|
Апеляція до паралелей між теорією множин і неевклідової геометрією для прояснення співвідношення теорії множин і реальності навряд чи може бути виправданою. Справа в тому, що ні-евлідовая геометрія має важливі фізичні додатки, в той час як теорія множин може в одному випадку розглядатися як «ідеальні елементи» в сенсі Гільберта, і в іншому випадку, як теорія про світ внечувственних об'єктів математики. Все залежить від філософських установок. Для реаліста (або краще сказати платоністов) доказ нерозв'язності континуум-гіпотези не є приводом для глибоких філософських спекуляцій формалістского толку: «доказ нерозв'язності континуум-гіпотези Кантора з прийнятих аксіом теорії множин (на противагу, наприклад, доказу трансцендентності числа пі) жодним чином не є вирішенням проблеми. ... Теоретико-множинні концепції і теореми описують цілком-визначену реальність, в якій здогадка Кантора повинна бути або істинною, або хибною. Звідси випливає, що нерозв'язність континуум-гіпотези в рамках системи аксіом означає, що ці аксіоми не містять повного опису цієї реальності. Така віра жодним чином не є химерною ... »117 Крім онтологічної віри в існування реальності, описуваної теорією множин, важливі ще й епістемологічні міркування, які не дозволяють розвинути аналогію між неевклідової геометрією і неканторовской теорією множин до такої міри, при якій ця аналогія набуває по-справжньому філософський інтерес. У цьому сенсі знову-таки надзвичайно важлива думка самого Геделя: «Висловлювалися думки, що якщо континуум-гіпотеза Кантора виявиться нерозв'язною в рамках прийнятих аксіом теорії множин, питання про її істинності втрачає сенс точно так само, як для математиків безглуздий питання про істинність п'ятого постулату Евкліда після доказу несуперечності неевклідової геометрії.
Я хочу підкреслити, що ситуація в теорії множин дуже відрізняється від ситуації в геометрії, як з математичної, так і епістемологічної точок зору. .. . Існує разюча асиметрія, з точки зору математики, між системою, в якій стверджується (аксіома про існування недосяжних чисел), і системою, в якій вона заперечується (та ж асиметрія також зустрічається в більш низьких рівнях теорії множин, де несуперечливість відповідних аксіом менш схильна сумнівам скептиків ...Що стосується епістемологічної ситуації, то тут слід сказати, що доказ нерозв'язності призводить до втрати значущості питання про істинність аксіоми тільки в тому випадку, якщо система аксіом інтерпретується як гіпотетико-дедуктивна система. Іншими словами, якщо значення примітивних термінів залишаються невизначеними. В геометрії, наприклад, питання про те, чи є п'ятий постулат Евкліда істинним, зберігає своє значення тільки в тому випадку, якщо примітивні терміни мають певний сенс, а саме, із зазначенням на поведінку твердих тіл , променів світла і т.д. Подібна ситуація має місце і в теорії множин, і відмінність полягає лише в тому, що в геометрії значення беруться з фізики, а не з математичної інтуїції, і тому питання випадає за рамки математики. З іншого боку, об'єкти трансфинитной теорії множин ... не належать до фізичного світу і навіть їх непряма зв'язку з фізичним досвідом вельми слабка (головним чином, завдяки тому факту, що теоретико-множинні концепції грають лише малу роль в сучасній фізиці) »118. До формалізму філософів математики підштовхує сама природа аксиоматизации. Аксіоматика теорії множин дозволяє «розсмоктати» фундаментальну філософську проблему щодо природи математики. В аксіоматичної теорії множин протилежність платоністской і конструктивістській позицій практично невидима.
Якщо математика, як вважає платоністов, мислиться як відкриття вже існуючого універсуму множин, тоді аксіоми прямо стверджують існування безлічі, удовлет-Воря певним умовам. Якщо ж математика, як вважає концептуаліст, є людським винаходом, тоді аксіоми стверджують спосіб породження з одних заданих множин інших множин. Математика в цьому сенсі являє собою структуру, в якій несуперечливо демонструється існування безлічі. Іншими словами, аксіоми дозволяють так обмежити поняття безлічі, щоб уникнути парадоксів, незалежно від погляду на природу математики.Наведений вище список аксіом стандартної теорії множин не є якимось канонічним . Можливі інші переліки та інші аксіоми. Наприклад, є список аксіом, іменований аксіомами теорії множин Цермело - Френкеля - Сколе-ма, що включає наступні аксіоми: 1. Аксіома екстенсіональності. 2. Аксіома порожнього множини. 3. Аксіома невпорядкованих пар. 4. Аксіома безлічі-суми. 5. Аксіома нескінченності. 6. Аксіома заміщення. 7. Аксіома безлічі-ступеня. 8. Аксіома вибору. 9. Аксіома регулярності119. Нарешті, має сенс привести початковий перелік аксіом, який з'явився в роботі Е. Цермело120. 1. Аксіома екстенсіональності. 2. Аксіома елементарних множин: порожній безліч, одиничне безліч, безліч пари. 3. Аксіома згортання (Aussonderung). 4. Аксіома безлічі-ступеня. 5. Аксіома об'єднання множин. 6. Аксіома вибору. 7. Аксіома нескінченності.
