| Головна |
| « Попередня | Наступна » | |
3. Властивості завершеною аксіоматики |
||
|
Наближаючись до стадії завершеності, система аксіом набуває ряд властивостей, які можуть служити ознаками цієї стадії і її більш детальним визначенням. Серед цих властивостей найбільш важливими є: повнота, мінімальність, кінцівку, елементарність і однозначність. Під повнотою аксіоматики ми будемо розуміти тут достатність її для логічного представлення визнаного змісту теорії. Таке розуміння повноти, звичайно, не тотожне логічному або метатеоретіческіе визначенню цього поняття. У логічному визначенні повнота аксіоматики в більшості випадків принципово недосяжна і ми можемо говорити про повноту в цьому сенсі тільки щодо найелементарніших теорій типу числення висловів або числення предикатів першого порядку. У методологічному сенсі, навпаки, повнота завжди досяжна, бо кожна математична теорія в процесі свого визрівання досягає такого стану, коли аксіоматика визнається достатньою для відтворення всього значущого змісту теорії та адекватної їй в тому сенсі, що саме ця зміст ми починаємо визначати через вказівку на аксіоматику . Повнота в цьому сенсі не має точного логічного визначення, але проте вона абсолютно однозначно фіксується математичним співтовариством і є найважливішою ознакою завершеною аксіоматики. Важливо зрозуміти, однак, що методологічна повнота - не продукт довільного встановлення. Хоча аксіоматика арифметики логічно неповна і допускає в принципі необмежене поповнення, ніхто з математиків не прагне доповнити її будь-якими новими аксіомами або групами аксіом. Причина цього факту полягає у вимогах внутрішньої детермінації математичних об'єктів, яка має об'єктивний характер. Якщо ми вводимо поняття кута і способи визначення його величини, то природно виникає питання про суму кутів трикутника, і ми потребуємо у введенні певних аксіом, достатніх для певної відповіді на це питання. Ми продовжуємо запроваджувати нові аксіоми доти, поки очевидні властивості і зв'язки об'єктів, дані з аподиктической очевидністю, не отримають повного пояснення. З кінцівки значущих властивостей первинних об'єктів виникає кінцівку змісту аксіом, яку ми відтворюємо у всіх аксіоматикою теорії. Досяжність повної аксіоматики не може бути поставлена під сумнів деякими коливаннями щодо складу аксіом, які іноді виникають на практиці. Ті математики, які бажають зробити ряд ордіналов жорстко визначеним подібно натуральному ряду чисел, будуть схильні до прийняття аксіоми детермінованості як елемента системи аксіом теорії множин, оскільки ця аксіома знімає ряд таких невизначеностей, роблячи, зокрема, доказовою континуум-гіпотезу. Інші математики наполягатимуть на специфічності ряду ордіналов і на принциповій невизначеності деяких його властивостей, навіяних арифметичними аналогіями. Ідея методологічної повноти полягає, однак, не в тому, що аксіоматика завжди встановлюється з повною однозначністю, а в тому, ч ^ о в математичній теорії, на певній стадії її розвитку, не залишається змісту, що не зведеного до деяких явно вираженим принципам. Система аксіом у своєму розвитку набуває також і інше важливе якість, а саме, логічну необхідність чи мінімальність. Купуючи повноту, аксіоматика разом з тим набуває і властивість мінімальності або необхідності. Обидві ці тенденції пов'язані в тому плані, що вони обумовлені одними і тими ж факторами вдосконалення структури математичної теорії: практичне використання аксіом однаковою мірою стимулює як розкриття ще відсутніх, так і усунення надлишкових припущень, які до певного часу можуть бути присутніми в аксіоматиці. Обидві ці тенденції споріднені і в тому сенсі, що вони в кінцевому підсумку досягають своєї повної фактичної реалізації. Ми маємо підстави думати, що аксіоматика, прийнята науковим співтовариством як достатня, є разом з тим і вільної від внутрішніх надмірностей, тобто абсолютно необхідною або мінімальної. Процес мінімізації аксіоматики також кінцевий і на певному етапі розвитку теорії ми строго доводимо необхідність кожної з аксіом для виведення теорем, складових визнане ядро теорії. Система аксіом геометрії, спочатку запропонована Гильбертом, як відомо, страждала рядом недоліків: вона містила зайву аксіому