5. Логіцістское обгрунтування несуперечності теорії множин

Початковий (сильний) теза логіцізма полягав у тому, що вся математика зводиться до загальнозначущих судженням логіки. Після з'ясування незвідність аксіоми нескінченності і аксіоми вибору претензії логіцізма були зведені до становища (можна назвати його помірним тезою логіцізма), згідно з яким логіцістская редукція може бути здійснена за умови істинності аксіоми нескінченності і аксіоми вибору. Уайтхед і Рассел наполягали на тому положенні, що весь зміст канторовской теорії множин зводиться до чистої логіки за умови істинності зазначених аксіом25. Якщо ми можемо визнати аксіому нескінченності і аксіому вибору в якості онтологічно істинних і, отже, в якості положень, безумовно сумісних з логікою, тоді помірний тезу, взагалі кажучи, є достатнім для повного обгрунтування основних математичних теорій в сенсі їх несуперечності.

У загальному плані ця ситуація може бути описана на основі поняття логіцістской системи аксіом. Будемо називати систему аксіом логіцістской, якщо вона має вигляд L + АМ% де L - це твердження, редуціруемие до логіки, a AM складається з тверджень, що допускають обгрунтування в якості онтологічно істинних. Так як всі аксіоми цієї системи є або логічними, або онтологічними істинами, то відповідно до принципу онтологічної спільності ця система повинна бути прийнята в якості абсолютно несуперечливої, незважаючи на її незвідність до логіки. Гносеологічний аналіз дозволяє стверджувати абсолютну надійність математичних теорій, заснованих на логіцістскіх аксіоматикою.

Очевидно, що арифметика задовольняє вимогам логіцістской системи. Аналіз показує, що для обгрунтування своєї істинності аксіоматика арифметики крім логіки вимагає лише допущення аксіоми нескінченності, яка представляє собою онтологічно істинне судження. Звідси безпосередньо випливає висновок про несуперечності цієї аксіоматики. Ми не зводимо тут арифметику до логіки, як це передбачалося первісної програмою логіцізма, але використовуємо логіцістскій аналіз для доказу її онтологічної істинності, а отже, і несуперечності.

Розглянемо систему аксіом Т, що виражає теоретико-типове завдання теорії множин, яка складається з трьох наступних аксіом:

Т1. Аксіома об'ємності. Два класи є тотожними, якщо вони мають одні й ті ж елементи.

Т2. Аксіома виділення. Для всякого пропозиції, визначального об'єкт типу г, існує відповідний йому клас типу г + 1.

ТЗ. Аксіома нескінченності. Існує безліч, яке не можна перенумерувати допомогою будь-якого кінцевого відрізка натурального ряду.

Якщо ми можемо допустити, що аксіоми 1-а і 2-я є логічними або хоча б аналітичними істинами, зумовленими сферою логічної істинності, то система аксіом в цілому повинна бути визнана як абсолютно спільної на основі принципу спільності логічних і онтологічних істин.

Є підстави думати, що ця система дійсно може бути віднесена до класу логіцістскіх, а отже, і до класу абсолютно обгрунтованих систем. Тут слід взяти до уваги, що Рассел і Уайтхед виходять з логічного визначення поняття безлічі, а саме з його розуміння як області значень пропозициональной функції. При такому визначенні безлічі істин-ність аксіоми об'ємності безпосередньо виникає з логічного визначення тотожності породжують формул. Аксіома виділення стверджує, що для будь-якого безлічі А і властивості В, такого, що для будь-якого х, що міститься в А, В (х) або істинно, або хибно, існує безліч В (х), що складається в точності з тих елементів, для яких У істинно. З істинності закону виключеного третього випливає можливість суворого поділу множини А на елементи, що задовольняють ознакою У і не задовольняють йому при достатній коректності виділяє ознаки, тобто властивості В26. Оскільки теоретико-типове побудова теорії забезпечує максимальну коректність виділяють ознак допомогою індуктивного введення всіх нових понять тільки на основі визнаних, то аксіома виділення зводиться тут до тавтології, яка каже, що коректно обмежена (в рамках визнаних властивостей) пропозіціональная функція зберігає властивості пропозициональной функції, якій відповідає певну безліч.

Безсумнівно праві критики логіцізма, які вказують, що вихідна база теорії множин, пов'язана з поняттям логічної функції недостатня для асиміляції змістовної теорії множин в повному обсязі. Але потрібно визнати, що в рамках теорії типів досягається експлікація поняття безлічі, що перетворює аксіому об'ємності і аксіому виділення в тотожно істинні логічні затвердження. Звідси випливає, що система Т, взята в цілому, задовольняє властивостям логіцістской системи і повинна бути визнана, у відповідності з нашими критеріями, як абсолютно несуперечливою.

