Головна
Аксіологія / Аналітична філософія / Антична філософія / Антологія / Антропологія / Історія філософії / Історія філософії / Логіка / Метафізика / Світова філософія / Першоджерела з філософії / Проблеми філософії / Сучасна філософія / Соціальна філософія / Середньовічна філософія / Телеологія / Теорія еволюції / Філософія (підручник) / Філософія мистецтва / Філософія історії / Філософія кіно / Філософія науки / Філософія політики / Філософія різних країн і часів / Філософія самоорганізації / Філософи / Фундаментальна філософія / Хрестоматії з філософії / Езотерика
ГоловнаФілософіяФілософія науки → 
« Попередня Наступна »
Пермінов В. Я. . Філософія і підстави математики - М.: Прогресс-Традиція. - 320с., 2001 - перейти до змісту підручника

4. Фактуальная істинність аксіом

Властивості повноти, мінімальності і елементарності аксіоматики дозволяють зрозуміти основну якість завершеною аксіоматики, яке полягає в її ідеальною істинності щодо фактологічної основи теорії. Характеризуючи аксіоматичний метод, ми зазвичай підкреслюємо можливість використання різних аксіоматикою для подання змісту однієї і тієї ж теорії. У етрм затвердження є певний сенс. Варіації у виборі окремих аксіом і аксіоматики в цілому можливі й реалізуються на практиці. Поряд з гильбертовськой аксіоматикою евклідової геометрії можлива аксіоматика, заснована на понятті симетрії, а також і деякі інші варіанти. Ту ж ситуацію ми можемо спостерігати і в інших аксіоматизована теоріях. Зі змістовної сторони, однак, ця багатоваріантність не представляється істотною.

Кожна аксіома має аналоги, а саме твердження, рівносильні їй у дедуктивний відношенні. Так, для аксіоми Евкліда про паралельні ми можемо вказати кілька таких аналогів. Ось деякі з них: «Сума кутів трикутника дорівнює двом прямим», «Завжди можна побудувати коло, що проходить через три точки, що не лежать на одній прямій», «Існують подібні фігури», «еквідістанту прямий у цій площині також пряма», «Через дану точку всередині кута завжди можна провести пряму, що перетинає обидві його сторони »,« Площа трикутника може бути зроблена як завгодно великий при збільшенні його сторін »,« Перпендикуляр і похила до однієї прямої завжди перетинаються ». Цей список може бути продовжений за рахунок більш складних тверджень, доказ яких пов'язане з використанням аксіоми паралельності. Кожне з цих тверджень доказовою в аксіоматиці геометрії, що включає аксіому Евкліда, і кожне, будучи взято в якості аксіоми, дозволяє довести аксіому Евкліда як істинне твердження. Подібні ж аналоги можуть бути зазначені й для інших аксіом, звідки вже стає зрозумілим, що в принципі можливі аксіоматики, що розрізняються по набору вихідних термінів, але рівносильні один одному в сенсі логічного обгрунтування змісту теорії.

Однак це теоретично можливе різноманітність не повинна вводити нас в оману. Вже побіжний погляд на наведені вище по ложения, які є аналогами аксіоми Евкліда, показує їх істотний недолік, властивий майже всім з них. Всі вони пов'язані з конструктивно більш складними об'єктами, такими як трикутник, коло, подобу, площа, і в цьому сенсі є твердженнями Неелементарні. Для кожної математичної теорії існує об'єктивна ієрархія понять, в якій співвідношення простоти і складності однозначно визначено незалежно від її оформлення в поняттях. Якщо ми при формулюванні аксіом будемо керуватися принципом їх максимальної елементарності, то теоретичне різноманітність аксіоматикою повністю зникає.

Завершена аксіоматика задається однозначно в тому сенсі, що вона висловлює цілком певну систему вимог до елементарних об'єктах, яка так чи інакше виражається будь аксіоматикою даної теорії. Якщо теорія досить розвинена і аксіоматично визначена, то, взагалі кажучи, ми завжди знаємо, які вимоги до вихідних об'єктам повинна містити її аксіоматика. Сучасні підручники наводять різні аксіоматики евклідової геометрії, але людина, обізнана в геометрії, відразу ж знаходить, де і як тут виражена ідея паралельності, де і як задані основні вимоги до інцидентності і т.д. Зріла аксіоматика задана вмістом теорії однозначно в тому сенсі, що вона завжди фіксує в собі один і той же набір вимог до елементарних об'єктам. Цей набір вимог кінцевий і строго визначений ієрархією об'єктів. Різні аксіоматики зрілої математичної теорії - це лише варіанти понятійного подання цієї єдиної системи вимог до вихідних об'єктів, які можуть порівнюватися один з одним лише з точки зору їх зручності у тому чи іншому відношенні.