інцидентності, надлишкові припущення щодо КОНГРЕВ-ентності і мала явно недостатнє визначення непреривності2. В даний час виявлення такого роду дефектів в аксіоматиці геометрії, звичайно, виключено. Властивість мінімальності завершеною аксіоматики, звичайно, також є епістемологічних, бо у нас в загальному випадку немає коштів чисто логічного обгрунтування того факту, що всі аксіоми незалежні і що жодна з них не містить аспекту, який можна було б з неї виключити при більш акуратною формулюванні всієї системи. На практиці, однак, мінімальність визнаних аксіоматикою ні у кого не викликає сумнівів, бо будь-який математик знає, що такого роду надмірності в системі аксіом, якби вони дійсно мали місце, не могли б не виявити себе в процесі простих доказів. Завершена аксіоматика має деяким властивістю, яке можна назвати структурної кінцівкою. З логічної точки зорі * переважна кількість аксіоматикою при точному розумінні аксіоми \ л при поділі аксіом і схем аксіом є нескінченними, бо поряд з аксіомами вони містять в собі також і схеми аксіом. При змістовному розумінні аксіоматики розрізнення між аксіомою і схемою аксіом, однак, не є скільки істотні-м, бо під аксіоматикою ми розуміємо тут не систему формул в певному логічному мовою, а систему змістовних тверджень про елементарні об'єктах теорії. Аксіома індукції з цієї точки зору є елементарним твердженням про деяке досить очевидному властивості натурального ряду, яке має той же статус, що й інші його властивості. При змістовному розумінні аксіом як осмислених висловлювань про елементарні об'єктах, що визначають їх прості властивості і відносини, всі системи аксіом безумовно кінцеві і в принципі не можуть бути іншими. Завершена система аксіом має також якістю, яке можна назвати елементарністю. Аксіома є елементарною, коли вона формулюється виключно в первинних поняттях і не вимагає для свого формулювання ніяких похідних визначень. Аксіоматика арифметики є елементарною в цьому сенсі. При формулюванні геометричних аксіом нам доводиться вдаватися до понять трикутника і прямого кута, які не відносяться до первинних понять аксіоматики. Загальна логіка побудови математичної теорії вимагає відомості системи аксіом до максимальної елементарності, до максимального виключенню з системи тверджень (аксіом), сформульованих через похідні поняття. Самоочевидність і елементарність це ті фундаментальні характеристики аксіом, за які математики не виходять, якщо вони не побуждаются до цього істотної неповнотою теорії. Можна висловити це так, що систему аксіом слід вважати завершеною, якщо виявлені всі незалежні елементарні аксіоми і якщо вона виходить за ці межі лише в межах того мінімуму, який необхідний для досягнення її практичної повноти щодо змісту теорії. Ми будемо називати аксіоматику завершеною, якщо вона має властивості практичної повноти, мінімальності і однозначності у роз'ясненні вище сенсі цих епістемологічних характеристик. Теорію, що досягла рівня завершеною аксіоматики, будемо називати добре аксіоматизована теорією або зрілої теорією. Загальнозначущим критерієм завершеності системи аксіом, як це вже очевидно зі сказаного вище, є її історична стабільність, що виражається у фактичному припиненні процесу змін в її складі, що впливають на її дедуктивну силу, і в прийнятті її математичним співтовариством як адекватної змістом теорії. Аксіоматика арифметики, евклідової геометрії, теорії множин, теорії ймовірностей є згідно із зазначеним критерієм повністю завершеною, а самі ці теорії є безсумнівно зрілими або добре аксіоматизована теоріями. Загальні міркування про логіку розвитку математичної теорії та історія математики дозволяють стверджувати, що всяка система аксіом досягає в кінцевому підсумку стадії абсолютної завершеності, тобто повної визначеності у складі своїх вимог до вихідних об'єктів та до процедурі введення похідних об'єктів. У завершеною аксіоматиці математична теорія вперше досягає точного визначення свого змісту, бо під теорією в цьому випадку ми починаємо розуміти саме той зміст, ту сукупність тверджень, яка досяжна в рамках прийнятої аксіоматики.
|
||
| « Попередня | Наступна » | |
|
|
||
Інформація, релевантна " 3. Властивості завершеною аксіоматики " |
||
|
||