Аксіома порожнього безлічі

Сама аксіома порожнього безлічі формулюється так:

Існує порожній безліч 0, яке не містить елементів

Аксіома стверджує, що існує безліч, що не містить елементів. І ця аксіома стверджує існування безлічі, з якого конструюються всі інші множини. Таким чином, це практично єдине по-справжньому екзистенціальне утвердження серед аксіом. Якщо постулюється існування порожнього безлічі, тоді виходять і всі інші безлічі, і, важливо відзначити, виходять тільки множини і ніякі інші об'єкти. Прийняття цієї аксіоми означає, що весь універсум множин коїться з нічого. Ця обставина викликає масу труднощів у сприйнятті природи математики, не в останню чергу і епістемологічні труднощі.

Ця трудність чудово відчувалася як Цермело, так і Расселом. Цермело називав пусте безліч «фіктивним», оскільки під безліччю таки повинно трактуватись щось таке, що має члени (тобто безліч чогось). Рассел в одній зі своїх робіт порівняв конструювання множин з пустого безлічі з дією фокусника, що витягає кролів з капелюха. Але він усвідомлював про відмінність між філософськими утрудненнями і технічної корисністю. «Для символічного логіка, який відчуває корисність порожнього безлічі, [заборону на порожній безліч] виглядає реакційним кроком.

«Універсум теорії множин графічно представимо у вигляді конуса, розуміння якого пов'язане з багатьма філософськими концепціями. У вершині конуса точка, яка представляє порожній безліч. Іншими словами, спочатку не існує взагалі нічого. Потім з'являється щось, і ця думка відповідає ідеї утворення безлічі. Пусте безліч є щось, але всередині нього немає нічого. У певному сенсі така уявна конструкція нагадує фундаментальний філософське питання про те, чому існує щось, а не ніщо. Твердження про існування, в будь-якому випадку, описує безперечний факт про світ ... Але ніхто не знає, чому існує порожній безліч. На користь такого припущення можна навести лише розпливчасту ідею утворення безлічі, яка відображає певний об'єктивний аспект зовнішнього світу. Починаючи з порожньої безлічі, ми входимо у світ все більш розширюється безлічі V, що містить безлічі все більшої і більшої складності. Різні рівні цих множин називаються частковими Універсум V, де а є рангом множини. Загалом, Va + l складається з усіх можливих підмножин Va »W-

Це дещо метафізичне пояснення може бути поєднане з більш прозаїчним математичним міркуванням.

Є ще одне, можливо більш фундаментальне обгрунтування концепції порожнього множини. Як зазначає П. Медді ", згідно итеративной концепції множин, безлічі утворюються серією кроків, починаючи з речей, які не є множинами, і на кожній стадії утворюються всі можливі безлічі речей з попередньої стадії. Таким чином, перша стадія вимагає порожнього множини. Ітеративна концепція безлічі тягне масу наслідків більш загального спрямування, ніж питання про порожньому безлічі, але якщо вона приймається, тоді поняття порожнього множини є частиною значення концепції безлічі взагалі, і не вимагає спеціального обгрунтування.

Слід сказати кілька слів про фундаментальної концепції теорії множин, а саме, про итеративной концепції множини. Часто вона називається математичним, або комбінаторним поняттям сукупності. Пояснення останнього терміта полягає в тому, що на кожній стадії безліч утворюється шляхом комбінації речей, які доступні на цій стадії. Ітеративна концепція безлічі протиставляється логічної концепції, по якій безліч визначається властивістю; цю концепцію використовували Фреге і Рассел (у якого безліч визначається пропозициональной функцією).

Інформація, релевантна "Аксіома порожнього безлічі"

1. Аксіома заміщення
   аксіома призначена для того, щоб дозволити існування тих чисел, які з'являються в неформальній теорії множин. Досі наведені аксіоми (крім обговорюваної нами зараз аксіоми заміщення) гарантують існування таких ординальних чисел, як ft) + 1, зі + 2 і т.д., але не будь-якого безлічі, до якого вони належать. Іншими словами, немає гарантії існування ординальних чисел
   
2. Математичні аксіоми
   аксіома повної індукції). Список наведених аксіом не суперечить, якщо з нього не виведена формула вигляду (А &-іл), де змінна А може позначати будь-яке, в тому числі і арифметичне, висловлювання. Припустимо, формула (A А) випливає з даних аксіом. Яка властивість набувають в цьому випадку аксіоми? Відповідь дає наступне міркування, в якому до аксіом приєднується як допущення
   
3. опрелеленія числа
   аксіоми Пеано. Останні включають три вихідних терміну - «натуральне число», «число 0», «число, наступне за» - і наступні п'ять аксіом: П1. О - натуральне число. П2. Натуральне число, наступне за будь-яким натуральним числом, є натуральне число. ПЗ. Ні за якими двома різними натуральними числами не слід одне і те ж натуральне число. П4. О не слід ні за одним натуральним
   
4. Аксіома вибору
   аксіом статус. Вона є найбільш спірною аксіомою теорії множин, і при доказі теорем теорії множин вказується, чи отримано цей результат за допомогою цієї аксіоми чи ні. Не дуже ясний і статус аксіоми; сам Цермело вважав її логічним принципом, і цієї точки зору дотримуються і багато сучасних дослідників (наприклад Я. Хінтікка) 106. Часткове виправдання цієї точки зору
   
