Аксіома пари

Якщо а і Ь безлічі, тоді існує безліч {а} з єдиним елементом а, а також існує безліч {а, Ь}, єдиними елементами якого є а і b

(V *) (Vj) (3 z) (Vve) (we z «w = xv w ~ y) -

До цих пір ми мали як існуючого тільки одне безліч, яке не має членів. Аксіома пари дозволяє нам сконструювати інші множини. По-перше, аксіомою затверджується існування безлічі, яке має член. Пусте безліч є безліччю, і таким чином, об'єктом, і по цій аксіомі ми можемо утворити безліч {0}, чиїм єдиним членом є порожній безліч. Так що тепер є два безлічі, 0 і {0}. Аксіома пари стверджує існування множин {{0}} і {{0}, 0}; таким чином, у нас вже є чотири об'єкти. Повторне застосування аксіоми стверджує існування всіх множин пар з цих чотирьох об'єктів , і крім того, множин, що містять ці чотири в якості свого єдиного члена. Повторення цього процесу дає яке завгодно кінцеве число множин, кожне з яких містить одне або два члена.

Незважаючи на ясність цієї аксіоми, в ній простежується інтуїтивна ідея обмеження розміру, а також згадана вище ідея ітеративного множини. Ідея обмеження розміру безлічі обговорюється багатьма математиками і філософами як одна з веду-щих ідей теорії множин.

Справа в тому, що процес породження , скажімо, ординальних чисел не може бути завершений, хоча така завершеність була б вкрай бажана для того, щоб сукупність породжених множин не була занадто великою. Будь сукупність, що перевершує деякий такий межу, не буде власне безліччю. Оскільки безлічі визначаються деяким властивістю, відмова від занадто великих множин є обмеження на застосовність властивості до об'єктів.

Якщо розмір множини не може бути критерієм того, чи є це безліч занадто більшим чи досить малим, тоді існування деякої сукупності об'єктів має бути гарантовано незалежно від міркувань про розмір множини.

Коль скоро критеріїв розміру немає, потрібно проявляти обережність, яка і виражена аксіомою пари. Дійсно, безліч {а , Комерсант} має вельми скромний розмір. Це фактично перший обережний крок на шляху реалізації програми обмеження розміру множин, яким би тривіальним він не здавався.

Інформація, релевантна "Аксіома пари"

1. Математичні аксіоми
   аксіома повної індукції). Список наведених аксіом не суперечить, якщо з нього не виведена формула вигляду (А &-іл), де змінна А може позначати будь-яке, в тому числі і арифметичне, висловлювання. Припустимо, формула (A А) випливає з даних аксіом. Яка властивість набувають в цьому випадку аксіоми? Відповідь дає наступне міркування, в якому до аксіом приєднується як допущення
   
2. 2. Зміна завдання
   аксіоматичної теорії множин. Ми будемо виходити тут з того принципово важливого факту, що значна частина змісту математики зводиться до логіки і що незвідні затвердження являють собою абстрактні твердження, що відносяться до класу аподиктичні очевидних істин. Констатація цього факту відкриває можливість обгрунтування несуперечності аксіоматичних систем, які в
   
3. Пол і вік.
   Пари - чоловік / жінка і співвідношення: 20> (Ве - Ва)> 5, де Ве - вік співробітника, а Ва - вік менеджера по
   
4. Властивості бінарних відносин
   Рефлексивность є властивість, яке полягає в тому, що кожен елемент відносини знаходиться в тому ж відношенні до самого себе. Аксіома для рефлексивності: \ / x \ / y (xRy) з (xRx л yRy). Рефлексивними відносинами, наприклад, є відносини «рівності», «еквівалентності», «тотожності» і т. д. Ставлення, що не задовольняє даній властивості, називається антирефлексивне - коли жоден предмет даного
   
5. 5. Обгрунтування несуперечності на основі факту
   аксіомам, то в цих випадках з'являється можливість безпосереднього висновку про несуперечності аксіом на основі їх логічного зв'язку з фактами. Як приклад ми можемо вказати на зв'язок аксіоматики евклідової планіметрії з теоремою Піфагора. Особливість теореми Піфагора полягає в тому, що її суворе доказ вимагає використання всіх планіметричних аксіом евклідової геометрії.
   
6. 2. Переборні доступних для огляду протиріч
   аксіом може міститися в одній з наступних форм: 1. Явна суперечність, представимое у формі «А і не-А». 2. Слабо приховане протиріччя виду А і В, де з В і з аксіом (виключаючи А) виводиться не-А. 3. Істотно приховане протиріччя, що припускає для деякої аксіоми А існування теореми в межах визначального фрагмента, яка вимагає допущення не-а 4. Глибоко
   
7. Несуперечність завершеною аксіоматики
   аксіоматики безсумнівно слід факт її несуперечності. Рух математичної теорії до стадії завершеності представляє одночасно і повне очищення її від внутрішніх протиріч. Історичне вдосконалення математичної теорії може бути розглянуто у двох різних планах: у плані еволюції її тверджень (аксіом і теорем) і в плані становлення системи її внутрішніх
   
8. Предметний покажчик
   аксіоматизована теорії 266 - формальної теорії 200 Нормативність 42, 95316 Предметний покажчик осяжному 246 Обгрунтування - евклідіанское 213 - онтологічне 147, 213 - системне 227 - емпіричне 61-65 Онтологія 303 Онтологическая спільність 161 Онтологічний бар'єр 225 Досвід - допредікатівний 88 - логіко-математичний 128 Очевидність - аподиктичні 14, 24
   
9. 6. Загальні зауваження і висновки
   аксіом) - не тимчасова конвенція, обумовлена рівнем аналізу строгості докази або якими-небудь іншими факторами, а остаточна стадія формування цієї системи, наступаюча в результаті повного узгодження аксіом теорії з фактами, лежащімі1 в її основі. Система аксіом, що досягла стабільності, не може бути усунена або скоригована в змісті своїх принципів і в своєму
   
10. ГЛАВА ТРЕТЯ
    аксіомами, з іншого - сутністю. Цілком очевидно, що і такі аксіоми повинна розглядати одна наука, а саме та, якою займається філософ, бо аксіоми ці мають силу для всього існуючого, а не для якогось особливого роду окремо від усіх інших. І застосовують їх все, тому що вони істинні для сущого як такого, а кожен рід є суще; але їх застосовують настільки, 26 наскільки це
    
11. 3.3. Опосередковані умовиводи. Простий категоричний силогізм
    Структура простого категоричного силогізму Категоричний силогізм - це таке опосередковане дедуктивний умовивід, посилками і укладанням якого є категоричні судження. Наприклад: Всі риби дихають зябрами Карась - риба Карась дихає зябрами Поняття, що є суб'єктом укладення, називається меншим терміном і позначається символічно «S». У наведеному вище прикладі йому