Головна
Аксіологія / Аналітична філософія / Антична філософія / Антологія / Антропологія / Історія філософії / Історія філософії / Логіка / Метафізика / Світова філософія / Першоджерела з філософії / Проблеми філософії / Сучасна філософія / Соціальна філософія / Середньовічна філософія / Телеологія / Теорія еволюції / Філософія (підручник) / Філософія мистецтва / Філософія історії / Філософія кіно / Філософія науки / Філософія політики / Філософія різних країн і часів / Філософія самоорганізації / Філософи / Фундаментальна філософія / Хрестоматії з філософії / Езотерика
ГоловнаФілософіяФілософія науки → 
« Попередня Наступна »
Пермінов В. Я. . Філософія і підстави математики - М.: Прогресс-Традиція. - 320с., 2001 - перейти до змісту підручника

1. Основні характеристики математичного доказу

Будемо називати доказ надійним або завершеним, якщо воно не може бути спростовано допомогою контрприкладів. Будемо називати доказ суворим або герметичним, якщо воно не містить в собі неявних (не обумовлених в умовах) передумов. Надійне доказ, очевидно, може бути нестрогим. Такі майже всі геометричні докази Евкліда: ці докази не схильні контрприклад і підтверджуються як коректні у всіх наступних більш строгих викладах геометрії, але вони, очевидно, не є строгими, оскільки спираються на передумови, що не містяться в обумовлених умовах. З іншого боку, мислимі суворі докази, ідеально правильні в системі прийнятих канонів, але порушують правила звичайної логіки, а тому ненадійні, схильні контрприклад при змістовної істинності посилок.

Будемо називати доказ достовірним по відношенню до деякої області об'єктів, якщо воно істинне щодо цієї області, тобто якщо його висновок, що виходить з змістовно істинних посилок, відповідає фактичному стану справ у цій галузі. Будучи надійним і строгим, доказ може виявитися недостовірним внаслідок наближеного характеру інтерпретації або неадекватності правил виводу стосовно даної області об'єктів. Питання про достовірність математичних доказів систематично виникає у сфері логічного обгрунтування математичних теорій.

Генценовское доказ несуперечності арифметики, будучи абсолютно строгим за внутрішньою логікою міркування, зазвичай не розглядається як гарантує фактичну відсутність протиріч в формалізованої арифметики. Питання про достовірність доказів ми будемо розглядати пізніше. Наше перше завдання буде полягати в тому, щоб виявити ознаки, що дозволяють судити про повну (абсолютної) надійності і про повну (абсолютної) строгості математичного докази.

Філософи-релятивісти будуть заперечувати законність самої постановки питання, наполягаючи на тому, що ідея абсолютності настільки ж мало застосовна до математичного міркування, як і до всякого іншого. Математична практика, однак, безсумнівно виділяє групу доказів, які внаслідок своєї простоти й видимості ніколи не викликали ніяких сумнівів щодо своєї завершеності і абсолютної значущості для теорії. Це насамперед всі ті докази, які складаються у виведенні простих наслідків з аподиктичні очевидних посилок на підставі простих правил логіки. Чисті аподиктичні докази абсолютно надійні з тієї причини, що всякий контрприклад до теореми був би в цьому випадку спростуванням аподиктичні очевидною аксіоми або правила виводу. Однак такого роду спростування, як ми з'ясували вище, в принципі неможливі-.

Доказ теореми про площі паралелограма, про який говорилося вище, засноване на самоочевидних перетворенні вихідної фігури, є аподиктичні очевидним в усіх своїх кроках і, внаслідок цього, абсолютно надійним. Яке доказ, редуціруеми до рівня аподиктической очевидності, має бути визнано абсолютно надійним.

Заперечувати наявність абсолютно надійних зв'язків в математиці так само неможливо, як заперечувати існування предмета, що знаходиться у нас перед очима. Наша впевненість і в тому, і в іншому випадку продиктована самими загальними умовами пізнання, визначальними саму його можливість, і тому вона не може бути піддана сумніву. Це загальне міркування, однак, не дозволяє нам визначити справжню сферу надійних міркувань в математиці. Для вирішення цієї останньої завдання ми повинні уточнити самі критерії математичної надійності і вирішити питання про їх об'єктивної значущості. Ми повинні відповісти на питання, з яким ступенем надійності математичне співтовариство може фіксувати надійність докази в конкретному випадку. Інакше кажучи, ми повинні обгрунтувати об'єктивну значимість наших суджень про надійність і строгості докази.

