3. Онтологічна істинність аксіоми нескінченності

Витоки проблеми нескінченності в рамках логіцістской програми достатні ясні. Задум цієї програми полягав у тому, щоб вивести всі властивості натурального ряду з логічного визначення числа. Для повсякденної арифметичного мислення проблеми нескінченності натурального ряду не існує, оскільки передбачається, що виходячи з одиниці, за допомогою послідовного додавання одиниці ми можемо дійти до будь-якого як завгодно великого числа. Для логицистами цей простий аргумент заборонений, бо він мав би в цьому випадку прийняти подання про породження однієї сукупності ідеальних предметів з іншої, яка не ставить безпосередньо логічним определенііем числа. Це означає, що твердження про нескінченності має бути виведено тут з прийнятих визначень. Проблема, таким чином, виникає з тієї причини, що логіцизм ставить своїм завданням розвинути теорію натурального числа без опори на представлення «слідувати за» як вихідне.

Фреге був переконаний в аналітичності арифметики і не сумнівався в тому, що всі положення про будову натурального ряду, в тому числі і положення про його нескінченності (про наявність наступного елемента для кожного його члена), можуть бути доведені на основі його загального логічного визначення. Заслуга Рассела полягає в тому, що він зрозумів внелогіческіе характер цієї вимоги. Він, однак, заводить справу в глухий кут, трактуючи аксіому нескінченності як твердження про нескінченність предметів у Всесвіті, і оголошуючи значну частину математики, залежною від відповідної фізичної гіпотези. Це, звичайно, помилкове напрямок мислення, стирає межу між математикою і фізикою і, при послідовному проведенні, що усуває можливість суворого обгрунтування математичних теорій.

Дійсний дозвіл проблеми полягає в розумінні категоріальної природи числа. Один з основних тез Фреге полягає в тому, що носієм числа є не речі, а поняття. Зрозуміло, вірно, що річ як така не визначає будь-якої числової характеристики. Процесу рахунку має передувати уявлення про вважаю безлічі і його елементах, відповідних поняттю одиничного об'єкта. Однак це положення Фреге швидше затемнює проблему обгрунтування арифметики, ніж прояснює її. Належність числа до поняття, насправді, несуттєва для розуміння законів арифметики, бо арифметичні одиниці поводяться незалежно від їх предметної інтерпретації, тобто від типу понять, з якими вони епізодично зв'язуються. Закони арифметики задано не сферою їх застосування, а тільки властивостями ідеальної предметності.

Ми повинні строго розрізняти фізичне число, яке є характеристикою реальної сукупності, отриманої на основі її співвіднесення з ідеальною сукупністю, і власне математичне число як характеристику самої ідеальної сукупності, яка повинна бути зрозуміла без посилання на реальну сукупність речей і операцію рахунку. Труднощі відповіді на пряме питання: «Що таке число?» Виникає з того, що це поняття спирається на категоріальні інтуїції, що не допускають визначення, а також і з того, що поняття числа на цьому рівні не є вихідним, а може бути задано тільки на основі більш елементарних уявлень, прийнятих за вихідні. В основі числа як онтологічного поняття лежать три подання, а саме, уявлення про одиничної речі, про сукупність речей і про елементарну породжує операції, що збільшує сукупність речей на одну річ. Якщо ці уявлення прийняті, то математичне число може бути зрозуміле як характеристика ідеальної сукупності, указавающая її місце у впорядкованій послідовності сукупностей, отриманої на основі елементарної породжує операції. Дійсною основою арифметичних уявлень є не логіка і не процес рахунку, а ідея уявного породження ідеальних сукупностей.

У онтологічної характеристиці числа ми, таким чином, повинні прийняти природне уявлення про породження числового ряду, починаючи з одиниці, яке прийнято в интуиционистской теорії арифметики і яке найбільшою мірою відповідає його повсякденною інтуїції. Інтуїціоністське розуміння числа страждає психологічністю, оскільки воно апелює до активності свідомості, що породжує двоічность з одиничності і т. п. Для онтологічного розуміння числа психологічна активність індивіда не має значення, бо ми говоримо тут про предмети і їх сукупностях як про категоріальних представлених, мають інтерсуб'єктивності характер .

Поняття одиничного об'єкта і одиничною операції як категоріально осмислених сутностей задає весь ряд арифметичних об'єктів - чисел, крім нуля. Число нуль не має онтологічного змісту: воно має бути зрозуміло як формальний об'єкт, введений з метою узагальнення операції віднімання. Очевидно, що число, визначене таким чином, не спирається на теоретико-множинні поняття, такі, як порожній клас і еквівалентність классов15.