Теоретико-типова аксіоматика теорії множин є більш слабкою в порівнянні з такими аксіоматичними системами як Z, ZF і NBG. Проте вона включає в себе всі основний зміст теорії множин і є цілком достатньою для обгрунтування аналізу і всіх основних теорій сучасної математики, за винятком зазначених сильніших теорій27. Можливість прямого виправдання істинності і несуперечності аксіоматики типу Т відкриває, безсумнівно, більш широкий підхід до обгрунтування математики, ніж підходи, запропоновані традиційними програмами обгрунтування.

Суворе обгрунтування логіцістского характеру системи Т або аналогічної системи вимагає уточнення сенсу логічної істинності, а також, мабуть, більш сучасного обгрунтування тези помірного логіцізма. Проти логіцістской програми висувалися не тільки методологічні, а й власне математичні заперечення, що стосуються якості редукції. Пуанкаре, Гільберт і Вейль вказували на неможливість виявлення логічного підстави математики без використання арифметичних понять. К. Гедель від-мечал незавершеність ряду доказів в «Principia Mathematica», важливих з точки зору обгрунтування редукції. На думку Куайна, Рассел і Уайтхед з самого початку помістили в клас логічних істин положення, що мають внелогіческіе характер і потребують особливого обгрунтування. Френкель і Бар-Хиллел висловлюють думку, що відносна успішність редукції, здійсненої в «Principia Mathematica», виявилася можливою лише за рахунок незаконного змішання операцій з класами та операцій з множествамі28. Ця критика ставить під сумнів істинність помірного тези, а отже, в якійсь мірі, і намічений тут задум обгрунтування несуперечності теорії множин на основі виявлення логіцістской системи аксіом. Ясно, що реальне логіцістское обгрунтування деякої теорії має сенс лише за умови, що всі її аксіоми, крім онтологічно істинних, можуть бути представлені в якості логічно общезначімих29.

Наше завдання полягає тут не в обгрунтуванні системи Т або який-чи інший системи аксіом, а в обгрунтуванні того положення, що екзистенційні аксіоми, які традиційно розглядалися в якості основного перешкоди до обгрунтування арифметики і теорії множин, насправді, не є такою перешкодою, а навпаки, відкривають нові можливості обгрунтування цих теорій за рахунок виходу в сферу онтологічної істинності. Ці аксіоми виводять математичну теорію за межі логіки, але вони. Залишають її в межах онтологічної істинності, яка, будучи встановленої для всієї безлічі аксіом, достатня для висновку про абсолютної несуперечності цих аксіом і теорії в цілому. Мова тут, зрозуміло, вже не про логіцістском обгрунтуванні теорії, а про використання логіцістской редукції для обгрунтування несуперечності деякого типу теорій.

Ми йдемо тут до висновку про несуперечності системи аксіом з їх змістовного аналізу. Стара ідея обгрунтування несуперечності на основі істинності, що лежить в основі логіцістской програми, таким чином, зберігає своє значення, незважаючи на відмову від вихідних цілей цієї програми.

Інформація, релевантна " 5. Логіцістское обгрунтування несуперечності теорії множин "

1. 1. Позитивна метафізика не має в межах теоретичного розуму предметної області
   логіцістскіх програмах відомості арифметики до логіки і виходить за межі математики. (По суті, ця аксіома формулює принципи виділення в світі класів предметів з будь-якого несуперечливо мислимому умовою). У символічному мовою логіки предикатів вона має наступний запис: 3 y V x ((x е y) - F (x)), де F (x) є несуперечливо мислиме умова, за яким будується певний
   
2. Програма формалізму: математика як конструювання формальних систем
   логіцістская, ні интуиционистская програми обгрунтування математики не запропонували критерію, що обгрунтовує всю математику. Таким критерієм може бути тільки її несуперечливість. Поки не буде розроблений метод доказу несуперечності всієї математики, суперечки в цій області знання ніколи не припиняться. - Новий метод повинен бути формально аксіоматичним, бо змістовна
   
3. Оцінка програми Гільберта
   логіцістскіх ідей Лейбніца і Фреге. Гільберт з ентузіазмом сприйняв ідею Буля про логіку як дослідженні законів думки. Як і Лейбніц, Гільберт вважав, що логіка висловлює структуру нашого мислення; підпорядковується суворо визначеними правилами; кожен знак формальної теорії висловлює деякий об'єкт нашої думки таким чином, що між знаками і думками існує точна відповідність, та операції з
   
4. 2. Зміна завдання
   логіцістского підходу в більш широкому контексті. Теорія онтологічної істинності дозволяє розглядати логіцістскую редукцію як один із шляхів обгрунтування аксіоматичної теорії множин. Ми будемо виходити тут з того принципово важливого факту, що значна частина змісту математики зводиться до логіки і що незвідні затвердження являють собою абстрактні твердження,
   