« Попередня Наступна »
= Перейти до змісту підручника =
Інформація, релевантна " 1. Основні характеристики математичного докази "
  1. ГЛОСАРІЙ
    основні аспекти та проблеми діяльності в рамках тієї чи іншої посади. Кожен конкретний ассессмент-центр включає ряд процедур і розробляється з урахуванням вимог, що пред'являються до працівників. Важлива складова цього методу - вимір. Ассессмент-центр близький до тестів, оскільки передбачає стандартизацію, тобто наявність певних нормативів проведення процедур і системи оцінок
  2. Структура наукового пізнання
    основні різновиди наукової ідеалізації. У першому випадку, для класу досліджуваних об'єктів приймаються деякі усереднені показники, які, може бути, і не зустрічаються в реальності, але зручно репрезентують (представляють) об'єкт для подальшого дослідження. Другий різновид ідеалізації пов'язана з доведенням досліджуваних властивостей об'єкта до абсолютних значень з метою більш глибокого
  3. ТРАНСФОРМАЦІЇ концептуальне знання
    основних способів розширення духовного горизонту за рахунок концептуалізації, для якої поняття є основним засобом. Основоположником концептуалізації як особливого різновиду інтелектуального конструктивізму є Платон, який висунув ідею конструктивно-структурного характеру знання. Її смисловий і ціннісний пафос був спрямований проти релятивізму і нігілізму софістів, в
  4. 1. Множинність чисто філософських систематизаций світу як історико-філософський факт
    основного питання марксистської філософії - питання про ставлення матерії до свідомості - є причиною і основою виникнення свідомості. В якості історично першої системи ідеалістичного монізму в грецькій філософії можна розглядати систему об'єктивного ідеалізму Платона90. Найбільш розвиненою системою ідеалістичного монізму Нового часу, безсумнівно, є система
  5. Проблема формування соціальної установки в екологічній концепції соціальної установки
    основних, що дозволяють Екологічна концепція соціальної установки 147 розглянути проблеми соціальної установки з позицій феноменології та екологічного підходу Дж. Гібсона. Тут, наприклад, ми докладно проаналізуємо подання Гиб-сона і Гуссерля про навколишній світ, теорію можливостей та інше. Основна мета дослідження в тому - що феноменологически розглянутий механізм соціальної
  6. Методологія математики: проблеми інтелектуального розвитку
    основних логічних форм і законів мислення, принципів побудови наукової теорії. У широкому сенсі методологія математики вивчає сукупність математичних методів, зв'язок математики з іншими науками і з різними областями людської діяльності. Методологія математики визначає її об'єкт і предмет; місце математики в системі наук; співвідношення теоретичної та прикладної математики;
  7. Розвиток креативного мислення на уроках російської мови і читання у дітей початкового шкільного віку
    основною метою моєї практичної роботи. Адже креативність в більш пізньому віці, наприклад, при роботі за фахом у вищій мірі залежить від можливостей і рівня творчого мислення, набутого і досягнутого в школі. А якщо говорити про шкільні викладачах, то велика відповідальність у розвитку креативного мислення лежить на вчителях початкових класів. Творче ставлення до
  8. 2.4. ПАРАДОКСИ «НЕГАТИВНОГО ГУМАНІЗМУ»
    основна інтенція людини, що вступає в період Нового часу. Починається форма життя, яка засновує себе тільки на розумі. Саме в цій формі світ постає людині ясним, виразним і безмежним. Середньовічний розум завершувався Фомою Аквінським, але після Д. Скота і У. Оккама світ людського існування виявляється проблематичним. Еллінізація християнського духу втілилася в
  9. Філософія Стародавньої Греції.
    Основних початку або причини: 1) "матерія", 2) "форма"; 3) причина руху; 4) мету, заради якої відбувається відоме дію. Наприклад, коли будується будинок, то "матерією" тут будуть цеглини, "формою" - сам будинок, причиною руху або діючої причиною - діяльність архітектора, а метою - призначення будинку. Світ, за Арістотелем, буття вічне. Справді, щоб уявити, що
  10. Вчення про буття.
    Основною дилемою виявляється Створено або нествореним того чи іншого буття, і відповідно до релігійної доктриною істинним, повним і досконалим, самосущим і вічним існуванням володіє тільки Бог, тоді як все інше є лише результат його творіння, прояв його волі і реалізація його могутності. Саме в силу цього принципу в природі все відбувається по необхідності,
  11. Емпіричні методи.
    Основного методу дослідження, який отримав назву порівняльно-історичного. Виявлення загального, повторюваного у явищах, як відомо, - ступінь на шляху до пізнання закономірного. Для того, щоб порівняння було плідним, воно повинно задовольняти двом основним вимогам: порівнюватися повинні лише такі сторони і аспекти, об'єкти в цілому, між якими існує об'єктивна
  12. Теоретичні методи.
    Характеристик. Отриманий об'єкт виступає в ролі моделі першого. Наприклад, в астрономічних розрахунках планети заміщуються абстракціями (. (. * - »^ Гх-1 зразок" матеріальної точки ", реальні взаємодії - силами, і т.п. Те ж саме ми знайдемо не тільки в небесній механіці, але у всій механіці , у всій науці взагалі. Слід зауважити, що операція абстрагування може застосовуватися як до
  13. § 5. Зміст і виконання зобов'язань по страхуванню
    основний) угоді застереження (ст. 157 ЦК). Така угода може існувати і при відпадати умови. Зобов'язання по страхуванню, навпаки, неможливо без страхового ризику, який є його conditio sine qua non (необхідною умовою). --- --- У теорії страхового права, починаючи з дореволюційних розробок, існують дві протилежні позиції: визнання
© 2014-2020  ibib.ltd.ua