Головна
Аксіологія / Аналітична філософія / Антична філософія / Антологія / Антропологія / Історія філософії / Історія філософії / Логіка / Метафізика / Світова філософія / Першоджерела з філософії / Проблеми філософії / Сучасна філософія / Соціальна філософія / Середньовічна філософія / Телеологія / Теорія еволюції / Філософія (підручник) / Філософія мистецтва / Філософія історії / Філософія кіно / Філософія науки / Філософія політики / Філософія різних країн і часів / Філософія самоорганізації / Філософи / Фундаментальна філософія / Хрестоматії з філософії / Езотерика
ГоловнаФілософіяФілософія науки → 
« Попередня Наступна »
Целищев В.В.. Філософія математики. 4.1. - Новосибірськ: Наука,. -212 с., 2002 - перейти до змісту підручника

Аксіома виділення

Наступною аксіомою є аксіома виділення (або аксіома підмножин - англійські терміни Axiom of Subsets, Axiom of Separation, і німецький термін Aussonderungsaxiom).

Якщо a є безліч, і F (x) є деяке правильно побудоване вираження в мові Цермело - Френкеля з єдиною вільною змінною, тоді існує безліч Ь, чиї елементи є елементами а, для яких F (a) істинно

(VJC) (3J0 (VZ) [zeyoze; з & F (z)].

Згідно наївною точці зору на процес утворення множин, кожне з них визначається деяким властивістю, і саме безліч представляє обсяг цієї властивості. Незважаючи на «наївність», це дійсно єдино можливе уявлення про поняття множин, якби не було парадоксів, та й поняття властивості було більш чітким. Згідно з визначенням Кантора, «Безліч є Множинність, яка мислиться як Єдине», і єдність йому додає передбачуване властивість. Аксіома прагне обмежити розмір безлічі вказівкою на вже існуюче безліч.

Ця аксіома, за зауваженням Френкеля і Бар-Хіллела, є найбільш характерною рисою системи Цермело. Саме ця аксіома робить радикальний відхід від точки зору, згідно з якою кожному умові F (x) відповідає деякий безліч s таке, що (Vx) (х є s = F {x)). Відомо, що ця точка зору веде до парадок-сам, і Цермело запропонував застосовувати операцію освіти множин предметів, які мають деяким властивістю, до вже наявних множинам.

Аксіома виділення покликана обмежити припущення Кантора про те, що завжди можна зібрати разом в одну сукупність всі речі, що задовольняють даному осмисленого опису (припущення, відоме під ім'ям необмеженої аксіоми згортання). Аксіомою виділення створюються лише такі підмножини множини, чиє існування гарантовано іншими аксіомами. Таким чином, избегаются парадокси Кантора і Буран-Форті, оскільки неможливо утворити безліч, скажімо, всіх кардинальних чисел, виходячи з визначення властивості бути кардинальним числом, і можливе утворення лише тих множин, які вже містяться в деякій множині. Аксіома також блокує створення таких великих сукупностей, які могли б бути утворені, виходячи з властивості «бути безліччю», наприклад, такого безлічі як {д :: х = х}. У цьому сенсі аксіома є важливим фактором у відмові статусу безлічі таким великим совокупностям .

Хоча аксіома виділення відіграє важливу роль в обмеженні розміру множин і блокуванні ряду парадоксів, вона не дає того, що потрібно математиці. Якщо функція розглядається як операція породження множин (відображення однієї множини в інше), тоді аксіома вимагає, щоб область значень функції була підмножиною області визначення функції. Але в багатьох випадках це просто невірно.

Ця обставина дозволяє оцінити роль аксіоми більш точно. П. Медді вважає, що Цермело, у прагненні зберегти все, що можна, від наївної (необмеженої) аксіоми згортання (визначення множини через властивість), застосував «правило правої руки»: один крок до нещастя. Для того щоб уникнути суперечності в деякому принципі, потрібно послабити принцип так, щоб блокувати протіворечіе104. Цермело робить два ослаблення необмеженої аксіоми згортання: безліч не може здаватися незалежно, а завжди має бути виділено як підмножина вже заданої множини. Крім того, властивість, за яким безліч виділяється, має бути певним. Поняття визначеності є одним з найбільш дискусійних понять у філософії математики і її підставах. В даному випадку можна, слідуючи Скольому, вважати, що визначеність означає формулу першого порядку, єдиним нелогічних символом якої є «Є».

Слід зазначити, що насправді ми маємо тут справа не з аксіомою, а з аксіомной схемою, оскільки вона не може бути виражена мовою першого порядку.