5. 2. «Прості» аксіоми
   аксіоми Цермело були доповнені і модифіковані А. Френкелем, і результуюча система аксіом, названа системою Цермело - Френкеля, стала стандартною. Вона настільки стандартна, що у ряду дослідників викликає протест, крайні форми якого можна бачити з заголовка глави Чудовисько Френкельштейна (каламбур, заснований на грі слів - Fraenkel і Frankenstein) недавньої книги Я. Хінтіккі Принципи
   
6. Аксіома виділення
   аксіомою є аксіома виділення (або аксіома підмножин - англійські терміни Axiom of Subsets, Axiom of Separation, і німецький термін Aussonderungsaxiom). Якщо a є безліч, і F (x) є деяке правильно побудоване вираження в мові Цермело - Френкеля з єдиною вільною змінною, тоді існує безліч Ь, чиї елементи є елементами а, для яких F (a) істинно
   
7. 3. «Просунуті» аксіоми
   аксіомам, практично всі згодні з тим, що аксіоми досить прості і не викликають яких-небудь заперечень. Проте в ході побудови теорії множин потрібні були і інші, «менш ясні» аксіоми. Першою з таких аксіом ми представляємо аксіому фундування (foundation - в англійській термінології), - в російській термінології перекладу класичної книги Френкеля і Бар-Хіллела. Аксіома фундування
   
8. Освітою доповнення до класу (запереченням)
   порожнього класу з довільним класом дорівнює цьому класу: АіО = А . Твір порожнього класу з довільним класом є порожнім класом: Ап0 = 0. Доповненням універсуму є порожній клас: 1 '= 0. Доповненням порожнього класу є універсум: 0' = 1. Доповненням доповнення є доповнюваний клас:
   
9. Аксіома пари
   аксіомою є аксіома пари. Якщо а і Ь безлічі, тоді існує безліч {а} з єдиним елементом а, а також існує безліч {а, Ь}, єдиними елементами якого є а і b (V *) (Vj) (3 z) (Vve) (we z «w = xv w ~ y) - Досі ми мали як існуючого тільки одне безліч, яке не має членів. Аксіома пари дозволяє нам сконструювати інші
   
10. 2. Зміна завдання
    аксіоматичної теорії множин. Ми будемо виходити тут з того принципово важливого факту, що значна частина змісту математики зводиться до логіки і що незвідні затвердження представляють собою абстрактні твердження, що відносяться до класу аподиктичні очевидних істин. Констатація цього факту відкриває можливість обгрунтування несуперечності аксіоматичних систем, які в
    
11. 5. Обгрунтування несуперечності на основі факту
    аксіомам, то в цих випадках з'являється можливість безпосереднього висновку про несуперечності аксіом на основі їх логічного зв'язку з фактами. Як приклад ми можемо вказати на зв'язок аксіоматики евклідової планіметрії з теоремою Піфагора. Особливість теореми Піфагора полягає в тому, що її суворе доказ вимагає використання всіх планіметричних аксіом евклідової геометрії.
    
12. 3. Дозвіл парадоксу
    аксіоми безлічі-ступеня. З першого погляду ця теорема суперечить теоремі Кантора, згідно з якою в даному випадку елементи множини-ступеня цілих чисел не можуть бути по-3. ДОЗВІЛ парадоксів ставлени в 1-1 відповідність з цілими числами. З теореми ж Левенгейма - Сколема випливає, що аксіоми Цермело - Френкеля мають справу щонайбільше з рахунковим числом об'єктів, і звідси,
    
13. Аксіома нескінченності
    аксіомі, містить послідовність {0, {0}, {0, {0}}}, {0, {0}, {0, {0}}}, ... 0 3 грудня Аксіома нескінченності не викликає зараз особливих хвилювань серед математиків. Наприклад, М. Тайлс каже, що викладені вище п'ять аксіом «не уявляють особливих проблем», а ось осталь-ні аксіоми менш ясни94. Інша точка зору висловлена в класичному огляді А. Френкеля та І. Бар-Хіллела
    
14. 4. праксеологіческая виправдання аксіоми вибору
    аксіома розпадається на три положення, кожне з яких вимагає особливого обговорення. Вона припускає диз'юнктивний характер безлічі, тобто розчленованість його на елементи, відокремлювані від безлічі в цілому, здійснимість вибору для довільної сукупності множин і то допущення, що результат вибору буде безліччю, допустимим в якості об'єкта суворого математичного міркування, на відміну
    
15. 7. Операціональні визначення
    аксіома X щодо так званих операціональних визначень. Якщо застосовувати її до випадку електричного поля, що характеризується напруженістю Е, то ця аксіома стверджує, що Е 'набуває фізичне значення тільки тоді , коли наказується процедура для вимірювання величини Е. Але це невірно: вимірювання дозволяють нам визначити тільки кінцеве число значень функції, більше того, вони
    
16. 5. Логіцістское обгрунтування несуперечності теорії множин
    аксіоми нескінченності і аксіоми вибору відкриває певний шлях включення логіцістского аналізу в обгрунтування теорії множин. Початковий (сильний) теза логіцізма полягав у тому, що вся математика зводиться до загальнозначущих судженням логіки. Після з'ясування незвідність аксіоми нескінченності і аксіоми вибору претензії логіцізма були зведені до положенню (можна назвати його помірним тезою