5. 1. Програма логіцізма
   логіцістская програма буде достатня для обгрунтування математики, в тому числі і таких її розділів, як теорія множин. У фундаментальній праці «Principia Mathematica» (1910-1913) Рассел і Уайтхед зробили спробу обгрунтувати на цих принципах арифметику і теорію множин. Ця праця, з одного боку, продемонстрував можливості логічного аналізу математики, а з іншого - виявив його
   
6. Література і примітки
   логіцістской системі потребує аксіомі «Р. є приватне значення функції F », де Р - вихідна математична формула, F - застосовне до неї логічне правило. (Див.: Кутюра Л. Філософські принципи математики. СПб., 1913. С. VI.) Очевидно, що інтуїція підведення під правило має місце в будь-якому виведенні згідно з правилом. 12. Н.М. Нагорний вважає, що комп'ютерні
   
7. 1. Загальна характеристика програми
   логіцістского і інтуїционістського аналізу проблеми. Часто вказується, і в певному сенсі це вірно, що Гільберт не дав повного визначення метатеоріі, що усуває всякі коливання щодо можливого її змісту. Його методологічний задум, однак, сов? (Ьшенно ясний. Він полягає в тому, щоб обмежити метатеоретическое міркування таким чином, щоб воно гарантувало його
   
8. 3. Перспективи надійного обгрунтування
   логіцістского і інтуїционістського уявлення, вона може бути обгрунтована в формалістской програмі допомогою генценовского (або подібного йому) доказу несуперечності. Згідно з теорією онтологічної істинності кожен з цих підходів дає абсолютне обгрунтування несуперечності арифметики. Це означає, що друга проблема Гільберта, сформульована як питання про
   
9. 4. праксеологіческая виправдання аксіоми вибору
   логіцістской теорії
   
10. Глава чотирнадцята. СИСТЕМА І СТРУКТУРА ПРАВА
    обгрунтування або підтвердження своїх рішень конкретних питань і загального висновку. Разом з тим з основних питань він посилався і на Звід законів США, міжнародно-правові акти, інші нормативно-правовиеакти, а також на фундаментальні праці вчених-юристів. Таким чином, на сьогодні американська правова система зберігає свою прихильність до прецедентного права, але разом з тим йде її
    
11. ВСТУП
    обгрунтованому існування таких надчуттєвих нефізичних сутностей (ноуменов), як вільна воля, уявні числа, субстанція cause sui, Бог, якщо Він мислиться як надчуттєвий нефізична сутність. Інакше йде справа, коли ми говоримо про ці сутності в філософії метафізики, наприклад, про існування Бога до появи людини і, отже, про існування Бога поза структурою
    
12. 3. У позитивній теоретичної метафізиці існує ефективна процедура обгрунтування a priori необхідної істинності її суджень, що розширюють пізнання.
      обгрунтування необхідного зв'язку між суб'єктом і предикатом суджень, тому позитивна теоретична метафізика як наука неможлива. Можна погодиться з Кантом в тому, що в метафізиці є синтетичні судження a priori, але не з його остаточним висновком. Як відомо, Кант крім синтетичних суджень (a priori і a posteriori) у складі наукових теорій виділяє ще аналітичні
    
13. 4. Проблема способу викладу позитивної теоретичної метафізики як науки
      обгрунтування необхідної істинності вихідних принципових положень, а також є можливість її несуперечливого викладу в певній послідовної, доказової формі. У цьому відношенні еталон для метафизиков і філософів, що будують філософські системи, - геометрія Евкліда, побудована на основі змістовного аксіоматичного методу ще в IV столітті до нашої ери в його знаменитих
    
14. 5. Реальні норми науковості для позитивної теоретичної метафізики. Знання і віра. Місце віри в системі знання
      обгрунтування істинності теоретичного висловлювання Т в точній мові класичної логіки висловлювань, не містить усередині себе суперечності щодо висловлення В. У математичному пізнанні цей принцип віри можливий тому, що, як ми переконалися вище, в цьому пізнанні відсутня метатеоретическое доказ несуперечності елементарної арифметики, побудованої у вигляді деякого логіко-
    
15. Криза математики на початку XX століття
      обгрунтування математики, стала криза математики, що вибухнула на початку XX в. Стан, що передувала кризі, не віщувало ніяких катаклізмів. «... Після багатовікових блукань в тумані математикам начебто б вдалося до початку XX в. додати своїй науці ту ідеальну структуру, яка була декларована Аристотелем і, здавалося, була здійснена Евклидом в його "Засадах". Математики
    
16. Філософія метаматематики Гільберта
      обгрунтування математики, яке справедливо можна іменувати теорією докази, я переслідую важливу мету: саме, я хотів би остаточно розправитися з питаннями обгрунтування математики як такими, перетворивши кожне математичне висловлювання в піддається конкретному показу, суворо виведену формулу і тим самим привівши освіту понять і висновки, якими користується математика, до такого