Аксіома виділення

Якщо a є безліч, і F (x) є деяке правильно побудоване вираження в мові Цермело - Френкеля з єдиною вільною змінною, тоді існує безліч Ь, чиї елементи є елементами а, для яких F (a) істинно

(VJC) (3J0 (VZ) [zeyoze; з & F (z)].

Згідно наївною точці зору на процес утворення множин, кожне з них визначається деяким властивістю, і саме безліч представляє обсяг цієї властивості. Незважаючи на «наївність», це дійсно єдино можливе уявлення про поняття множин, якби не було парадоксів, та й поняття властивості було більш чітким. Згідно з визначенням Кантора, «Безліч є Множинність, яка мислиться як Єдине», і єдність йому додає передбачуване властивість. Аксіома прагне обмежити розмір безлічі вказівкою на вже існуюче безліч.

Ця аксіома, за зауваженням Френкеля і Бар-Хіллела, є найбільш характерною рисою системи Цермело. Саме ця аксіома робить радикальний відхід від точки зору, згідно з якою кожному умові F (x) відповідає деякий безліч s таке, що (Vx) (х є s = F {x)). Відомо, що ця точка зору веде до парадок-сам, і Цермело запропонував застосовувати операцію освіти множин предметів, які мають деяким властивістю, до вже наявних множинам.

Хоча аксіома виділення відіграє важливу роль в обмеженні розміру множин і блокуванні ряду парадоксів, вона не дає того, що потрібно математиці. Якщо функція розглядається як операція породження множин (відображення однієї множини в інше), тоді аксіома вимагає, щоб область значень функції була підмножиною області визначення функції. Але в багатьох випадках це просто невірно.

Слід зазначити, що насправді ми маємо тут справа не з аксіомою, а з аксіомной схемою, оскільки вона не може бути виражена мовою першого порядку.

Інформація, релевантна "Аксіома виділення"

1. Математичні аксіоми
   аксіома повної індукції). Список наведених аксіом не суперечить, якщо з нього не виведена формула вигляду (А &-іл), де змінна А може позначати будь-яке, в тому числі і арифметичне, висловлювання. Припустимо, формула (A А) випливає з даних аксіом. Яка властивість набувають в цьому випадку аксіоми? Відповідь дає наступне міркування, в якому до аксіом приєднується як допущення
   
2. 2. «Прості» аксіоми
   аксіоми Цермело були доповнені і модифіковані А. Френкелем, і результуюча система аксіом, названа системою Цермело - Френкеля, стала стандартною. Вона настільки стандартна, що у ряду дослідників викликає протест, крайні форми якого можна бачити з заголовка глави Чудовисько Френкельштейна (каламбур, заснований на грі слів - Fraenkel і Frankenstein) недавньої книги Я. Хінтіккі Принципи
   
3. Предметний покажчик
   аксіоматизована теорії 266 - формальної теорії 200 Нормативність 42, 95316 Предметний покажчик осяжному 246 Обгрунтування - евклідіанское 213 - онтологічне 147, 213 - системне 227 - емпіричне 61-65 Онтологія 303 Онтологическая спільність 161 Онтологічний бар'єр 225 Досвід - допредікатівний 88 - логіко-математичний 128 Очевидність - аподиктичні 14, 24
   
4. Аксіома вибору
   аксіом статус . Вона є найбільш спірною аксіомою теорії множин, і при доказі теорем теорії множин вказується, чи отримано цей результат за допомогою цієї аксіоми чи ні. Не дуже ясний і статус аксіоми; сам Цермело вважав її логічним принципом, і цієї точки зору дотримуються і багато сучасних дослідники (наприклад Я. Хінтікка) 106. Часткове виправдання цієї точки зору
   
5. 2. Зміна завдання
   аксіоматичної теорії множин. Ми будемо виходити тут з того принципово важливого факту, що значна частина змісту математики зводиться до логіки і що незвідні затвердження являють собою абстрактні твердження, що відносяться до класу аподиктичні очевидних істин. Констатація цього факту відкриває можливість обгрунтування несуперечності аксіоматичних систем, які в
   