Це розуміння числа є достатнім в тому сенсі, що воно робить всі істотні властивості натурального ряду самоочевидними, що виникають з його побудови.

Ідея нескінченності натурального ряду, або, в більш загальному плані, ідея необмеженого збільшення будь-якій предметній сукупності, органічно міститься в абстракції ідеальної предметності, яка лежить в основі математичного мислення. Тут ми можемо повторити аргумент Канта, що відноситься * до нескінченної подільності простору. «... Простір є таке ціле, яке при всякому розкладанні в свою чергу все ще являє собою простір і тому воно ділимо до нескінченності »16. Оскільки ідеальний предмет, будучи приєднаний до безлічі предметів, що не змінює властивостей цієї множини (по властивості адитивності ідеальної предметності), то ця операція завжди зберігає можливість її повторення.

Нескінченність натурального ряду виникає, таким чином, з його ідеальності, з того факту, що він є чисто уявної конструкцією, не пов'язаної з якими-небудь реальними (фізичними) обмеженнями. Арифметика описує не структуру Всесвіту, а лише онтологію мислення, вона відноситься не до фізичного світу, а до ідеалізованої предметності, закони якої не залежать від опита17. Це, однак, тільки негативне умова, що визначає можливість нескінченності як уявної операції. Позитивне умова, що визначає його необхідність для свідомості, полягає в діяльнісної орієнтації свідомості, в його необхідною спрямованості на вихід за межі кінцевого. Математична нескінченність в цьому плані повинна розумітися як уявлення, породжене необхідної діяльнісної орієнтації свідомості. Нескінченність привнесена в математиці не досвідом і не логікою, а предметної онтологією, яка є справжнім інтуїтивним підставою арифметики і математичного мислення в цілому.

Звідси випливає, що ми не можемо перебудувати ідею числа, а можемо лише прояснити, систему категоріальних уявлень, в рамках яких воно задано18.

Обгрунтування теорії множин вимагає визнання актуальної нескінченності, а саме, твердження про існування безлічі, що містить в собі всі кінцеві множини. Затвердження актуальної нескінченності видається більш сильним тезою, так як припускає завершеність потенційно нескінченного процесу породження. Перерахунок чисел, однак, не може бути закінчений, і актуальна нескінченність видається, внаслідок цього, деякою фіктивною сутністю, недосяжною навіть в думці. Відторгнення актуальної нескінченності в філософії та методології математики істотно пов'язано з її сприйняттям як чисто інтелектуальної фікції, що не допускає суворого визначення.

Теорія пізнання, починаючи з Аристотеля, налаштована критично щодо цього поняття. Неприйняття актуальної нескінченності ми бачимо у таких математиків як Лагранж, Лобачевський, Гаус, Кронекер, Брауер і Пуанкаре19. У «Вченні про трансфинитное» Кантор каже про вороже ставлення до ідеї актуальної нескінченності Гельмголь-ца і Кронекера20. Критика актуальної нескінченності, таким чином, має тривалу традицію, сформовану задовго до появи логічних труднощів у сучасній математиці.

В принципі, проблема прийнятності актуальної нескінченності, повністю вирішена Г. Кантором, на основі виявлення її зв'язку з потенційною нескінченністю. З існування потенційної нескінченності логічно не випливає існування нескінченності актуальною. Однак крім логічної необхідності існує методологічна необхідність, визначальна логіку утворення понять. Методологія математики говорить про те, що актуальна нескінченність корелятивну нескінченності потенційної і введення однієї з них передбачає використання іншої. Усюди, де ми стверджуємо наявність потенційної нескінченності, ми неминуче стверджуємо і наявність породжує функції, що відноситься до нескінченного числа елементів, які еквівалентні один одному в сенсі приналежності до цієї функції. Але такого роду еквівалентність задає клас, що складається з нескінченного числа елементів, що розглядається в якості єдиної і завершеної цілісності. У методологічному плані, таким чином, наявність потенційної нескінченності передбачає уявлення про актуальної нескінченності як про сферу елементів, відповідних функції нескінченного породження. Діючи з породжують функціями як з цілісними об'єктами, ми насправді діємо з нескінченними множинами, які вони представляють. Очевидно, що будь-яка система рівнянь припускає перетин множин рішень, які, зокрема, можуть бути нескінченними. Але це означає, що актуальна нескінченність, як і нескінченність потенційна, впроваджена в самі підстави математичного мислення.