|
- ЗА. Включення або формальна редукція
теорія, тобто безліч формул, дедуктивно замкнене, яким буде не всяке підмножина теорії Г) і (Ь) всі формули теорії Г2 є також і в теорії 7Ь але не навпаки. 2Іо можна виразити й інакше. Нехай 71 Н-Т2 буде об'єднанням теорій Г | і Г2 в сенсі Тарського Тобто Ті - {- Т2 є безліч логічних наслідків об'єднання теорій Тг і 7 * 2 * У такому випадку, ми можемо сказати, що [7J Т2
- 42. Предполаганіе і передування
теорія (наприклад, теорія часткового упорядкування) має принаймні один екстралогіческій предикат. З іншого боку, теорія множин поки що передує в сильному сенсі, майже всім іншим розділам математики,
- неметричних напрямок математизації
теорія груп, топологія, теорія множин і т. п. Вони дають можливість досліджувати системи і процеси в теоретичній фізиці, квантової хімії, молекулярної біології, структурної лінгвістики. Питома вага цих методів у порівнянні з метричними все ще порівняно невеликий, але існує стійка тенденція до посилення їх ролі в науці. Потреби розвитку самої математики, активна
- Список літератури
теорія держави і права - М., 1998. Лазарєв В. В. Загальна теорія держави і права. - М., 1996. Лазарєв В.В. Підручник для юридичних вузів. М., 1997. Спиридонов Л.І. Теорія держави і права. Підручник. - М., 2001. Енгельс Ф. Походження сім'ї, приватної власності і держави. Соч. Т. 2. - М., 1996. Черниловский З. М. Хрестоматія по загальній історії держави і прав. М.,
- Співвідношення політичної теорії та політичної філософії
теорія взаємодіють і взаємодоповнюють один одного. У цьому зв'язку підвищується методологічне значення філософії політичного як виявленого горизонту смислів різних наукових концепцій політики. У сучасному політичному знанні виділяються три теоретичних рівня: емпірична теорія, нормативна теорія і філософська теорія політики. Емпірична політична теорія - це традиційна
- Ключові терміни
теорія «рассредоточенность-конфлікт» 410 теорія великої особистості 427 теорія очікування-валентності 413 теорія соціальної фасилітації 407 трансформаційні лідери 434 харизматичні лідери 434 ефект загального знання
- 3.1. Можливі формальні відносини
теорія першого порядку, яких и фактуальной науці недостатньо, то вихідний базис шбой фактуальной теорії Т, виражався на мові еоріі множин, складається з впорядкованої л-ки таких понять: безлічі 2 і п - 1 основних специфічних і взаємонезалежних (взаємно неопреде-шемих) предикатів Pi. Безліч 2, яке іноді іредставляет собою топологічний твір двох їлі більш множин,
- Природа лідерства. Лідер на основі:
теорія якостей лідера ситуаційна теорія (ситуація, група, завдання) особистісно-ситуаційна теорія (група) теорія «кредиту довіри» (ситуація, послідовники) теорія випадковостей
- 2.4.5. Проблеми інтерпретації марксової схеми зміни суспільно-економічних формацій
теорія суспільно-економічних формацій. У теорії, що претендує на відображення дійсності, будь-який реальний історичний процес виступає в чистому, ідеальному вигляді, у формі логічного процесу. Як вказував Ф. Енгельс, логічне є «не що інше, як відображення історичного процесу в абстрактній і і теоретично послідовній формі; відображення виправлене, але виправлене
- Аксіома вибору
теорія несуперечлива, тоді несуперечлива і стандартна теорія. Таким чином, аксіома вибору стає не більше небезпечною, ніж інші аксіоми. У контексті аксіоматичної теорії множин Цермело - Френкеля аксіома виявляється еквівалентної твердженням, що для даної множини а мається відношення R, яке є впол-ні-упорядкуванням для а. Це відомий результат Е. Цермело,
- 4J, Дуалістична версія
теорія і, більше того, теорія, чітко сформульована, то введення / і О вимагає виходу за її рамки . Справді, характеристика будь-якого приладу в теоретичних термінах зажадала б цілого набору фрагментів з різних теорій. Точно так же специфікація будь-якого спостерігача зажадала б залучення всіх наук про людину; антропології, психології, соціології і т. д. У тому випадку, якщо
- § 10. Які концепції можуть представляти абсолютну, об'єктивну, відносну і конкретну істини?
Безліч копиця
- IX. НЕВРАХОВАНІ СКЛАДНОСТІ
теорія множин взаімопереводіма в деякому сенсі в твердження про формулах і істині; і навіть непредикативне поняття безлічі допускає різноманітні еквіваленти: наприклад, замість визначення функцій як множин я міг би визначити безлічі як функції. Моя власна точка зору полягає в тому, що жоден з цих підходів не може вважатися «більш істинним», ніж будь-який інший; сфера
- 5. Теоретичні поняття і істина
теорія не розглядає будь-якого класу фізичних систем, її не можна кваліфікувати як фізичну теорію. Отже, шоста догма помилкова в семантичному відношенні. Вона помилкова також і з психологічної точки зору, бо якщо б теорії були не чим іншим, як тільки машинами, переробними дані, то ніхто не турбувався б про їх створення, так як мета теоретиків - дати пояснення
- Аксіома екстенсіональності
безлічі мають одні і ті ж елементи, вони тотожні. VJC У у VZ [(Z Є х О z є 7) => х = у]. Ця аксіома начебто не потребує коментарів чинності очевидності. Для початку зауважимо, що ця аксіома відокремлює безлічі від інших інтенсіональних сутностей типу властивостей; це означає, що спосіб компоновки елементів у сукупність, тобто спосіб визначення множини, несуттєвий для завдання його
|