« Попередня Наступна »
= Перейти до змісту підручника =
Інформація, релевантна "Аксіома виділення"
  1. Математичні аксіоми
    аксіома повної індукції). Список наведених аксіом не суперечить, якщо з нього не виведена формула вигляду (А &-іл), де змінна А може позначати будь-яке, в тому числі і арифметичне, висловлювання. Припустимо, формула (A А) випливає з даних аксіом. Яка властивість набувають в цьому випадку аксіоми? Відповідь дає наступне міркування, в якому до аксіом приєднується як допущення
  2. 2. «Прості» аксіоми
    аксіоми Цермело були доповнені і модифіковані А. Френкелем, і результуюча система аксіом, названа системою Цермело - Френкеля, стала стандартною. Вона настільки стандартна, що у ряду дослідників викликає протест, крайні форми якого можна бачити з заголовка глави Чудовисько Френкельштейна (каламбур, заснований на грі слів - Fraenkel і Frankenstein) недавньої книги Я. Хінтіккі Принципи
  3. Предметний покажчик
    аксіоматизована теорії 266 - формальної теорії 200 Нормативність 42, 95316 Предметний покажчик осяжному 246 Обгрунтування - евклідіанское 213 - онтологічне 147, 213 - системне 227 - емпіричне 61-65 Онтологія 303 Онтологическая спільність 161 Онтологічний бар'єр 225 Досвід - допредікатівний 88 - логіко-математичний 128 Очевидність - аподиктичні 14, 24
  4. Аксіома вибору
    аксіом статус . Вона є найбільш спірною аксіомою теорії множин, і при доказі теорем теорії множин вказується, чи отримано цей результат за допомогою цієї аксіоми чи ні. Не дуже ясний і статус аксіоми; сам Цермело вважав її логічним принципом, і цієї точки зору дотримуються і багато сучасних дослідники (наприклад Я. Хінтікка) 106. Часткове виправдання цієї точки зору
  5. 2. Зміна завдання
    аксіоматичної теорії множин. Ми будемо виходити тут з того принципово важливого факту, що значна частина змісту математики зводиться до логіки і що незвідні затвердження являють собою абстрактні твердження, що відносяться до класу аподиктичні очевидних істин. Констатація цього факту відкриває можливість обгрунтування несуперечності аксіоматичних систем, які в
  6. ПРЕЛЮДІЯ До ЧОЛІ 3
    аксіоматичний метод є дуже потужним ». Дж. Берроу. Пі на
  7. 5. Логіцістское обгрунтування несуперечності теорії множин
    аксіоми нескінченності і аксіоми вибору відкриває певний шлях включення логіцістского аналізу в обгрунтування теорії множин. Початковий (сильний) теза логіцізма полягав у тому, що вся математика зводиться до загальнозначущих судженням логіки. Після з'ясування незвідність аксіоми нескінченності і аксіоми вибору претензії логіцізма були зведені до становища (можна назвати його помірним тезою
  8. Властивості бінарних відносин
    Рефлексивность є властивість, яке полягає в тому, що кожен елемент відносини знаходиться в тому ж відношенні до самого себе. Аксіома для рефлексивності: \ / x \ / y (xRy) з (xRx л yRy). рефлексивного ставлення, наприклад, є відносини «рівності», «еквівалентності», «тотожності» і т. д. Ставлення, що не задовольняє даній властивості, називається антирефлексивне - коли жоден предмет даного
  9. 5. Обгрунтування несуперечності на основі факту
    аксіомам, то в цих випадках з'являється можливість безпосереднього висновку про несуперечності аксіом на основі їх логічного зв'язку з фактами. В якості прикладу ми можемо вказати на зв'язок аксіоматики евклідової планіметрії з теоремою Піфагора. Особливість теореми Піфагора полягає в тому, що її суворе доказ вимагає використання всіх планіметричних аксіом евклідової геометрії.
  10. Аксіома пари
    аксіомою є аксіома пари. Якщо а і Ь безлічі, тоді існує безліч {а} з єдиним елементом а, а також існує безліч {а, Ь}, єдиними елементами якого є а і b (V *) (Vj) (3 z) (Vve) (we z «w = xv w ~ y) - Досі ми мали як існуючого тільки одне безліч, яке не має членів. Аксіома пари дозволяє нам сконструювати інші
  11. 2 . переборні доступних для огляду протиріч
    аксіом може міститися в одній з наступних форм: 1. Явна суперечність, представимое у формі «А і не-А». 2. Слабо приховане протиріччя виду А і В, де з В і з аксіом (виключаючи А) виводиться не-А. 3. Істотно приховане протиріччя, що припускає для деякої аксіоми А існування теореми в межах визначального фрагмента, яка вимагає допущення не-а 4. Глибоко
  12. Несуперечність завершеною аксіоматики
    аксіоматики безсумнівно слід факт її несуперечності. Рух математичної теорії до стадії завершеності представляє одночасно і повне очищення її від внутрішніх протиріч. Історичне вдосконалення математичної теорії може бути розглянуто у двох різних планах: у плані еволюції її тверджень (аксіом і теорем) і в плані становлення системи її внутрішніх
  13. 6. Загальні зауваження і висновки
    аксіом) - не тимчасова конвенція, обумовлена рівнем аналізу строгості докази або якими іншими факторами, а остаточна стадія формування цієї системи, наступаюча в результаті повного узгодження аксіом теорії з фактами, лежащімі1 в її основі. Система аксіом, що досягла стабільності, не може бути усунена або скоригована в змісті своїх принципів і в своєму
  14. ГЛАВА ТРЕТЯ
    аксіомами, з іншого - сутністю. Цілком очевидно, що і такі аксіоми повинна розглядати одна наука, а саме та, якою займається філософ, бо аксіоми ці мають силу для всього існуючого, а не для якогось особливого роду окремо від усіх інших. І застосовують їх все, тому що вони істинні для сущого як такого, а кожен рід є суще; але їх застосовують настільки, 26 наскільки це
© 2014-2020  ibib.ltd.ua