Цей момент добре усвідомлював Г. Кантор. Він вважав, що область зміни функції не може бути сама чимось змінним, бо в цьому випадку відсутнє б всяке тверду основу міркувань; тому ця область є певним актуально нескінченним безліччю значень.

Сучасні дискусії щодо прийнятності актуальної нескінченності виникають виключно з помилкової філософії математики, що вимагає для кожного математичного поняття деякого корелята в дійсності. Ця натуралістична логіка про-є в підході Гільберта. Якщо потенційну нескінченність Гільберт розглядає як виправдану досвідом і абсолютно надійну, то актуальну нескінченність він розуміє тільки як штучної конструкції, що вимагає фінітного обгрунтування. «Ми бачили, що нескінченне не реалізується ніде, воно не присутній в природі, а без спеціальних застережних заходів воно неприпустимо і в якості основи нашого мислення. Вже цього я вбачаю певний важливий паралелізм природи і мислення, основоположну узгодженість між досвідом і теорією »21.

Теорія онтологічної істини усуває цей помилковий паралелізм, що закриває шлях до адекватного розуміння природи вихідних математичних понять. З онтологічної точки зору ми маємо право стверджувати повну симетрію актуальною і потенційної бесконеч * ості, яка полягає в тому, що обидва ці подання в однаковій заходів) е обумовлені універсальної онтологією мислення і обидва вони відповідно до принципу спільності ідеально сумісні з онтологічно виправданою частиною математики. Парадокси, що вимагають коректування аксіом теорії множин, не можуть поставити під сумнів істинність простий аксіоми нескінченності, яка каже існування рахункового множини.

При обгрунтуванні актуальної нескінченності ми знаходимо деяку опору в теоретико-пізнавальному вченні Канта, одним з основних положень якого є твердження про ідеї розуму як регулятивних поняттях, що не мають корелята в дійсності, а що позначають лише внутрішню логіку руху самої думки. Від кінцевого числа причинних зв'язків, даних у досвіді, ми, по Канту, неминуче переходимо до ідеї Природи, від уявлення про конкретних психічних актах - до поняття Душі як безумовної цілісності і т. д. Ми можемо не погоджуватися з Кантом в його тлумаченні складу ідей розуму або (в якихось інших моментах) логіки їх генезису, але є абсолютно безперечним, що допущення ідеальних це-лостность лежить в основі людського мислення і що за кожним з цих ідеальних уявлень стоїть уявлення про завершеною нескінченності. Ідея завершеного натурального ряду в цьому плані - це не стільки математична ідея, скільки ідея внутрішньої логіки мислення взагалі, що приймає ідеальні цілісності як результат завершеного руху, і вона не менш первинна для математичного мислення, ніж ідея його нескінченного становлення.

 Ми повинні усвідомити ту обставину, що затвердження актуальної нескінченності, як і твердження нескінченності потенційної, не мають ніякого відношення до досвіду і до світу самому по собі. Обидві ці ідеї являють собою лише регулятивні форми мислення, що виникають з його практичної орієнтації. Вони залишилися б теш ж самими при будь-якому положенні справ у світі, залишає можливість для мислення і дії. Б. Рассел вважав, що аксіома нескінченності може бути істинною в одному світі і бути помилковою в іншому. З натуралістичної точки зору це, звичайно, вірно. Якщо фізики праві в тому, що число атомів у Всесвіті звичайно, то можна стверджувати, що аксіома нескінченності є помилковою у всіх світах. Ця аксіома, проте, є істинною для всякого теоретичного світу, бо вона є необхідна частина універсальної онтології мислення. 

 Звичайно, не можна вважати, що всі типи математичної нескінченності є виправданими онтологічно. Онтологія виправдовує лише твердження про існування простих видів нескінченності, а саме, вона виправдовує припущення потенційної нескінченності натурального ряду, мінімальний актуальною (лічильної) нескінченності і нескінченності континууму як реальної безперервності. Всі інші типи бесконечностей мають чисто операциональное значення і повинні бути обгрунтовані з логічних міркувань. 

 Різниця між реальними і чисто операціональними нескінченність, несуттєве в математичному плані, є принципово важливим для методології обгрунтування. Ми повинні усвідомити той факт, що принципи математики, що не мають обгрунтування в логіці, можуть бути обсновани в онтології і що це обгрунтування має абсолютне значення. Це означає, зокрема, що математичні аксіоми, які стверджують існування реальних '(онтологічно виправданих) бесконечностей, не можуть увійти в суперечність з логікою і з іншими онтологічно виправданими судженнями-математики. 

