| Головна |
| « Попередня | Наступна » | |
2. Скептики і релятивісти |
||
|
Теорія множин має справу з нескінченними множинами, і вражаючим відкриттям Кантора було виявлення незчисленних множин, які викликали багато суперечок серед математиків. Запропонована аксіоматика повинна була відобразити це найважливіше положення теорії множин. Тим часом теорема Левенгейма - Сколема може бути інтерпретована як твердження, що вважалося незліченною безліч в одній системі може виявитися рахунковим в іншій. З філософської точки зору, поняття безлічі, точніше, поняття кардинальності безлічі, втрачає свій онтологічний статус, що і є чітким вираженням скептичної позиції у відношенні поняття множини. Не менш важливо для скептичної позиції переконання, що формалізація теорії множин повинна бути первопорядковой. Перевагу мови першого порядку є питанням величезної складності, і тут слід лише відзначити, що для обговорення проблем аксиоматизации теорії множин він має першорядне значення. Теорема Левенгейма - Сколема, на якій в значній мірі заснований скепсис щодо концепції безлічі, формулюється для мов першого порядку. Вага скептичної позиції додає та обставина, що критика концепції незчисленних множин, або нескінченності, поділяється багатьма напрямками в філософії математики, і підтвердження їхньої правоти з боку вже не просто філософських позицій, а встановленої теореми, вимагає серйозного захисту прихильниками кантува-ської теорії. Слід зауважити, що парадокс Сколема з относительностью поняття численної безлічі не рахується прихильниками скепти-чеського підходу парадоксом взагалі, і він не кидає, з їх точки зору, тінь на первопорядковой аксіоматизації теорії множин. Швидше, справа йде так, що така аксиоматизация адекватна в якості підстав математики, а незчисленних множин просто не існує. На цей рахунок сам Скола висловився досить чітко: «Оскільки все роздум в аксіоматичної теорії множин або в рамках формальних систем робиться таким чином, що абсолютні незліченну не існують, твердження про існування незчисленних множин повинно розглядатися просто як каламбур. Отже, така абсолютна незліченну є просто фікцією. Істинне значення теореми Левенгейма і полягає в критиці абсолютної незліченну. Коротше, ця критика не зводить вищі нескінченності простий теорії множин до рівня абсурду, вона зводить їх до рівня не-об'єктів »130. Таким чином, походження скептицизму щодо поняття численної безлічі може бути представлено у вигляді наступного аргументу: (1) теоретико-множинні концепції повинні бути представлені в аксіоматичної формі у формалізмі першого порядку; (2) таким чином представлена теорія множин становить адекватне підставу для математики. Згідно з теоремою Левенгейма - Сколема, (3) теоретико-множинні поняття (і математичні поняття, визначені ними) відносні, неабсолютності. У даному аргументі, незважаючи на його чіткість, є все-таки деякі неясності. Дійсно, якщо в наявності парадокс з незліченною, то чи не буде природніше припустити, що формалізація першого порядку не «схоплює» концепції безлічі, і стало бути, не є адекватним підставою для математики. Такий висновок представляється найвищою мірою природним, і розділяється багатьма дослідниками. Далі, коли незабаром парадокс притаманний вже мови першого порядку, це може означати, що теорія множин не представляє адекватного підстави для мате-матики, і взагалі, сама ідея підстав математики може бути неправильною витівкою. Нарешті, неясно, до чого відноситься укладання (3) - до самого формалізму або ж до інтерпретації формалізму. Розглянемо спочатку проблему підстав математики. Вже у своїх ранніх роботах Сколе, атакуючи Цермело, проте визнавав ідею підстав математики. Правда, у нього були своєрідні уявлення про ці підставах. Аксіоматична теорія множин зізнавалася їм адекватними підставами математики. А. Джордж зазначає в цьому зв'язку наступне обстоятельство131. Згідно Скольому, якщо деяка система повинна забезпечити адекватне підставу для деякої області, тоді всі властивості системи підстав повинні бути властивостями області, для якої пропонуються підстави. Ментальні об'єкти математики, складові область, для