Ми можемо, таким чином, стверджувати, що аксіоматика як система абстрактних принципів теорії в процесі свого розвитку досягає граничної адекватності щодо змісту теорії, тобто граничної істинності в сенсі збігу з фактологическим підставою теорії. У цьому сенсі аксіоми математики істотно відрізняються від принципів фізики та інших досвідчених наук. Принципи фізики завжди містять в собі гіпотетичний елемент і за своїм змістом завжди виходять за межі пояснювальних ними фактів. Вони асиметричні фактам в тому сенсі, що не виводяться з них і не можуть бути виправдані як єдино можливі для пояснення кола фактів. Аксіоми зрілої математичної теорії, навпаки, абсолютно злиті з фактами, вони являють собою лише загальні принципи побудови фактів. Тому прийняття досить широкого кола фактів визначає систему аксіом як єдино можливу. У математичній теорії ми маємо, таким чином, справа з повною симетрією фактів і принципів і з явищем ретротрансля-ції істини, яке не має місця в емпіричних теоріях. Необхідно відзначити,, що факт ретротрансляціі математичної істини не може бути виведений з логічних міркувань: логіка не може виправдати переходу від фактів до принципів. Ретротрансляція забезпечується тут генетично, логікою становлення математичних аксіом і може бути обгрунтована у своїй необхідності тільки в рамках системного аналізу.

Заперечення ретротрансляціі істини мотивується зазвичай посиланням на загальний принцип логічного слідування, що забороняє перехід від істинності посилок до істинності слідства. Насправді, логіка не забороняє таких переходів, вона лише не гарантує їх в загальному випадку. Крім потоків істини, гарантованих логікою, можуть існувати потоки, зумовлені специфікою внутрішніх теоретичних зв'язків, тобто потоки, обумовлені типом знання. Ми можемо говорити тут про теоретично обумовлених потоках істинності.

Аналіз логіки становлення математичної теорії дозволяє побачити повну неспроможність емпіріцістской філософії математики, яка намагається встановити методологічну єдність математичного і досвідченого знання. Філософи-емліріцісти беруть до уваги, що схеми становлення принципів емпіричної науки і принципів математичної теорії, маючи збіг в ряді моментів, тим не менш, не є тотожними. Береться до уваги факт неминучою і повної стабілізації внутрішньої структури математичної теорії, при якій її аксіоматика придбаває (з точністю до сукупності вимог до елементарних об'єктам) остаточну форму і стає дедуктивно еквівалентної самої теорії. На відміну від емпіричної теорії кожна математична теорія досягає такої ступені логічної організації, при якій її абстрактні принципи є ідеально відповідними системі її внутрішніх зв'язків.