 Інформація, релевантна "3. Онтологическая істинність аксіоми нескінченності"

1. 1. Позитивна метафізика не має в межах теоретичного розуму предметної області
     . Проти цієї тези можна сформулювати такі типи аргументації. А. Аргументація від здорового глузду. Ймовірно, тільки живі істоти, що не мають другої сигнальної системи - мови, - такі, як риби, миші, ящірки та інші тварини, живуть у світі твердого, сухого, гарячого, холодного і т.д., тобто живуть лише у світі емпіричних предметів, а людина вже в звичайному житті визнає
   
2. 4. Проблема способу викладу позитивної теоретичної метафізики як науки
     Науковість позитивної теоретичної метафізики обумовлена не тільки реальним існуванням об'єктів, які вона описує. У ній є ефективна процедура обгрунтування необхідної істинності вихідних принципових положень, а також є можливість її несуперечливого викладу в певній послідовної, доказової формі. У цьому відношенні еталон для метафизиков і філософів,
   
3. Вчення про буття.
     Слово "буття" у всіх мовах від стародавніх до сучасних - це віддієслівний іменник, утворене від дієслова "бути, існувати". У своїй історії це поняття еволюціонувало в порядку, зворотному еволюції поняття матерії. Його розвиток ішов від гранично загальних і абстрактних уявлень до все більш конкретним і змістовним інтерпретаціям. Кожна епоха в історії філософії висувала свою
   
4. СПИСОК
     J, Абрамов М.А. Ідейні основи російського космізму. - К.: Київський держ. техн. ун-т, 2003. - 280 с. 2. Абрамова Т. В Космізм в російської релігійної філософії: В. С. Соловйов, П. А. Флоренський, С. Н. Булгаков: Дис. канд. філос. наук. - М., 1994. - 146 с. 3. Аксьонов Г П. Времявластіе (про Валериане Муравьеве і його філософії) / / Питання філософії. - 1992. - № 1. - С. 89-95. 4. Аксьонов Г.
   
5. Проблема обгрунтування математики
     Добре, що існують логіки і інтуїтивісти; хто ризикне стверджувати, що він волів би, щоб [логік] Вейерштрасс ніколи не пісая або щоб [Інтуїтивіст] Рімана не було? Таким чином, ми повинні примиритися з різноманітністю умів або, ще краще, ми повинні йому радіти. А. Пуанкаре. Наука і метод Основний принцип наукового дослідження полягає в тому, що жодне висловлювання, жодна
   
6. Лінії Демокріта і Платона в історії культури
     На обкладинці цієї книги читаємо: «Філософи Росії XX в.». А в передмові до неї професор, доктор ф. м, н. Баренцев Р. Г. зазначає, що це центральне філософське твір Любищева. Сам же автор у своїй передмові пише, що «головний зміст книги - розбір общебиологических уявлень», що центральна частина її «обросла філософськими і методологічними роздумами ... і міркуваннями з
   
7. ПЕРЕДМОВА
     Ця книга - свого роду «проміжний звіт» за три роки моєї співпраці з Трансміровим радіо в рамках програми «Філософи про вічне». Трансміровое радіо - це християнське некомерційне радіо, існуюче на добровільні пожертвування. Його мета - всіляко сприяти приходу людей до Ісуса Христа як до свого Господа і Спасителя шляхом проповіді Євангелія Ісуса Христа і єднання
   
8. ГЛАВА VI. Бог, людина і Боголюдина
     Починати філософствувати і богословствовать слід було б не з Бога і не з людини, бо обидва ці початку залишають розірваність нездоланої, а з Боголюдини. Первинний феномен релігійного життя є зустріч і взаємодія Бога і людини, рух від Бога до людини і від людини до Бога. У християнстві знаходить цей факт найбільш напружене, зосереджене і повне своє вираження. У
   
9. Висновок
     Проблема обгрунтування математики в сучасній формі була поставлена на початку XX століття у зв'язку з появою парадоксів у логіці та теорії множин і містила в собі дві основні завдання: у вузькому сенсі вона полягала в тому, щоб знайти спосіб позбутися від наявних парадоксів, а в більш широкому - знайти загальні принципи побудови математичних теорій, що гарантують їх несуперечливість. У
   
10. 2. Зміна завдання
      В даний час ідея зведення до логіці не розглядається як перспективна для обгрунтування математики. Існує думка, що на відміну від інтуїционізма і формалізму логіцизм не виробив продуктивних ідей і в даний час може розглядатися як має лише історичний інтерес. Така оцінка представляється не зовсім вірною. Вона виходить тільки з факту нереализуемости вихідних завдань