якої призначені підстави, через інтуїцію володіють безпосередній ясністю. Стало бути, і аксіоматична теорія множин, що претендує на підстави, повинна надавати понять теорії множин таку ж інтуїтивну ясність. Подібного роду погляд схожий з інтуїционізма, і багато хто вважає Сколема дійсно інтуіціоністи, правда, своєрідним. З його точки зору остаточним критерієм значимості докази і допустимості об'єктів є їх інтуїтивна ясність. Апеляція до інтуїції зовсім не виключає того, що в принципі ми можемо з допомогою аксіоматичної теорії прийти до інтуїтивно виправданою картині математики. Проте хоч виключив цю можливість, судячи з усього, маючи на увазі парадокс Рассела. Як і більшість математиків того часу, Сколе розглядав цей парадокс як симптом неясності логічних принципів, що лежать в основі нашого логічного мислення, і вважав, що математична інтуїція не говорить на користь множин. Проте інтуіціонізм Сколема слід вважати дуже своєрідним. По-перше, за його власним визнанням, свої ідеї він розвинув, не маючи уявлення про роботи Брауера. По-друге, будь він повноцінним інтуіціоністи, відмова від визнання незчисленних множин був би просто для нього частиною його кредо інтуіціоністи, і йому не потрібно було б вдаватися до аргументації, пов'язаної з теоремою Левенгейма - Сколема. При обговоренні теореми Левенгейма - Сколема і релятивізму Сколема часто не беруться дві надзвичайно важливі деталі. По-перше, у Сколема є два докази знаменитої теореми. У першому (1920 р.) для зведення універсуму вихідної моделі до рахункового числа елементів використовується аксіома вибору. У другому (1922 р.) ця аксіома не використовується. Так що неправильно говорити про єдину теоремі Левенгейма - Сколема. Перший результат з аксіомою вибору сильніше, тому що гарантується рахункова модель є обмеження незліченну. Другий результат не дає такої гарантії, і лічильна модель будується так, що не має відношення до вихідної моделі. Сколе з небажанням визнавав існування цих двох версій, так як він відчував, що дослідження в підставах теорії множин найкраще проводити без аксіоми вибору. З цієї причини Скола обмежив свою відбраковування філософських і грунтовних досліджень друге результатом132. По-друге, релятивізм Сколема з'явився результатом раптового філософського звернення, відмови від тих поглядів, які він сповідував до початку 1940-х років. Як вже говорилося, він був свого роду інтуіціоністи, і інтуїционістському сліди Сколема видно в його ранній статті 1922 ", де він атакує аксіоматику Цермело, буквально за всіма пунктами, тобто заперечуючи проти всіх його аксіом. Матеріал, на який обрушився Сколе, містився в знаменитій статті Е. Цермело 1908 г.133. У цій статті Е. Цермело проголосив три головні тези: по-перше, підставою математики є теорія множин, по-друге, парадокси наївною теорії множин можуть бути блоковані Аксіоматизації, і в -третє, аксіоми теорії множин можуть служити підставами всієї математики. Скола заперечує всім трьох тез, і ряд зауважень до цих пір представляє значний інтерес для підстав математики, навіть незважаючи на те, що сам Скола відмовився від своєї критики. У статті 1922 г.134 Скола детально заперечує всій програмі Цермело, і серед аргументів першого важливе місце займає поняття галузі математичних об'єктів. З точки зору Сколема, якщо аксіоми справедливі для деякої області об'єктів, то для неї повинні бути справедливі і теореми теорії множин. У цьому випадку поняття безлічі зводиться до поняття області, що вироб-дит враження порочного кола, оскільки поняття множини і є в деякому роді поняття області. Якщо ж мова йде про специфіковані универсуме, тоді це поняття навряд чи може претендувати на підстави математики, будучи просто одній з її спеціальних сукупностей. Занепокоєння Сколема викликає і знаменита аксіома «згортання» (в російській термінології, comprehension - в англійській термінології, або Aussonderungs - у вихідній німецької). Пропозиція Сколема замінити цю дійсно що турбує аксіому з її центральним поняттям «певної властивості», яке призводить до парадоксів, синтаксичної концепцією відкритої пропозиції з єдиною вільною змінною згодом