6. ПРЕЛЮДІЯ До ЧОЛІ 3
   аксіоматичний метод є дуже потужним ». Дж. Берроу. Пі на
   
7. 5. Логіцістское обгрунтування несуперечності теорії множин
   аксіоми нескінченності і аксіоми вибору відкриває певний шлях включення логіцістского аналізу в обгрунтування теорії множин. Початковий (сильний) теза логіцізма полягав у тому, що вся математика зводиться до загальнозначущих судженням логіки. Після з'ясування незвідність аксіоми нескінченності і аксіоми вибору претензії логіцізма були зведені до становища (можна назвати його помірним тезою
   
8. Властивості бінарних відносин
   Рефлексивность є властивість, яке полягає в тому, що кожен елемент відносини знаходиться в тому ж відношенні до самого себе. Аксіома для рефлексивності: \ / x \ / y (xRy) з (xRx л yRy). рефлексивного ставлення, наприклад, є відносини «рівності», «еквівалентності», «тотожності» і т. д. Ставлення, що не задовольняє даній властивості, називається антирефлексивне - коли жоден предмет даного
   
9. 5. Обгрунтування несуперечності на основі факту
   аксіомам, то в цих випадках з'являється можливість безпосереднього висновку про несуперечності аксіом на основі їх логічного зв'язку з фактами. В якості прикладу ми можемо вказати на зв'язок аксіоматики евклідової планіметрії з теоремою Піфагора. Особливість теореми Піфагора полягає в тому, що її суворе доказ вимагає використання всіх планіметричних аксіом евклідової геометрії.
   
10. Аксіома пари
    аксіомою є аксіома пари. Якщо а і Ь безлічі, тоді існує безліч {а} з єдиним елементом а, а також існує безліч {а, Ь}, єдиними елементами якого є а і b (V *) (Vj) (3 z) (Vve) (we z «w = xv w ~ y) - Досі ми мали як існуючого тільки одне безліч, яке не має членів. Аксіома пари дозволяє нам сконструювати інші
    
11. 2 . переборні доступних для огляду протиріч
    аксіом може міститися в одній з наступних форм: 1. Явна суперечність, представимое у формі «А і не-А». 2. Слабо приховане протиріччя виду А і В, де з В і з аксіом (виключаючи А) виводиться не-А. 3. Істотно приховане протиріччя, що припускає для деякої аксіоми А існування теореми в межах визначального фрагмента, яка вимагає допущення не-а 4. Глибоко
    
12. Несуперечність завершеною аксіоматики
    аксіоматики безсумнівно слід факт її несуперечності. Рух математичної теорії до стадії завершеності представляє одночасно і повне очищення її від внутрішніх протиріч. Історичне вдосконалення математичної теорії може бути розглянуто у двох різних планах: у плані еволюції її тверджень (аксіом і теорем) і в плані становлення системи її внутрішніх
    
13. 6. Загальні зауваження і висновки
    аксіом) - не тимчасова конвенція, обумовлена рівнем аналізу строгості докази або якими іншими факторами, а остаточна стадія формування цієї системи, наступаюча в результаті повного узгодження аксіом теорії з фактами, лежащімі1 в її основі. Система аксіом, що досягла стабільності, не може бути усунена або скоригована в змісті своїх принципів і в своєму
    
14. ГЛАВА ТРЕТЯ
    аксіомами, з іншого - сутністю. Цілком очевидно, що і такі аксіоми повинна розглядати одна наука, а саме та, якою займається філософ, бо аксіоми ці мають силу для всього існуючого, а не для якогось особливого роду окремо від усіх інших. І застосовують їх все, тому що вони істинні для сущого як такого, а кожен рід є суще; але їх застосовують настільки, 26 наскільки це