті. За загальним правилом, коли йдеться про виконання за договором підряду
  15.  ГЛОСАРІЙ
      Адамецкі Кароль (1866 - 1933) - закінчив Технологічний інститут у Петербурзі; в лютому 1903, який на місяць раніше Ф. Тейлора, виступив з публічною доповіддю застосування наукового методу у виробництві (в Південно-російському центрі гірничометалургійної промисловості). Адаптація працівника (в управлінні персоналом) - процес пристосування працівника до нового місця роботи (при переході в нову фірму, на
  16.  Адаптованість до бізнесу клієнта
      ступінь узгодження властивостей системи з потребами клієнта при завершенні розрахунків з
  17.  Відбір кандидатів у резерв
      При формуванні резерву керівних кадрів необхідно визначити базові посади для кожної категорії керівників, а також джерела комплектування резерву для висування. Наприклад, для за-міщення посади начальника дільниці базовою є посаду майстра, начальника цеху - посаду начальника дільниці і т. д. Джерелами резерву керівних кадрів є: працівники, які пройшли
  18.  І. С. Розумовський "ПРОСВЕЩЕНИЕ" І "ОСВІЧЕНІСТЬ" У І. В. Киреєвського
      Поняття "'просвітництво" і "освіченість" в роботах І. В. Киреєвського спеціально ніхто не досліджував. Це й зрозуміло: у трьох великих історіософських статтях описано, як європейське "просвітництво" (або "освіченість") сталося із суми трьох елементів: християнської церкви, римських законів і варварського держави (1). Як відомо, цей опис - недословная цитата з Гізо. Якщо просто звірити