« Попередня Наступна »
= Перейти до змісту підручника =
Інформація, релевантна " 4. фактуальную істинність аксіом "
  1. Форми наукового пізнання.
    Далі ми зупинимося на основних формах, в яких представлено і організовано наукове і технічне знання. Серед них - факт, гіпотеза, закон, принцип, теорія. Факти утворюють живу тканину будь-якого знання. У науці і техніці - вони повітря, яким дихає вчений, дослідник. Але факти ще треба добути, описавши їх на мові теорії, передати їх зміст і оформити у вигляді істинних суджень. Суб'єкт
  2. Предметний покажчик
    Аксіома - нескінченності 168-170, 175, 180 - вибору 123, 168, 169, 176-178, 197, 206, 215 - виділення 123, 180 - безперервності 156 - об'єктивності 180 - рівності 203 - сводимости 168 - трансфинитное 203 - фундування 221, 223 - числа 203 Абсолютна істина 98, 101 Аналітичність - логіки 102, 103, 107 - математики 52 Апріорність 42-61 - категорій 42 - 61 - логіки 102
  3. 5. Ідея системного аналізу несуперечності
    У класичних дослідженнях з підстав математики система аксіом характеризується низкою властивостей, найбільш важливими з яких є несуперечність, незалежність і повнота. Це логічні характеристики, що визначаються в логічних термінах і розглядаються в рамках суворої метаматематики. Поняття завершеною аксіоматики, яке ми вводимо тут, є методологічним, оскільки воно
  4. 2. Неминучість стабілізації
    Позиція фаллібілізма помилкова не тільки тому, що кордони можливостей логічного обгрунтування ще далеко не визначені, але перш за все тому, що вона базується на використанні емпіричних схем за межами їх істинності. Спорідненість математичних теорій теоріям емпіричним в сенсі генезису їх принципів не є достатньою підставою для висновку про однаковому статусі цих
  5. 1. Об'єкти, факти і принципи
    Для розуміння нового підходу нам потрібно провести деякі уточнення таких понять філософії математики, як математичний об'єкт і математичний факт. Математична теорія покоїться на замкнутої ієрархії об'єктів, яка робить цю теорію відмінною від інших математичних теорій. Математик має справу, по-перше, з об'єктами вихідними, прийнятими на основі очевидності, а по-друге, з
  6. 33. Правові принципи, правові аксіоми, правові презумпції, правові фікції.
    Принципи права - об'єктивно властиві праву відправні начала, незаперечні вимоги (позитивні зобов'язування), які пред'являються до учасників суспільних відносин з метою гармонійного поєднання індивідуальних, групових і громадських інтересів. Принципи є підставою права, укладені в його змісті, виступають як орієнтири у формуванні права, відбивають сутність права і
  7. Абеляра (Abelard, Abaillard) Петро
    один з чудових представників духовного життя середніх віків. Сучасники любили називати його Сократом Галлії, Платоном Заходу, Аристотелем своєї епохи, нові письменники - трубадуром філософії, мандрівним лицарем діалектики. За життя він був засуджений як єретик церквою, яка згодом, однак, поклала більшість його творів в основу своєї науки. Він славився також як поет і
  8. 2.3. Функціональний аналіз мови
    З точки зору логіки важливим є проведення відмінності між двома важливими функціями мови: описової та оціночної. Мета опису-зробити так, щоб слова відповідали дійсності; мета оцінки - зробити так, щоб дійсність відповідала словам. Це дві протилежні функції мови, де важко виділити більш важливу і суттєву. Вони розглядаються як крайні позиції,
  9. 5.2. Дедуктивні умовиводи
    У логіці існує два підходи до визначення дедукції. У традиційній (арістотелівської) логіки під дедукцією розуміють перехід від загального знання до приватного. У символічній логіці дедукція - це умовивід, що дає істинне судження. Далі ми будемо використовувати цей термін в традиційному тлумаченні. Дедуктивні умовиводи залежно від кількості вихідних посилок діляться на
  10. контрольні роботи
    Варіант 1 Вправа 1. Дайте повну логічну характеристику поняттям: Законність. Міністерство економіки. Форма. Російська Федерація. Батьківщина. Вправа 2. Визначте вид відносини між поняттями і покажіть його з допомогою кругових схем: Чиновник, державний службовець, російська, громадянин. Учасник Великої Вітчизняної війни, генерал, ветеран, полковник. Дипломат, посол, консул,
  11. Завдання 38: Побудуйте пряме і непряме доказ тези, використовуючи як демонстрації дедукцію, а потім індукцію
    Теорія: Аргументація - це операція обгрунтування яких суджень, практичних рішень або оцінок, в якій разом з логічними прийомами застосовуються також внелогіческіе методи і прийоми переконливого впливу. Обгрунтування може бути повним і неповним. Повне обгрунтування - це доказ. Неповне обгрунтування називається підтвердженням. Доказ - логічна операція повного
  12. Теорія наукових революцій
    Послідовне застосування принципу фальсифікації дозволило сформулювати наступну модель розвитку наукового знання: встановлення фактів - висунення гіпотези, їх пояснюватиме - її емпіричне спростування - висунення нової гіпотези, більш повної і т. д. Таким чином, розвиток наукового знання є процес нескінченного наближення до істини. Спираючись на дані побудови Поппера та його