| Головна |
| « Попередня | Наступна » | |
4. Фактуальная істинність аксіом |
||
|
Властивості повноти, мінімальності і елементарності аксіоматики дозволяють зрозуміти основну якість завершеною аксіоматики, яке полягає в її ідеальною істинності щодо фактологічної основи теорії. Характеризуючи аксіоматичний метод, ми зазвичай підкреслюємо можливість використання різних аксіоматикою для подання змісту однієї і тієї ж теорії. У етрм затвердження є певний сенс. Варіації у виборі окремих аксіом і аксіоматики в цілому можливі й реалізуються на практиці. Поряд з гильбертовськой аксіоматикою евклідової геометрії можлива аксіоматика, заснована на понятті симетрії, а також і деякі інші варіанти. Ту ж ситуацію ми можемо спостерігати і в інших аксіоматизована теоріях. Зі змістовної сторони, однак, ця багатоваріантність не представляється істотною. Кожна аксіома має аналоги, а саме твердження, рівносильні їй у дедуктивний відношенні. Так, для аксіоми Евкліда про паралельні ми можемо вказати кілька таких аналогів. Ось деякі з них: «Сума кутів трикутника дорівнює двом прямим», «Завжди можна побудувати коло, що проходить через три точки, що не лежать на одній прямій», «Існують подібні фігури», «еквідістанту прямий у цій площині також пряма», «Через дану точку всередині кута завжди можна провести пряму, що перетинає обидві його сторони »,« Площа трикутника може бути зроблена як завгодно великий при збільшенні його сторін »,« Перпендикуляр і похила до однієї прямої завжди перетинаються ». Цей список може бути продовжений за рахунок більш складних тверджень, доказ яких пов'язане з використанням аксіоми паралельності. Кожне з цих тверджень доказовою в аксіоматиці геометрії, що включає аксіому Евкліда, і кожне, будучи взято в якості аксіоми, дозволяє довести аксіому Евкліда як істинне твердження. Подібні ж аналоги можуть бути зазначені й для інших аксіом, звідки вже стає зрозумілим, що в принципі можливі аксіоматики, що розрізняються по набору вихідних термінів, але рівносильні один одному в сенсі логічного обгрунтування змісту теорії. Однак це теоретично можливе різноманітність не повинна вводити нас в оману. Вже побіжний погляд на наведені вище по ложения, які є аналогами аксіоми Евкліда, показує їх істотний недолік, властивий майже всім з них. Всі вони пов'язані з конструктивно більш складними об'єктами, такими як трикутник, коло, подобу, площа, і в цьому сенсі є твердженнями Неелементарні. Для кожної математичної теорії існує об'єктивна ієрархія понять, в якій співвідношення простоти і складності однозначно визначено незалежно від її оформлення в поняттях. Якщо ми при формулюванні аксіом будемо керуватися принципом їх максимальної елементарності, то теоретичне різноманітність аксіоматикою повністю зникає. Завершена аксіоматика задається однозначно в тому сенсі, що вона висловлює цілком певну систему вимог до елементарних об'єктах, яка так чи інакше виражається будь аксіоматикою даної теорії. Якщо теорія досить розвинена і аксіоматично визначена, то, взагалі кажучи, ми завжди знаємо, які вимоги до вихідних об'єктам повинна містити її аксіоматика. Сучасні підручники наводять різні аксіоматики евклідової геометрії, але людина, обізнана в геометрії, відразу ж знаходить, де і як тут виражена ідея паралельності, де і як задані основні вимоги до інцидентності і т.д. Зріла аксіоматика задана вмістом теорії однозначно в тому сенсі, що вона завжди фіксує в собі один і той же набір вимог до елементарних об'єктам. Цей набір вимог кінцевий і строго визначений ієрархією об'єктів. Різні аксіоматики зрілої математичної теорії - це лише варіанти понятійного подання цієї єдиної системи вимог до вихідних об'єктів, які можуть порівнюватися один з одним лише з точки зору їх зручності у тому чи іншому відношенні. Ми можемо, таким чином, стверджувати, що аксіоматика як система абстрактних принципів теорії в процесі свого розвитку досягає граничної адекватності щодо змісту теорії, тобто граничної істинності в сенсі збігу з фактологическим підставою теорії. У цьому сенсі аксіоми математики істотно відрізняються від принципів фізики та інших досвідчених наук. Принципи фізики завжди містять в собі гіпотетичний елемент і за своїм змістом завжди виходять за межі пояснювальних ними фактів. Вони асиметричні фактам в тому сенсі, що не виводяться з них і не можуть бути виправдані як єдино можливі для пояснення кола фактів. Аксіоми зрілої математичної теорії, навпаки, абсолютно злиті з фактами, вони являють собою лише загальні принципи побудови фактів. Тому прийняття досить широкого кола фактів визначає систему аксіом як єдино можливу. У математичній теорії ми маємо, таким чином, справа з повною симетрією фактів і принципів і з явищем ретротрансля-ції істини, яке не має місця в емпіричних теоріях. Необхідно відзначити,, що факт ретротрансляціі математичної істини не може бути виведений з логічних міркувань: логіка не може виправдати переходу від фактів до принципів. Ретротрансляція забезпечується тут генетично, логікою становлення математичних аксіом і може бути обгрунтована у своїй необхідності тільки в рамках системного аналізу. Заперечення ретротрансляціі істини мотивується зазвичай посиланням на загальний принцип логічного слідування, що забороняє перехід від істинності посилок до істинності слідства. Насправді, логіка не забороняє таких переходів, вона лише не гарантує їх в загальному випадку. Крім потоків істини, гарантованих логікою, можуть існувати потоки, зумовлені специфікою внутрішніх теоретичних зв'язків, тобто потоки, обумовлені типом знання. Ми можемо говорити тут про теоретично обумовлених потоках істинності. Аналіз логіки становлення математичної теорії дозволяє побачити повну неспроможність емпіріцістской філософії математики, яка намагається встановити методологічну єдність математичного і досвідченого знання. Філософи-емліріцісти беруть до уваги, що схеми становлення принципів емпіричної науки і принципів математичної теорії, маючи збіг в ряді моментів, тим не менш, не є тотожними. Береться до уваги факт неминучою і повної стабілізації внутрішньої структури математичної теорії, при якій її аксіоматика придбаває (з точністю до сукупності вимог до елементарних об'єктам) остаточну форму і стає дедуктивно еквівалентної самої теорії. На відміну від емпіричної теорії кожна математична теорія досягає такої ступені логічної організації, при якій її абстрактні принципи є ідеально відповідними системі її внутрішніх зв'язків.
|
||
| « Попередня | Наступна » | |
|
|
||
Інформація, релевантна " 4. фактуальную істинність аксіом " |
||
|
||