знайшло важливе застосування в математичній логіці. Зокрема, такий прийом дозволяє Скольому припустити, що аксіоми Цермело складають рахункове безліч пропозицій першого порядку , і в силу цього аксіоматика Цермело повинна мати модель в цілих числах, якщо вона взагалі має модель. При цьому провину за виникаючі труднощі Скола покладає не так на поняття безлічі, а на поняття конкретної аксиоматизации, і більше того, що виникають при цьому труднощі з поняттям безлічі вважаються їм результатом відносності концепції безлічі відносно різних аксіоматичних систем. Причому така відносність заходить настільки далеко, що мова йде вже про просто вербальному визначенні відповідних математичних об'єктів: «З придатним аксіоматичним базисом, отже, теореми теорії множин можуть бути зроблені справедливими в простому вербальному сенсі , природно, при припущенні, що аксиоматизация несуперечлива; але це покоїться на тому факті, що використання слова "безліч" відрегульовано відповідним чином. Ми завжди можемо визначити сукупності, які не називаються множинами, якщо ж ми назвемо їх множинами, теореми теорії множин перестануть бути справедливими »135. Отже, атака Сколема на аксіоматику теорії множин Цермело грунтується на двох« китах »: недовіру аксиоматизации теорії множин і його концепції відносності поняття безлічі щодо аксіоматичної системи. Часто при викладі філософії Сколема (якщо така була взагалі) завідомо сплутуються дві ці точки зору, і результат плутанини представляється як знаменитий релятивізм Сколема (та сама філософія, яка все-таки є у нього). Тим часом саме аксіоматика відповідальна за цей самий релятивізм, що видно з відомого пасажу Сколема: «Завдяки аксіомам, ми можемо довести існування більш високих кардинально, більш високих числових класів, і так далі. Як же може тоді статися, що вся область В може бути вже перенумерована допомогою позитивних чисел? Пояснення неважко знайти. В аксиоматизации "безліч" не означає довільно певної сукупності; безлічі є не чим іншим, як об'єктами, пов'язаними один з одним через певні відносини, виражені аксіомами. Звідси немає ніякого протиріччя в тому, якщо безліч М області В незліченно в сенсі аксиоматизации ; тому що це означає просто, що в рамках В немає одно-однозначної відповідності Ф безлічі М в ZQ (числова послідовність Цермело). Тим не менш, існує можливість нумерації всіх об'єктів в В, і отже, також елементів М, за допомогою позитивних чисел; звичайно така нумерація є також сукупність певних частин, але ця сукупність не їсти "безліч", тобто, не входить в область 5) »136. Філософська нечіткість поглядів Сколема проявилася дуже своєрідним чином. В період між появою статті 1922 р., в якій він обрушився на аксіоматику Цермело, та статтею 1941 '6, де він висловив своє нове розуміння основ математики, Сколе повністю довірився формалізмам (зауважимо, тільки формалізмам першого порядку) і аксіоматиці. При цьому слід відзначити, що релятивізм залишився при ньому. Але саме релятивізм являє собою найбільшу складність для філософії математики, і навіть придбав спеціальний термін «сколемізма», що рівносильно скептичної позиції у відношенні поняття множини. По-перше, є проблема правомірності тверджень сторін-- ників канторовской теорії множин про існування множин з великою кардинально - в якій мірі ці онтологічні припущення можуть бути виправдані епістемологічних? друге, є проблема суто технічна - чи є парадокс Сколема справжнім парадоксом, для якого не можна знайти техничес - кого рішення? Нарешті, в якій мірі технічні рішення парадоксу Сколема, якщо такі є, зачіпають по-справжньому філософські підстави математики. Відносно останнього питання є свої крайнощі. Так, X. Патнем вважає, що парадокс Сколема є різновидом більш фундаментального труднощі, яке він називає «сколемізаціей всього», і що відноситься до епістемології, а не до математики власне. У кожному разі, аналіз структури парадоксу Сколема є настійно важливим. У цьому відношенні найважливішу роль відіграє робота П. Бенацеррафа відколи й скептік11.
|
||
| « Попередня | Наступна » | |
|
|
||
Інформація, релевантна "2. Скептики і релятивісти" |
||
|
||